2022-2023学年人教版中考数学复习《二次函数与定点问题综合》压轴题专题训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年人教版中考数学复习 二次函数与定点问题综合 压轴题专题训练（附答案）1（1）抛物线 ykx2+（2k+1）x+2 图象与 x 轴的两个交点为 ，（2）若（1）中两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数，试求出该二次函数的表达式；（3）已知抛物线 ykx2+（2k+1）x+2 恒过定点，直接写出定点的坐标 2如图 1，已知抛物线 yx24mx+4m2+2m4（m 是常数）的顶点为 P，直线 l：yx4（1）求证：点 P 在直线 l 上；（2）已知直线 l 与抛物线的另一个交点为 Q，当以 O、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形时，求 m 的值；（3）如图 2，当 m0

2、时，抛物线交 x 轴于 A、B 两点，M、N 在抛物线上，满足 MANA，判断 MN 是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线 yx 与抛物线交于 A、B 两点，直线 l 为 y1（1）求抛物线的解析式；（2）在 l 上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）知 F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点 M 到直线 l的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，求定点 F 的坐标 4如图 1

3、，已知抛物线 C1：yx22x+交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C （1）直接写出点 A，B，C 的坐标；（2）在抛物线 C1上存在点 D，使 tanCBD，求点 D 的坐标；（3）将抛物线 C1向上平移至 C2，C2的顶点 P 落在 x 轴上（如图 2），M 是 C2上的一个动点，连接 PM，过点 P 作 PNPM，交 C2于点 N，试问直线 MN 是否经过某定点？若必过某定点，请求出该定点的坐标；若不一定经过某定点，请说明理由 5如图 1，抛物线 y（xm）2的顶点 A 在 x 轴正半轴上，交 y 轴于点 B，SOAB1 （1）求抛物线的解析式；（2）如图 2，P 是第一象限内抛物

4、线上对称轴右侧一点，过 P 的直线 l 与抛物线有且只有一个公共点，l 交抛物线对称轴于 C 点，连 PB 交对称轴于 D 点，若BAOPCD，求直线 l 的解析式；（3）若点 M、N 是抛物线的两点，以线段 MN 为直径的圆经过点 A，求证：MN 始终经过一个定点，并求出该定点的坐标 6已知抛物线 C1：yax22ax+c 经过点（2，3），与 x 轴交于 A（1，0）、B 两点（1）求抛物线 C1的解析式；（2）如图 1，过 A 点的直线 yx+b 交 y 轴于 E，直线 xm（1m3）交抛物线C1于 P，交直线 AE 于 N，PN2t，以 PN 为对角线作正方形 PMNQ，若 Q 点恰好

5、在抛物线 C1上，求 t 的值；（3）如图 2，平移抛物线 C1，使其顶点在 y 轴上，得到抛物线 C2，过定点 H（0，2）的直线交抛物线 C2于 M、N 两点，过 M、N 的直线 MR、NR 与抛物线 C2都只有唯一公共点，求证：R 点在定直线上运动 7已知：A（0，2），点 B 为 x 轴上的一动点，过点 B 作 x 轴的垂线交 AB 的垂直平分线于点 P（1）请利用图 1 进行探讨：若点 B（2，0），则点 P 的坐标为 ；若点 B（4，0），则点 P 的坐标为 ；通过探讨发现点 P 所在图象恰好是一条抛物线，请直接写出点 P 所在抛物线的函数解析式（2）如图 2，直线 ykx（k0）

6、与（1）中的抛物线交于点 E，F，若 AF3AE，试求 k的值；（3）如图 3，若直线 ymxm+2 与（1）中的抛物线交于点 G，M，其中点 M 在第一象限，直线 OG 交（1）中的函数图象于点 N，求证 MN 必过一定点，并求这个定点的坐标 8如图，已知抛物线 C1：yax2+bx+c 的顶点坐标为（0，2），且经过点 A（2，2），动直线 l 的解析式为：y4x+e（1）求抛物线 C1的解析式；（2）将抛物线 C1向上平移两个单位得到新抛物线 C2，过点 A 的直线交抛物线 C2于 M、N 两点（M 位于点 N 的左边），动直线经过点 M，与抛物线 C2的另一个交点为点 P，求证：直线

