2022-2023学年苏科版九年级数学下册《6-7用相似三角形解决问题》解答题优生辅导训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册6.7 用相似三角形解决问题 解答题优生辅导训练（附答案）1感知：如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，B90，点 P 在 BC 边上，当APD90时，可知ABPPCD（不要求证明）探究：如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在 BC 边上，当BCAPD 时，求证：ABPPCD 拓展：如图，在ABC 中，点 P 是边 BC 的中点，点 D、E 分别在边 AB、AC 上若BCDPE45，BC6，BD4，则 DE 的长为 2如图，矩形 OABC 的顶点 O、A、C 都在坐标轴上，点 B 的坐标为（8，3），M 是 BC 边的中点（1）求出点 M 的坐标

2、和COM 的周长；（2）若点 Q 是矩形 OABC 的对称轴 MN 上的一点，使以 O、M、C、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点 Q 的坐标；（3）若 P 是 OA 边上一个动点，它以每秒 1 个单位长度的速度从 A 点出发，沿 AO 方向向点 O 匀速运动，设运动时间为 t 秒是否存在某一时刻，使以 P、O、M 为顶点的三角形与COM 相似或全等？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由 3在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与 A，B 重合），分别连接 ED、EC，可以把四边形 ABCD 分成三个三角形如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫

3、做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形ABCD 的边 AB 上的“强相似点”解决问题：（1）如图 1，ABDEC70，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点，并说明理由；（2）四边形 AOBC 在平面直角坐标系中的位置如图 2 所示，若点 A，B，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），则在四边形 AOBC 的边 OB 上是否存在强相似点？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 F 处，若点 F 恰好是四边形 AB

4、CE 的边 AB 上的一个强相似点，则 AB 与 BC 的数量关系为 4课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 BC120mm，高 AD80mm要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC上（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？【探索发现】（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？如果 BCa，高 ADh，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）【实际应用】（3）现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB60cm，BC100cm，CD70cm，且BC60，木匠徐师傅从这块

5、余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 5如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是小明两次利用镜子，第一次他把镜子放在 C 点，人在 F 点正好在镜子中看见树尖 A；第二次把镜子放在 D 点，人在 H 点正好在镜子中看到树尖 A已知小明的眼睛距离地面的距离 EF1.68 米，量得 CD10 米，CF1.2 米，DH3.6 米，利用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看（友情提示：ACBECF，ADFGDH）6太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔

6、”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC4 米，将标杆 CD 向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆的顶端点 H，舍利塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与塔底处的点 A 在同一直线上），这时测得 FG6 米，GC53 米 请你根据以上数据，计算舍利塔的高度 AB 7如图，平面直角坐标系中，在四边形 OABC 中，BCOA，OCAB，OA7，AB4，COA60，点 P 是 x 轴上一个

7、动点，点 P 不与点 O、A 重合，连接 CP，点 D 是边AB 上一点，连接 PD（1）求点 B 的坐标；（2）若OCP 是等腰三角形，求此时点 P 的坐标；（3）当点 P 在边 OA 上，CPDOAB，且时，求此时点 P 的坐标 8已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形，ACB90，点 A，C 的坐标分别为 A（3，0），C（1，0），（1）求直线 AB 的解析式；（2）在 x 轴上确定一点 D，连接 DB，使得ADB 与ABC 相似，并求出点 D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如 P，Q 分别是 AB 和 AD 上的动点，连接 PQ，设 APDQm，问是否存在这样的 m

8、使得APQ 与ADB 相似？如存在，请直接写出 m 的值；如不存在，请说明理由 9阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的 4 名同学选择了测量学校里的四棵树的高度在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米（如图 1）小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图 2），墙壁上的影长为 1.2 米，落在地面上的影长为 2.4 米 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图 3），测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3

9、 米，落在地面上的影长为 4.4 米 小明：测得丁树落在地面上的影长为 2.4 米，落在坡面上影长为 3.2 米（如图 4）身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为 2m（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米（2）画出测量乙树高度的示意图，并求出乙树的高度（3）请选择丙树的高度为 A6.5 米 B5.75 米 C6.05 米 D7.25 米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看 10已知两条平行线 l1、l2之间的距离为 6，截线 CD 分别交 l1、l2于 C、D 两点，一直角的顶点 P 在线段 CD 上运动（点 P 不与点 C、D 重合），直角的两边分别交 l1