7、PN 恒过一个定点；（3）图 3 中，在（1）的条件下，x 轴正半轴上有一点 B（1，0），M 为抛物线 C1上在第一象限内的点，若MAB 为锐角，且 tanMAB2，直接写出点 M 的横坐标 x 的取值范围 9 如图 1，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，OBOC，其对称轴为直线 x1（1）直接写出抛物线 C 的解析式；（2）已知点 D（1，2），点 E，F 均在抛物线上（点 E 在点 F 右侧），若以 C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求点 E 的坐标；（3）如图 2，将抛物线 C 平移得到抛物线 C1，使 C1的顶点在原点，过点 P

8、（t，1）的两条直线 PM，PN，它们与 y 轴不平行，都与抛物线 C1只有一个公共点分别为点 M 和点 N，求证：直线 MN 必过定点 10 如图 1，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，OBOC，其对称轴为直线 x1（1）求抛物线 C 的表达式；（2）若点 E 是线段 AB 上的一个动点（与点 A、B 不重合），过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F，连接 CE，设 AE 的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（3）如图 2，将抛物线 C 平移得到抛物线 C1，使 C1的顶点在原点

9、，过点 P（t，1）的两条直线 PM，PN，它们与 y 轴不平行，都与抛物线 C1只有一个公共点分别为点 M 和点 N，求证：直线 MN 必过定点 11 如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 ya（x1）（x+3）的图象与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左边），且经过点 C（2，3），P 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式及点 P 的坐标；（2）平面内一动点 H 自点 C 出发，先到达 x 轴上的某点 M，再到达 y 轴上某点 N，最后运动到点 P，求使点 H 运动的总路径最短的点 M，点 N 的坐标，并求出这个最短总路径的长；（3）如图 2，过点 C 的直线 l 与抛物线有

10、唯一的公共点，将直线 l 向下平移交抛物线于D，E 两点，连 BD 交 y 轴正半轴于 F，连 BE 交 y 轴负半轴于 G，试判断|OFOG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 12已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0），顶点为（0，0）（1）求 b，c 的值；（2）如图 1，若 a1，P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，过 P 作直线 PNx 轴交 x 轴于点 N，交直线：yx+2 于 M 点，设 P 点的横坐标为 m，当 2PMPN 时，求 m 的值；（3）如图 2，点 P（0，y0）为 y 轴正半轴上一定点，点 A，B 均为 y 轴右侧抛物线 C 上两动点，若AP

11、OBPy，求证：直线 AB 经过一个定点 13已知抛物线 C：yax2+bx+c（a0），顶点为（0，0）（1）求 b，c 的值；（2）若 a1，抛物线与直线 L：相交，P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，过 P作直线 PNx 轴交 x 轴于点 N，交直线 L 于 M 点，设 P 点的横坐标为 m，当 2PMPN时，求 m 的值；（3）点 P（0，2）为 y 轴正半轴上一定点，点 A、B 均为 y 轴右侧抛物线 C 上两动点，若APOBPy，求证：直线 AB 经过一个定点 14如图 1，抛物线 yx2+c 与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于 C，且AB2OC

12、，（1）求 c 的值；（2）P（m，n）是抛物线上一动点，过 P 点作直线 L 交 y 轴于 Q（0，s），且直线 L 和抛物线只有唯一公共点，求 n+s 的值；（3）如图 2，E 为直线 y3 上的一动点，CE 交抛物线于 D，EFy 轴交抛物线于 F，求证：直线 FD 经过 y 轴上一定点，并求定点坐标 15如图 1，抛物线 C：yax2+bx1 经过 A（1，0），B（4，0）两点（1）求抛物线 C 的解析式；（2）点 P 为 x 轴下方抛物线 C 上一动点，直线 AP 和直线 BP 分别交 y 轴于 D，E 两点，当 ODOE 的值最大时，求ABP 的面积；（3）如图 2，将抛物线 C

13、 平移，当顶点至原点时，得到抛物线 C1，点 M、N 在抛物线C1上，点 M 在点 N 左边，点 T 是直线 l：y1 上一点，两条直线 MT、NT 与该抛物线均有唯一公共点，ME、NE 均与 y 轴不平行求证：直线 MN 经过某定点，并直接写出直线 l 上点 S（2，1）到直线 MN 的最大距离 d 16如图 1，抛物线 yax2+bx3 与 y 轴于点，与 x 轴交于 A、B 两点，OB3OA，ABC45（1）求此抛物线的解析式；（2）如图 2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，点 M 为 y 轴上一动点，MN 与抛物线只有唯一公共点 N 点，点 G 在 x 轴上，GNMOMN，求证：直线