10、、l2与 A、B两点 （1）操作发现 如图 1，过点 P 作直线 l3l1，作 PEl1，点 E 是垂足，过点 B 作 BFl3，点 F 是垂足 此时，小明认为PEAPFB，你同意吗？为什么？（2）猜想论证 将直角APB 从图 1 的位置开始，绕点 P 顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当 AE 满足什么条件时，以点 P、A、B 为顶点的三角形是等腰三角形？在图 2 中画出图形，证明你的猜想（3）延伸探究 在（2）的条件下，当截线 CD 与直线 l1所夹的钝角为 150时，设 CPx，试探究：是否存在实数 x，使PAB 的边 AB 的长为 4？请说明理由 11如图，在菱形 ABCD 中，

11、点 E 是 BC 上一点，F 是 CD 上一点，连接 AE、AF、EF （1）如图 1，若AEBAEF，求证：AF 平分EFD（2）如图 2，若B90，连接 BD 分别交 AF、AE 于 M、N 两点，连接 ME，若 MEAF 于 M，求证：EAF45（3）在（2）的条件下，若 BM：EF4：5，AEF 的面积为 15 时，求 AE 的长度 12如图 1，ABC 与CDE 都是等腰直角三角形，直角边 AC、CD 在同一条直线上，点M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，连接 AE、BD（1）猜想：PM 与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 （直接写出结论）（2）现将图

12、 1 中的CDE 绕着点 C 顺时针旋转（090），得到图 2，AE 与MP、BD 分别交于点 G、H，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）若图 2 中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BCkAC，CDkCE，如图 3，写出 PM 与 PN 的数量关系，并加以证明 13如图 1 所示，在ABC 中，点 O 是 AC 上一点，过点 O 的直线与 AB，BC 的延长线分别相交于点 M，N【问题引入】（1）若点 O 是 AC 的中点，求的值；温馨提示：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G【探索研究】（2）若点 O 是 AC 上任意一点（不与 A

13、，C 重合），求证：1；【拓展应用】（3）如图 2 所示，点 P 是ABC 内任意一点，射线 AP，BP，CP 分别交 BC，AC，AB于点 D，E，F，若，求的值 14ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，以 D 为顶点作MDNB （1）如图（1）当射线 DN 经过点 A 时，DM 交 AC 边于点 E，不添加辅助线，写出图中所有与ADE 相似的三角形（2）如图（2），将MDN 绕点 D 沿逆时针方向旋转，DM，DN 分别交线段 AC，AB 于E，F 点（点 E 与点 A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论（3）在图（2）中，若 ABAC10，BC12，当

14、 SDEFSABC时，求线段 EF 的长 15（一）结论猜想 如图 1，在等腰 RtABC 中，ACB90，ACBC，点 F 是 AC 边上一点（点 F 不与A、C 重合），以 CF 为一边在ABC 左侧作正方形 CFED，连接 BF、AD，BF 交 AD 于点 O，直接写出 BF 与 AD 的数量关系及所在直线的位置关系：（二）探究验证 如图 2，将（一）中的正方形 CFED 绕点 C 逆时针旋转一定角度，BF 与 AD、AC 交于点O、H，（一）中的结论是否改变？并写出理由；（三）拓展延伸 如图 3，将（二）中的等腰 RtABC 改为 RtABC，ACB90，正方形CFED 改为矩形 CF

15、ED，CF，CD2，BF 与 AD、AC 交于点 O、H，判断 BF 与 AD间的数量关系，并写出理由 16（1）问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，DPCAB90，求证：ADBCAPBP；（2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB时，上述结论是否依然成立？说明理由（3）应用：请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图 3，在ABD 中，AB6，ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足CPDA，设点 P 的运动时间为 t（秒），当 DC4BC 时，求 t 的值 17

16、 善于学习的小敏查资料知道：对应角相等、对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形 她想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，于是提出如下两个问题，请你帮她解决 问题一：平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？从特殊情形入手探究假设在梯形 ABCD 中，ADBC，AB6，BC8，CD4，AD2，MN 是中位线（如图（1）所示），根据相似梯形的定义，请你说明梯形 AMND 与梯形 ABCD 是否相似 一般性结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形 （填“一定相似”、“一定不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）问题二：平行于梯形底边的直线

17、截两腰所得的两个小梯形是否相似？从特殊平行线入手探究：梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形 （填“一定相似”、“一定不相似”或“相似性无法确定”，不要求证明）从特殊梯形入手探究：在梯形 ABCD 中，ADBC，AB6，BC8，CD4，AD2，你能找到与梯形底边平行的直线 PQ，点 P、Q 在梯形的两腰上（如图（2）所示），使得梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似吗？请根据相似梯形的定义说明理由 一般性结论：对于任意梯形，一定 （填“存在”或“不存在”）平行于梯形底边的直线 PQ，使截得的两个小梯形相似若存在，则 （设 ADa，BCb，用含 a，b 的式子表示，不要求证明）18已知直线 mn，点

18、 C 是直线 m 上一点，点 D 是直线 n 上一点，CD 与直线 m、n 不垂直，点 P 为线段 CD 的中点（1）操作发现：直线 lm，分别交 m、n 于点 A、B，当点 B 与点 D 重合时（如图 1），连接 PA，请直接写出线段 PA 与 PB 的数量关系：（2）猜想证明：在图 1 的情况下，把直线 l 向右平移到如图 2 的位置，试问（1）中的PA 与 PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）延伸探究：在图 2 的情况下，把直线 l 绕点 A 旋转，使得APB90（如图 3），若两平行线 m、n 之间的距离为 2k，求证：PAPBkAB 19【定义】

19、已知 P 为ABC 所在平面内一点，连接 PA，PB，PC，在PAB，PBC 和PAC 中，若存在一个三角形与ABC 相似（全等除外），那么就称 P 为ABC 的“共相似点”，根据“共相似点”是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为“内共相似点”，“边共相似点”或“外共相似点”（1）据定义可知，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）共相似点【探究 1】用边共相似点探究三角形的形状（2）如图 1，若ABC 的一个边共相似点 P 与其对角顶点 B 的连线，将ABC 分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断ABC 的形状，并说明理由【探究 2】用内共相似点探究三角形的内角关系（3）如图 2，

20、在ABC 中，ABC，高线 CD 与角平分线 BE 交于点 P，若 P是ABC 的一个内共相似点，试说明点 E 是ABC 的边共相似点，并直接写出A 的度数【探究 3】探究直角三角形共相似点的个数（4）如图 3，在 RtABC 中，C90，A30，BC，若PBC 与ABC相似，则满足条件的 P 点共有 个，顺次连接所有满足条件的 P 点而围成的多边形的周长为 20若平面直角坐标系中的点作如下平移：沿 x 轴方向平移的数量为 a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿 y 轴方向平移的数量为 b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”规定“平移量”

21、a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，da+c，b+d（1）若动点 P 从坐标点 M（1，1）出发，按照“平移量”2，0平移到 N，再按照“平移量”1，2平移到 G，形成MNG，则点 N 的坐标为 ，点 G 的坐标为 （2）若动点 P 从坐标原点出发，先按照“平移量”m 平移到 B，再按照“平移量”n 平移到 C；最后按照“平移量”q 平移回到点 O 当OBCMNG（在（1）中的三角形）且相似比为 2：1 时，请你直接写出“平移量”m ，n ，q （3）在（1）、（2）的前提下，请你在平面直角坐标系中画出OBC 与MNG 21已知：将一副三角板（RtABC 和 RtDEF）如图摆

22、放，点 E，A，D，B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点将 RtDEF 绕点 D 顺时针方向旋转角（090），在旋转过程中，直线 DE，AC 相交于点 M，直线 DF，BC 相交于点 N，分别过点 M，N作直线 AB 的垂线，垂足为 G，H（1）当 30时（如图），求证：AGDH；（2）当 60时（如图），（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当 090（如图）时，求证：AGHBGDDH 参考答案 1解：感知：APD90，APB+DPC90，B90，APB+BAP90，BAPDPC，ABCD，B90，CB90，ABPPCD 探究：APCBAP+B，APCAPD+CPD