14、NG 必过一定点，并求此定点的坐标 17如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x 经过坐标原点，与 x 轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为 M，直线 yx+b 经过点 A，与 y 轴交于点 B，连接 OM（1）求 b 的值及点 M 的坐标；（2）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 ymx+n，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 D（2，0），连接 DM，求证：ADMACM45；（3）点 E 是线段 AB 上一动点，点 F 是线段 OA 上一动点，连接 EF，线段 EF 的延长线与线段 OM 交于点 G 当BEF2BAO 时，是否存在点 E，使得 3GF4EF？若存在，求出点 E

15、的坐标；若不存在，请说明理由 18如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，连接 AC、BC（1）直接写出点 A 的坐标和直线 BC 的解析式；（2）如图 1，点 D 是抛物线第一象限上一点，DBAACB，求点 D 的横坐标；（3）如图 2，点 M 是 BC 上方抛物线上的动点，过点 M 作 MNBC 交抛物线于另一点N，过点 M 作 MEy 轴交 BC 于点 E，过点 N 作 NFy 轴交 BC 于点 F，求四边形 MEFN周长的最大值 19如图，抛物线 yax2+bx3，顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C

16、，且 OBOC3OA过点 B 的直线 yx+1 与 y 轴交于点 D（1）a ，b ；（2）求DBCCBE 的值；（3）若点 Q 为该二次函数的图象上的一点，且横坐标为2，另有点 P 是 x 轴的正半轴上的任意一点，试判断 PQPC 和 BQBC 值的大小关系，并说明理由 20如图，直线 AB：ykx+b 交抛物线于点 A、B（A 在 B 点左侧），过点 B 的直线BD 与抛物线只有唯一公共点，且与 y 轴负半轴交于点 D（1）若 k，b2，求点 A、B 两点坐标；（2）AB 交 y 轴于点 C，若 BCCD，OCCE，点 E 在 y 轴正半轴上，EFx 轴，交抛物线于点 F，求 EF 的长；

17、（3）在（1）的条件下，P 为射线 BD 上一动点，PNy 轴交抛物线于点 N，交直线 AB于点 Q，PMAN 交直线于点 M，求 MQ 的长 参考答案 1解：（1）令 y0，得：kx2+（2k+1）x+20，解得：x12，故答案为：，2；（2）两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数，k1，二次函数的解析式为：yx2+3x+2；（3）抛物线 ykx2+（2k+1）x+2 恒过定点，则定点为（0，2），（2，0）2证明：（1）yx24mx+4m2+2m4（x2m）2+2m4，顶点 P（2m，2m4），当 x2m 时，y2m4，点 P 在直线 l 上；解：（2）联立方程组，整理得 x24mxx

18、+4m2+2m0，P 点在直线 yx4 上，x2m 是方程的一个解，方程的另一个解为 2m+1，Q（2m+1，2m3），OQ，QP，OP，当 OPOQ 时，解得 m；当 OPPQ 时，m 无解；当 OQPQ 时，m 无解；综上所述：m；（3）m0，yx24，令 y0，则 x2，A（2，0），B（2，0），设直线 MN 的解析式为 ykx+b，M（x1，4），N（x2，4），联立方程组，x2kxb40，x1+x2k，x1x2b4，过点 M 作 MEx 轴交于点 E，过点 N 作 NFx 轴交于点 F，MANA，MAN90，MAE+NAF90，MAE+AME90，NAFAME，AMENAF，ME4

19、，NF4，AE2x1，AFx22，2kb+10，y（1+x）bx，当 x2 时，y1，直线 MN 经过定点（2，1）3解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为 ya（x2）2 抛物线过点（4，1），4a1，a，抛物线的解析式为：y（x2）2x2x+1（2）联立直线 AB 与抛物线解析式成方程组，得：，A（1，），B（4，1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB交直线 l 于点 P，此时 PA+PB 取得最小值（如图所示）B（4，1），直线 l 为 y1，B（4，3）设直线 AB的解析式为 ykx+b（k0），将 A（1，）、B（4，3）代入 ykx+b，得：，直线 AB的解析式为：y

20、x+当 y1 时，有x+1，x，P（，1）（3）点 M 到直线 l 的距离与点 M 到点 F 的距离总是相等，（n+1）2（mx0）2+（ny0）2，2n+1m22x0m+x022y0n+y02 M（m，n）为抛物线上一动点，nm2m+1，2（m2m+1）+1m22x0m+x022y0（m2m+1）+y02，整理得：0（1y0）m2+（22x0+2y0）m+x02+y022y03 m 为任意值，定点 F 的坐标为（2，1）4解：（1）当 y0 时，由x22x+0，得 x11，x23，A（1，0），B（3，0）；当 x0 时，y，C（0，），点 A、B、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（