23、，BAP+BAPD+CPD BAPD，BAPCPD BC，ABPPCD，拓展：同探究的方法得出，BDPCPE，点 P 是边 BC 的中点，BPCP3，BD4，CE，BC45，A180BC90，即 ACAB 且 ACAB6，AEACCE6，ADABBD642，在 RtADE 中，DE 故答案是：2解：（1）四边形 OABC 是矩形，CBOACBOA，B 点坐标为（8，3），M 为 BC 中点，M 点坐标为（4，3），0CAB3，CMBC4，在 RrOMC 中，C90，OM5，OMC 的周长OM+CM+CO 3+4+512，点 M 的坐标为（4，3），OMC 的周长为 12（2）如图，分情况讨论：

24、当四边形是以OC，OM为边的平行四边形COMQ，则 MQOC，MQOC3，此时 Q 点坐标为（4，6），当四边形是以OC，CM为边的平行四边形COMQ，则 Q 点与对称轴 MN 与 x 轴的交点，此时 Q 点坐标为（4，0）；当四边形是以 OM，CM 为边的平行四边形 CMOQ，这时 Q 点不在对称轴 MN 上，不符合条件；综上所述，符合条件的点 Q 的坐标为（4，6），（4，0）（3）存在如图，由题意知MOP 不可能等于 90，分两种情况：当PMO90时，OMPMCO，OP，APOAOP，当MPO90时，OMPMOC，OPMC4，APOAOP844，综上所述，当 t 为 4s 或s 时，OM

25、P 与MOC 相似 3解：（1）点 E 是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 理由：A70，ADE+DEA110 DEC70，BEC+DEA110 ADEBEC AB，ADEBEC 点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点（2）点 A，B，C 的坐标分别为（6，8）、（25，0）、（19，8），OABC10，OB25，AOBCBO，设在 OB 上存在强相似点 E，当时，点 E 为强相似点，可得：E1（5，0），E2（20，0）（3）点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，AEMBCEECM，BCEECMAEM 由折叠可知：ECMDCM，ECMDCM，CECD，

26、BCEBCD30，BECEAB 在 RtBCE 中，tanBCEtan30，故答案为：4解：（1）如图 1，设正方形的边长为 xmm，则 PNPQEDx，AEADED80 x，PNBC，APNABC，即，解得 x48 加工成的正方形零件的边长是 48mm；（2）设 PNx，矩形 PQMN 的面积为 S，由条件可得APNABC，即，解得：PQhx 则 SPNPQx（hx）x2+hx，故 S 的最大值为；故答案为：；（3）如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EHBC 于点 H，BC，EBEC，BC100cm，且 EHBC，BHCHBC50cm，tanB，EHBH5050cm，由（

27、2）知，矩形 PQMN 的最大面积为BCEH1250cm2，答：该矩形的面积为 1250cm2 5解：根据反射定律可以推出ACBECF，ADBGDH，ABBC，EFBC，GHBC，BACFEC、ADBGDH，设 ABx，BCy，解得：答；这棵松树的高约为 7 米 6解：EDCEBA，FHGFBA，DCHG，CA106（米），AB55（米），答：舍利塔的高度 AB 为 55 米 7（1）如图 1，过 B 作 BFOA，COA60，OCAB，BAO60，AB4，AFAB2，BFAF2，AO7，OF5，（2）当 OCOP4 时，P（4，0），（4，0）当 OCCP4 时，COP60，OCP 是等边三

28、角形，P（4，0），当 CPOP 时，OCPCOP60，COP 是等边三角形，P（4，0），即：满足条件的点 P 的坐标为（4，0），（4，0）；（3）CPDOAB60，COACPDOAB，AOC+OCPAPD+DPC，OCPAPD，OPCADP，OPAPADOC，OP（7OP）6，OP27OP+60，OP11，OP26，P（1，0）P（6，0）8解：（1）A（3，0），C（1，0），AC4，BC43，B（1，3），设直线 AB 的解析式为 ykx+b，直线 AB 的解析式为 yx+（2）若ADB 与ABC 相似，当点 D 与 C 重合时，ADBABC，此时 D（1，0），过点 B 作 BDA

29、B 交 x 轴于 D，ABDACB90，如图 1，此时，即 AB2ACAD ACB90，AC4，BC3，AB5，254AD，AD，ODADAO3，点 D 的坐标为（，0）即：符合条件的 D（，0）和（1，0）（3）APDQm，AQADQDm、若APQABD，如图 2，则有，APADABAQ，m5（m），解得 m、若APQADB，如图 3，则有，APABADAQ，5m（m），解得：m，当点 D 与 C 重合时，可得 m或 m 综上所述：符合要求的 m 的值为或或或 9解：（1）一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米，甲树的影长为 4.08 米，甲树的高度为：4.080.85.1（m）故答案为

30、：5.1；（2）如图 1：设 AB 为乙树的高度，BC2.4，四边形 AECD 是平行四边形，AECD1.2 由题意得：，解得：BE3，故乙树的高度 ABAE+BE4.2 米；（3）如图 2，设 AB 为丙树的高度，EF0.2，由题意得：，DE0.25（m），则 CD0.25+0.30.55（m），四边形 AGCD 是平行四边形，AGCD0.55（m），又由题意得，所以 BG5.5（m），所以 ABAG+BG0.55+5.56.05（m），故选：C（4）如图 3：设 AB 为丁树的高度，BC2.4m，CD3.2m，四边形 AECF 是平行四边形，AECF，由题意得：，解得：BE3（m），解得

31、CF2.56（m），故 AECF2.56 米，故丁树的高度 ABAE+BEBE+CF5.56（米）10解：（1）如图（1），由题意，得：EPA+APF90，FPB+APF90，EPAFPB，又PEAPFB90，PEAPFB；（2）证明：如图 2，APB90，要使PAB 为等腰三角形，只能是 PAPB，当 AEBF 时，PAPB，EPAFPB，PEAPFB90，AEBF，PEAPFB，PAPB；（3）如图 2，在 RtPEC 中，CPx，PCE30，PEx，由题意，PE+BF6，BFAE，AE6x，当 AB4 时，由题意得 PA2，RtPEA 中，PE2+AE2PA2，即（x）2+（6x）28，

32、整理得：x212x+560，0，没有实数根，不存在满足条件的实数 x 11（1）证明：如图 1 中，作 AMBC 于 M，ANEF 于 N，AHCD 于 H 四边形 ABCD 是菱形，ABCBCDAD，S菱形ABCDBCAMCDAH，AMAH，AEBAEF，AMEB，ANEF AMAN，ANAH，ANFEAHFD，FA 平分EFD （2）证明：如图 2 中，取 AE 的中点 O，连接 OB、OM 四边形 ABCD 是菱形，ABC90，四边形 ABCD 是正方形，DBC45，ABEAME90，OAOEOBOM，A、B、E、M 四点共圆，MAEEBM45（3）解：如图 3 中，如图将ADM 顺时针

33、旋转 90得到ABK BAD90，MAN45，DAM+BAN45，DAMBAK，BAN+BAK45，NAKMAN45，ANAN，AKAM，ANKANM，MNKN，ABKADM45ABD，KBN90，KN2BN2+BK2，DMBK，MN2BN2+DM2，MANNBE，ANMBNE，AMNBENAEF，AMNEAF，AMNAEF，EFMN，BM：EF4：5，BM：MN4：5，BM：NM8：5，设 BM8k，NM5k，则 BN3k，DM4k，DFAB，2，设 MFy，则 AMME2y，AFEM15，3b2b15，b25，b0，b，AMEM2，AEAM2 12解：（1）PMPN，PMPN，理由如下：A

34、CB 和ECD 是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），AEBD，EACCBD，点 M、N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，PMBD，PNAE，PMPM，PMBD，PNAE，AEBD，NPDEAC，MPABDC，EAC+BDC90，MPA+NPC90，MPN90，即 PMPN 故答案是：PMPN，PMPN（2）ACB 和ECD 是等腰直角三角形，ACBC，ECCD，ACBECD90 ACB+BCEECD+BCE ACEBCD ACEBCD AEBD，CAECBD 又AOCBOE，CAECBD，BHOACO