21、0，）（2）如图 1，在 OB 上取一点 E，连接 CE，使 CEBE，设 E（m，0）OB3，CEBE3m，又OC，COE90，m2+（3m）2，解得 m，E（，0）设直线 CE 的解析式为 ykx+，则k+0，解得 k，yx+；tanOBC，tanCBD，CBDOBC；OBD2OBC，OBCECB，OECOBC+ECB2OBC，OBDOEC，BDEC 设直线 BD 的解析式为 yx+b，则3+b0，解得 b4，yx+4 由，得，D（，）；若点 D 与点 A 重合，tanCBD，此时 D（1，0）综上所述，点 D 的坐标为（，）或（1，0）（3）直线 MN 经过某定点 物线 C1：yx22x

22、+（x2）2，将其向上平移至顶点 P 落在 x 轴上，此时得到的抛物线 C2：y（x2）2，即 yx22x+2，顶点为 P（2，0）如图 2，设直线 MN 的解析式为 yax+c，M（x1，y1），N（x2，y2），由 yx22x+2ax+c，整理得 x2（4+2a）x+42c0，x1+x24+2a，x1x242c；作 MMx 轴于点 M，NNx 轴于点 N，PMPN，PNN90NPNMPM，tanPNNtanMPM，（x12）（x22）+y1y20，y1（x12）2，y2（x22）2，（x12）（x22）+（x12）2（x22）20，1+（x12）（x22）0，整理，得 x1x22（x1+x

23、2）+80，42c2（4+2a）+80，c22a，直线 MN 的解析式可表示为 yax+22a，即 ya（x2）+2，当 x2 时，y2，直线 MN 必经过定点（2，2）5解：（1）由题意和 y（xm）2，设 A（m，0），当 x0 时，y（0m）2，即设 B（0，），OAm，OB，由 SOAB1，OAOB1，即 m2，解得，m2，A（2，0），B（0，1），把 y（x2）2化为一般式为，yx2x+1；（2）由（1）得抛物线对称轴为直线 x2，D、C 两点在直线 x2 上，则设 C（2，n），D（2，n），如图 2 延长 BA 交直线 PC 于点 Q 并设直线 PC 交 x 轴于点 E，BAO

24、PCD，BOAEAC90，RtBOARtEAC，BAOECA，tanBAOtanECA，AC2AE，又BAOEAQ，BAOECA，ECAEAQ，又ECA+CEA90，EAQ+QEA90，BQPC，设直线 AB 的解析式为 ykx+b，把 A（2，0），B（0，1）代入得，解得，直线 AB 的解析式为：yx+1，由 BQPC 设直线 PC 的解析式为 y2x+b，又过 P 的直线 l 与抛物线有且只有一个公共点，令 2x+b（x2）2，整理得，x212x+44b0，且0，即 1444（44b）0，解得，b8，直线 PC 的解析式为，y2x8；（3）如图 3 中，以 A 为原点建立新的坐标系，则抛

25、物线的解析式为 yx2，在新坐标系中设 M（a，a2），N（m，m2），AMAN，ma16，设直线 MN 的解析式为 ykx+b，则有，解得：，m16，b4，直线 MN 的解析式为 y（a+m）x+4，直线 MN 经过定点（0，4）（新坐标系中），在原来坐标系中，直线 MN 经过点（2，4），直线 MN 经过定点（2，4）6解：（1）将点（2，3）和（1，0）代入 yax22ax+c，yx2+2x+3；（2）过 Q 点作 QHPN 交于点 H，四边形 PMNQ 是正方形，PN2HQ，设 P（m，m+2m+3），则 N（m，m1），PQAE，直线 PQ 解析式 yx+m+3m+3，联立方程组，x

26、3x+m+3m0，解得 x3m，Q 点的横坐标为 3m，PN2HQ，m2+3m+42（32m），解得 m，1m3，m，t4；（3）yx2+2x+3（x1）2+4，平移后的抛物线顶点在 y 轴上，抛物线向左平移 1 个单位，抛物线 C2：yx2+4，设 MN 解析式为 ykx+2，联立方程组，x2+kx20，xM+xNk，xMxN2，设 MR 解析式为 ysx+t，联立方程组，可得 x2+sx+t40，xM+xMs，xMxMt4，s2xM，txM2+4，直线 MR 解析式为：y2xMx+xM2+4，同理 NR 解析式为：y2xNx+xN2+4，联立方程组，解得，x，y6，R 点坐标为（，6），R

27、 点在定直线 y6 上运动 7解：（1）如图 1，设 AB 与 OP 的交点为 C；点 A（0，2），B（2，0），CBO45，PO 是 AB 的垂直平分线，OBC 是等腰直角三角形，P（2，2）；如图 2，连接 AD，当 B（4，0）时，PABO，ADBD，在 RtAOD 中，AD+OD4，AO2，AD24+（4AD）2，AD，BP5，P（4，5）；设 P 点形成的抛物线解析式为 yax2+bx+c，抛物线关于 y 轴对称，b0，将点（2，2），（4，5）代入，可得 a，c1，抛物线解析式为 y+1；故答案为（2，2）；（4，5）；（2）如图 3，过点 E 作 EGx 轴，过点 F 作 FH

28、x 轴，由（1）可知，FHAF，AEEG，设 E（x1，y1），F（x2，y2），AF3AE，y23y1，点 E 与 F 在直线 ykx 上，x23x1，联立 ykx 与 y+1，可得kx+10，x1+x24k，x1x24，4x14k，34，k，k0，k；（3）设 M（x1，mx1m+2），G（x2，mx2m+2），N（x3，x32+1），由得 x1+x24m，x1x24m4，直线 OG 的解析式为 yx，由得 x2x34，x3，x1+x3x1+，x1x3，则直线 MN 的解析式为 y（x1+x3）x+1x1x3 x+1 x+1（x4）+2，直线 MN 过定点（4，2）8解：（1）抛物线的顶点

29、坐标为（0，2），可设抛物线 C1的解析式的顶点式为 yax22，将点 A（2，2）代入得：（2）2a22，解得 a1，故抛物线 C1的解析式为 yx22；（2）由题意得：抛物线 C2的解析式为 yx22+2，即 yx2，设点 M、N、P 的坐标为 M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），设直线 MN 的解析式为 ykx+b，将点 M（m，m2），N（n，n2）代入得，解得，则直线 MN 的解析式为：yMN（m+n）xmn，同理可得：yPM（m+p）xmp，yPN（p+n）xpn，直线 PM 为动直线 y4x+e，m+p4，p4m，yPN（p+n）xpn（4m+n）x（4m）n，即：y

30、PN（4m+n）x+（4n+mn）又点 A 在直线 MN 上，2（m+n）mn2，mn2m2n2，yPN（4m+n）x+（4n2m2n2），即：yPN（4m+n）x+（2n2m2），当 x2 时，yPN2（4m+n）+（2n2m2）6，即无论 m 取何值，直线 PN 恒过定点（2，6）；（3）过 B 点作 BDAB，取 BD2AB，作 AEx 轴，DFx 轴，垂足分别为 E、F；A（2，2），B（1，0），AB，sinABE，cosABE，DBF+ABE90，DBF+BDF90，BDFABE，BFBDsinBDF24，DFBDcosBDF26，OFOB+BF6，D 点坐标为（5，6），直线 A

31、D 解析式为：，当时，解得：x12，即 tanMAB2 时，点 M 的横坐标为 作 AG 垂直 AB 交抛物线 C1与 M2点，即 G 点坐标为，直线 AG 解析式为：，当时，x12，即MAB90时，当 M 的横坐标为，综上所述：若MAB为锐角，且tanMAB2，M的横坐标x的取值范围为：9解：（1）抛物线的对称轴为直线 x1，x1，即 b2a，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，C（0，3），OC3，OBOC，OB3，B（3，0），把 B（3，0）代入 yax2+bx3 中，得 9a+3b30，由可知，a1，b2，抛物线的解析式为：yx22x3（

32、2）若 CDEF，四边形 CDEF 是平行四边形，CDEF 且 CDEF，C（0，3），D（1，2），D 向左平移 1 个单位长度，向下平移 5 个单位长度得到点 C，点 E，F 都在抛物线上，点 E 在点 F 的右侧，点 E 左平移 1 个单位长度，向下平移 5 个单位长度得到点 F，设 E（x，x22x3），则 F（x1，x22x8），将点 F（x1，x22x8）代入 yx22x3 得，（x1）22（x1）3x22x8，解得 x4，E（4，5），若 CEDF，四边形 CEDF 是平行四边形，CEDF 且 CEDF，C（0，3），D（1，2），CD 的中点坐标为（，），设 E（x，x22x3