35、90 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PMBD，PMBD；PNAE，PNAE PMPN MGE+BHA180 MGE90 MPN90 PMPN （3）PMkPN ACB 和ECD 是直角三角形，ACBECD90 ACB+BCEECD+BCE ACEBCD BCkAC，CDkCE，k BCDACE BDkAE 点 P、M、N 分别为 AD、AB、DE 的中点，PMBD，PNAE PMkPN 13解：（1）方法一：过点 A 作 MN 的平行线交 BN 的延长线于点 G，设 NGx，则 BN3x，O 是 AC 中点，且 AGMN，ON 是ACG 中位线，CNNGx，；方法二：过点

36、A 作 AGMN 交 BN 延长线于点 G，GBNM，又BB，ABGMBN，11，即，同理，在ACG 和OCN 中，O 为 AC 中点，AOCO，NGCN，；（2）由（1）知，、，1；（3）在ABD 中，点 P 是 AD 上的一点，过点 P 的直线与 AC、BD 的延长线相交于点 C，由（2）得1，在ACD 中，点 P 是 AD 上一点，过点 P 的直线与 AC、CD 的延长线分别相交于点 E、B，由（2）得1，14解：（1）图（1）中与ADE 相似的有ABD，ACD，DCE 理由如下：ABAC，D 为 BC 的中点，ADBC，BC，BADCAD，又MDNB，ADEABD，同理可得：ADEAC

37、D，MDNCB，B+BAD90，ADE+EDC90，BMDN，BADEDC，BC，ABDDCE，ADEDCE，（2）BDFCEDDEF，证明：B+BDF+BFD180 EDF+BDF+CDE180，又EDFB，BFDCDE，由 ABAC，得BC，BDFCED，BDCD，又CEDF，BDFCEDDEF （3）连接 AD，过 D 点作 DGEF，DHBF，垂足分别为 G，H ABAC，D 是 BC 的中点，ADBC，BDBC6 在 RtABD 中，AD2AB2BD2，AD8，SABCBCAD12848 SDEFSABC4812 又ADBDABDH，DH4.8，BDFDEF，DFBEFD DGEF，

38、DHBF，DHDG4.8 SDEFEFDG12，EF5 15解：（一）四边形 CDEF 是正方形，CDCF，ACDACB90，在ACD 与BCF 中，ACDBCF，BFAD，DACCBF，CBF+CFBDAC+AFO90，ADBF；故答案为：BFAD，ADBF；（二）结论不变，理由：四边形 CFED 是正方形，CFCD，DCF90，ACB90，ACB+ACFDCF+FCA，即BCFACD，在ACD 与BCG 中，ACDBCF，BFAD，DACFBC，FBC+BHC90，BHCAHO，DAC+AHO90，AOH90，BFAD；（三）ADBF，理由：四边形 CDEF 是矩形，DCF90，ACB90

39、，ACDBCF，CF，CD2，ACDBCF，16解：（1）如图 1，DPCAB90，ADP+APD90，BPC+APD90，ADPBPC，ADPBPC，ADBCAPBP；（2）结论 ADBCAPBP 仍然成立 理由：如图 2，BPDDPC+BPC，BPDA+ADP，DPC+BPCA+ADP DPCAB，BPCADP，ADPBPC，ADBCAPBP；（3）如图 3，DC4BC，又ADBD5，DC4，BC1，由（1）、（2）的经验可知 ADBCAPBP，51t（6t），解得：t11，t25，t 的值为 1 秒或 5 秒 17解：问题一：两个梯形的腰相等，即腰的比是 1：2，而上底的比是 1：1，因

40、而这两个梯形一定不相似；不相似，故答案为：一定不相似；问题二：不相似；故答案为：一定不相似；梯形 APQD 与梯形 PBCQ 相似，即解得：PQ4 又AP+PB6，AP2，PB4，CD4，又两梯形中对应角相等，梯形 APQD 相似于梯形 PBCQ；（3）如果梯形 APQD梯形 PBCQ，则，ADa，BCb，PQ，故答案为：不存在；18解：（1）如图 1 中，lm，BAC90 又点 P 为线段 CD 的中点，PACDPB 故答案为 PAPB（2）这时 PA 与 PB 的关系式仍然成立，证明如下：如图 2，延长 AP 交直线 n 于点 E mn，ACPPDE，CAPPED，又PCPD，PACPED

41、（AAS）PAPE，即点 P 是 AE 的中点，又ABE90，PAPB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解法二：如图 21，把直线 l 向左平移到经过点 P 的位置，易得 AFBE mn，PCPD，PFPE AFPBE90，PAFPBE（SAS），PAPB 解法三：如图 22，把直线 l 向右平移到经过点 C 的位置，易得 ACBE CED90，PCPD，PCPE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），PCEPEC，90PCE90PEC，即ACPBEP，PACPBE（SAS），PAPB（3）解法一：如图 3，延长 AP 交直线 n 于点 E，作 AF直线 n 于点 F 由（2）得 PA

42、PE，又APB90，BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，AFEBPE90，AEFBEP，AEFBEP，AEBPAFBE，AF2k，AE2PA，BEAB，2PAPB2kAB，PAPBAB 解法二：如图 31 中，延长 AP 交直线 n 于点 E，作 PHm 于点 H，交直线 n 于点 F PHA90 mn，PCPD，HFk，PHPFk，由（2）得 PAPE APB90，即 BPAE BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，AEBBAP mn，AEBHAP，BAPHAP，PHAAPB90，AHPAPB，PAPBPHAB，即 PAPBkAB 解法三：如图 32 中，延长 AP 交直线 n 于

43、点 E，作 PHm 于点 H，交直线 n 于点 F PHA90 mn，PCPD，HF2k，PAPE，PHPFk，由（2）得 PAPE APB90，即 BPAE BP 是线段 AE 的垂直平分，ABBE，PAPE，SPABSPEB，即PAPBBEPF，PAPBkAB 19解：（1）根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点 故答案为：不存在；（2）ABC 是直角三角形，理由如下：根据题意得：ABPACB，ABPC，同理得：CBPA，ABCA+C180ABC，解得：ABC90，ABC 是直角三角形；（3）根据题意得：PBCCAB，PBCA，PCBABC，BE 平分ABC，ABEPBC，AA

44、BEPBC，PCBABC2A2PBC，BCEACB，PBCA，BECABC，点 E 是ABC 的边共相似点；CD 是ABC 的高，CDB90，PCB+ABC90，2A+2A90，解得：A22.5；（4）作 CPAB 于 P，则 P 为ABC 的“共相似点”；过 B 作 BC 的垂线与 CP 的延长线的交点是ABC 的“共相似点”；作ABC 的平分线与 AC 的交点 P1是ABC 的“共相似点”；过 C 作 BP1的垂线，垂足是ABC 的“共相似点”；同理：以上四个ABC 的“共相似点”关于直线 BC 的对称点是ABC 的“共相似点”；ABC 的“共相似点”共有 8 个，如图所示：根据等边三角形

45、的性质和直角三角形的性质得：顺次连接所有满足条件的 P 点而围成的多边形的周长为 22+4+26+；故答案为：8；6+20解：（1）动点 P 从坐标点 M（1，1）出发，按照“平移量”2，0平移到 N，再按照“平移量”1，2平移到 G，形成MNG，则点 N 的坐标为（3，1），点 G 的坐标为（4，3），故答案为（3，1），（4，3）（2）OBCMNG（在（1）中的三角形）且相似比为 2：1 时，当OB1C1MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB1C2MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB2C3MNG 时，m4，0，n2，4，q6，4，当OB2C4MNG 时，m4，0，n2

46、，4，q6，4，故答案为4，0或4，0或4，0或4，0；2，4或2，4或2，4或2，4；6，4或6，4或6，4或6，4（3）如图所示OB1C1，OB1C2，OB2C3，OB2C4都满足条件 21（1）证明：AMDA30，MAMD，又MGAD，AGAD，FDB90903060，B60，CDB 是等边三角形，又CHBD，DHBD，D 为 AD 的中点，ADBD，AGDH；（2）解：AGDH，理由为：在AMD 和DNB 中，AMDDNB（ASA），AMDN，又ANDH90906030，AGMDHN90，AGMDHN（AAS），AGDH；（3）证明：在 RtAGM 中，A30，AMG903060B，又AGMNHB90，AGMNHB，MGNHAGHB，GMD+GDM90，HDN+GDM90，GMDHDN，又MGDDHN90，MGDDHN，MGNHGDDH，AGHBDHGH