33、），则 F（x+1，x2+2x+2），将点 F（x+1，x2+2x+2）代入 yx22x3 得，（x+1）22（x+1）3x2+2x+2，解得 x或 x，点 E 在点 F 的右侧，E（，）综上，点 E 的坐标为 E（4，5）或 E（，）（3）根据题意得，抛物线 C1的解析式为：yx2，设 M（m，m2），N（n，n2），则直线 PM 可设为 yk1（xm）+m2，直线 PN 可设为 yk2（xn）+n2，直线 PM 与抛物线只有一个公共点，联立 yk1（xm）+m2与抛物线 yx2，得，得 x2k1x+k1mm20，k124（k1mm2）（k12m）20，解得 k12m，直线 PM 的解析式为

34、：y2m（xm）+m22mxm2，同理可得，直线 PN 的解析式为：y2n（xn）+n22nxn2，联立 PM 和 PN 的解析式可得，P（，mn），P（t，1），mn1，设直线 MN 的解析式为：ykx+b，将 M（m，m2），N（n，n2）代入可得 y（m+n）xmn，直线 MN 的解析式为：y（m+n）x+1，直线 MN 过定点（0，1）10（1）解：抛物线的对称轴为直线 x1，x1，即 b2a，抛物线 C：yax2+bx3 与 x 轴的正半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，C（0，3），OC3，OBOC，OB3，B（3，0），把 B（3，0）代入 yax2+bx3 中，得 9a+3b

35、30，由可知，a1，b2，抛物线的解析式为：yx22x3 （2）解：B（3，0），对称轴为直线 x1 A（1，0），即 AB4，OBOC3，BC3，EFAC，AEFABC，即，EFm 过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sinFEGsinCBA，FGEFm，SSACESAFE m（3m）m2+m（0m4）（3）证明：根据题意得，抛物线 C1的解析式为：yx2，设 M（m，m2），N（n，n2），则直线 PM 可设为 yk1（xm）+m2，直线 PN 可设为 yk2（xn）+n2，直线 PM 与抛物线只有一个公共点，联立 yk1（xm）+m2与抛物线 yx2，得，得 x2k1x+k1mm20

36、，k124（k1mm2）（k12m）20，解得 k12m，直线 PM 的解析式为：y2m（xm）+m22mxm2，同理可得，直线 PN 的解析式为：y2n（xn）+n22nxn2，联立 PM 和 PN 的解析式可得，P（，mn），P（t，1），mn1，设直线 MN 的解析式为：ykx+b，将 M（m，m2），N（n，n2）代入可得 y（m+n）xmn，直线 MN 的解析式为：y（m+n）x+1，直线 MN 过定点（0，1）11解：（1）把 C（2，3）代入 ya（x1）（x+3），可得 a1，yx22x+3（x+1）2+4，P（1，4）；（2）如图 1 中，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，

37、点 P 关于 y 轴的对称点 P，连接 CP交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，得 C（2，3），P（1，4），此时点 H 运动的总路径最短，yMNx+，M（，0），N（0，），dmin；（3）如图 2 中，过点 D，E 分别作 DKy 轴于点 K，EHy 轴于点 H 设直线 l 的表达式为 ykx+b，将 C（2，3）代入得到 b2k+3，ykx+2k+3，由，得到 x2+（2+k）x+2k0，由0 可得（2+k）28k0 k2，设 DE 为 y2x+m，E（x1，y1），D（x2，y2），由，得 x2+4x+m30，x1+x24，x1x2m3，由DKFBOF，BOGEHG，可得，OF，

38、OG，|OFOG|，将 x1+x24，x1x2m3，代入上式，可得|OFOG|2 12解：（1）设抛物线的表达式为 ya（xh）2+k，顶点为（0，0），yax2，故 b0，c0；（2）a1 时，抛物线的表达式为 yx2，P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，设点 P 的坐标为 P（m，m2）（m0），则点 M（m，m+2），2PMPN，则 2|m+2m2|m2，解得 m（舍去）或或 或1（舍去），故 m或；（3）作点 A 关于 y 轴的对称轴 M，抛物线关于 y 轴对称，故点 M 在抛物线上，连接 MP，MPOOPABPy，故 M、P、B 三点共线，设点 A（p，ap2），则点 M（p，a

39、p2），设直线 PM 的表达式为 ykx+b，则，解得，故直线 PM 的表达式为 y+y0，联立并整理得：ax2xy00，则 xB+xM，即 xBp，则 xB，将 xB 的值代入 yax2得，y，故点 B 的坐标为（，），由点 B、A 的坐标得，直线 AB 的表达式为 yxy0，当 x0 时，yy0，故直线 AB 恒过点（0，y0）13（1）解：设抛物线的表达式为 ya（xh）2+k，顶点为（0，0），h0，k0，yax2，即 b0，c0；（2）解：a1 时，抛物线的表达式为 yx2，如图：P 为 y 轴右侧抛物线 C 上一动点，设点 P 的坐标为 P（m，m2）（m0），则点 M（m，m+2

40、），2PMPN，2|m+2m2|m2，解得 m（舍去）或 m或 m或 m1（舍去），m 的值是或；（3）证明：作点 A 关于 y 轴的对称轴 M，连接 MP，如图：抛物线关于 y 轴对称，点 M 在抛物线上，MPOOPABPy，M、P、B 三点共线，设点 A（p，ap2），则点 M（p，ap2），设直线 PM 的表达式为 ykx+2，将 M（p，ap2）代入得kp+2ap2，解得 k 直线 PM 的表达式为 yx+2，由得 ax2x20，xB+xM，而 xPp，xB，将 xB代入 yax2得：y，点 B 的坐标为（，），由点 B（，）、A（p，ap2）得：直线 AB 的表达式为 yx2，当 x

41、0 时，y2，直线 AB 经过一个定点（0，2）14解：（1）由题意可知：c0，OCc，AB2c，令 y0 代入 yx2+c，x22c，x，AB2，2cc2，c0（舍去）或 c2，抛物线的解析式为：yx22；（2）设直线 PQ 的解析式为：yk1x+b1，将 P（m，n）与 Q（0，s）代入 yk1x+b1，可得：，解得：，直线 PQ 的解析式为：yx+s 联立，化简可得：x2x2s0，（）24（2s）0，化简可得：n2+4n+s2+4s+80，（n+2）2+（s+2）20，n2，s2，n+s4；（3）设 E（a，3），F（a，2），设直线 CE 的解析式为：yk2x+b2，把 C（0，2）和

42、 E（a，3）代入 yk2x+b2，可得：，解得：，直线 CE 的解析式为：yx2，联立，解得：x0（舍去）或 x，D（，），设直线 DF 的解析式为：yk3x+b3，把 D 和 F 的坐标分别代入 yk3x+b3 可得：，解得：，直线 DF 的解析式为：yx7，令 x0 代入 yx7，y7，直线 DF 恒过点（0，7）15解：（1）将 A，B 两点坐标代入到抛物线解析式中得，解得，抛物线 C 的解析式为 y；（2）设直线 AP 为 yk1（x+1），P（xP，yP），联立得，化简得 x2（3+4k1）x44k10，直线 AP 与抛物线 C 的交点为 A，P，1+xP3+4k1，xP4+4k1

43、，设直线 BP 的解析式为 yk2（x4），同理可得，4+xP3+4k2，xP4k21，4+4k14k21，令 x0，则 yk1（x+1）k1，D（0，k1），ODk1，同理，E（0，4k2），OE4k2，ODOE4k1k2，当时，ODOE 的值最大，此时，即ABP 的面积为；（3）当抛物线 C 平移至 C1，由题意可得，C1的解析式为：，设直线 MT 为 yk3x+b，联立得，化简得，直线 MT 与抛物线只有一个公共点，0，bk3，直线 MT 为 y，M（），同理，可设直线 NT 为 y，N 为（），当 y1 时，分别代入直线 MT 和直线 NT 的解析式中得，x，（k3k4）（k3k4+1

44、）0，k3k4，k3k41，设直线 MN 为 ykx+b，代入 M，N 两点得，解得，直线 MN 为 y，令 x0，则 y1，直线 MN 恒经过点（0，1），所求最大距离 d，即直线 MN 恒经过点（0，1），d 16解：（1）由题意 OCOB3，OA1，点 A 坐标（1，0），点 B 坐标（3，0），解得，抛物线解析式为 yx22x3（2）如图 2 中，平移后的抛物线解析式为 yx2，设点 M 坐标（0，b），直线 MN 解析式为 ykx+b，由消去 y 得到 x2kxb0，由题意0，k2+4b0，b，点 M 坐标（0，），N（，），线段 MN 中点 H 坐标为（，0），设过点 H 垂直 M

45、N 的直线的解析式为 yx+b，把（，0）代入得到 b，该直线解析式为 yx+，该直线与 y 轴交于点 K（0，），连接 KN，则有 KMKN，KNMKMO，GNMOMN 点 K 在直线 GN 上，直线 GN 经过定点（0，）17（1）解：对于抛物线 yx22x，令 y0，得到x22x0，解得 x0 或 6，A（6，0），直线 yx+b 经过点 A，03+b，b3，yx22x（x3）23，M（3，3）（2）证明：如图 1 中，设平移后的直线的解析式 yx+n 平移后的直线经过 M（3，3），3+n，n，平移后的直线的解析式为 yx，过点 D（2，0）作 DHMC 于 H，则直线 DH 的解析式

46、为 y2x4，由，解得，H（1，2），D（2，0），M（3，3），DH，HM，DHHM DMC45，ADMDMC+ACM，ADMACM45（3）解：如图 2 中，过点 G 作 GHOA 于 H，过点 E 作 EKOA 于 K BEF2BAO，BEFBAO+EFA，EFABAO，EFAGFH，tanBAO，tanGFHtanEFK，GHEK，设 GH4k，EK3k，则 OHHG4k，FH8k，FKAK6k，OFAF12k3，k，OF3，FKAK，EK，OK，E（，）18解：（1）令 y0，则x2+x30，解得 x1 或 x4，A（1，0），B（4，0），令 x0，则 y3，C（0，3），设直线

47、BC 的解析式为 ykx+b，yx3；（2）A（1，0），B（4，0），C（0，3），AB3，BC5，过点 A 作 AHBC 交于点 H，过点 D 作 DGx 轴交于点 G，设 D（t，t2+t3），tanOBC，AH，BH，CH，tanACB，DBAACB，解得 t，D 点的横坐标为；（3）BC 的直线解析式为 yx3，MNBC，设 MN 的直线解析式为 yx+h，设 N（n，n2+n3），则 F（n，n3），NFn2+3n，联立方程组，整理得 3x212x+12+4h0，xN+xM4，xM4n，M（4n，n2+n），MN|n2|，四边形 MEFN 是平行四边形，四边形 MEFN 周长2MN

48、+2NF2（MN+NF）2（|n2|n2+3n），当 n2 时，四边形 MEFN 周长2（n2+n5）（n）2+，当 n时，四边形 MEFN 周长的最大值为；当 0n2 时，四边形 MEFN 周长2（n2+n+5）（n）2+，当 n时，四边形 MEFN 周长的最大值为；综上所述：四边形 MEFN 周长的最大值为 19解：（1）抛物线 yax2+bx3 与 y 轴交点为（0，3），又OBOC3OA，A（1，0），B（3，0），C（0，3）将 A（1，0），B（3，0）分别代入 yax2+bx3，得，解得，故答案是：1；2；（2）如图 1，作 EGCO 于 G，连 CE A（1，0），B（3，0）

49、，yx22x3（x1）24，C（0，3）、E（1，4）又直线 yx+1 与 y 轴交于点 D，D（0，1），易知OBC、CEG 都是等腰直角三角形，OCB45，GCE45，BCE180OCBGCE90，即CBE 是直角三角形 tan，tan，从而可得DBCCBE45（3）结论：PQPCBQBC 理由如下：点 Q 为二次函数 yx22x3 的图象上一点，且横坐标为2，Q（2，5）当点 P 与点 B 重合时，PCPQBQBC；当点 P 异于点 B 时 直线 BQ 经过点 B（3，0），Q（2，5），直线 BQ 的函数关系式为：yx+3 直线 BQ 与 y 轴的交点坐标是（0，3），并设此交点为 H

50、，点 H 与点 C 是关于 x 轴对称的一对对称点，BCBH，PHPC，BQBCBQBHQH，PQPCPQPH，PQPCBQBC，综上所述，PQPCBQBC 20解：（1）k，b2，直线 AB：yx+2，抛物线，联立解得，或，A（2，1），B（4，4）；（2）设直线 BD 的解析式为 yax+c，抛物线，联立得，x24ax4c0，直线 BD 与抛物线只有唯一公共点，16a2+16c0，ca2，直线 BD 的解析式为 yaxa2，B（2a，a2），D（0，a2）直线 AB：ykx+b，C（0，b），CD2（b+a2）2，BC24a2+（a2b）2，BCCD，（b+a2）24a2+（a2b）2，b