2022-2023学年苏科版九年级数学下册题型分类练习题（附答案）.pdf

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1、2022-2023 学年苏科版九年级数学下册7.6 用锐角三角函数解决问题 题型分类练习题（附答案）一解直角三角形的应用 1如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为，已知 sincos，则梯子顶端上升了（）A1 米 B1.5 米 C2 米 D2.5 米 2比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点 B，塔身中心线AB 与垂直中心线 AC 的夹角为A，过点 B 向垂直中心线 AC 引垂线，垂足为点 D通过测量可得 AB、BD、AD 的长

2、度，利用测量所得的数据计算A 的三角函数值，进而可求A 的大小下列关系式正确的是（）AsinA BcosA CtanA DsinA 3如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂 L1Lcos，阻力臂 L2lcos，如果动力 F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（）A越来越小 B不变 C越来越大 D无法确定 4如图，工程师为了测量小岛 A 到公路 BD 的距离，先在点 B 处测ABD37，再沿 BD方向前进 100 米到达点 C，测得ACD45，则小岛 A 到公路 BD 的距离约为 米（参考数据：sin370.6cos370.8，tan370.75）5如图，某商

3、场大厅自动扶梯 AB 的长为 12m，它与水平面 AC 的夹角BAC30，则大厅两层之间的高度 BC 为 m 6如图，1 号楼在 2 号楼的南侧，两楼高度均为 90m，楼间距为 AB冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 32.3，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 55.7，1 号楼在 2 号楼墙面上的影高为 DA已知 CD42m （1）求楼间距 AB；（2）若 2 号楼共 30 层，层高均为 3m，则点 C 位于第几层？（参考数据：sin32.30.53，cos32.30.85，tan32.30.63，sin55.70.83，cos55.70.

4、56，tan55.71.47）二解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 15 米的旗杆 ED，从办公楼顶端 A 测得旗杆顶端 E 的俯角 是 45，旗杆底端 D 到大楼前梯坎底边的距离 DC 是 20 米，梯坎坡长BC 是 12 米，梯坎坡度 i1：，则大楼 AB 的高度约为（）（精确到 0.1 米，参考数据：1.41，1.73，2.45）A30.6 B32.1 C37.9 D39.4 8如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度AC 之比），坝高 BC3m，则坡面 AB 的长度是（）A9m B6m Cm Dm 9如图大坝

5、的横断面，斜坡 AB 的坡比 i1：2，背水坡 CD 的坡比 i1：1，若坡面 CD的长度为米，则斜坡 AB 的长度为（）A米 B米 C米 D24 米 10如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB2m，木箱高 BE1m，斜面坡角为，则木箱端点 E 距地面 AC 的高度表示为（）m A+2sin B2cos+sin Ccos+2sin Dtan+2sin 11斜坡的倾斜角为，一辆汽车沿这个斜坡前进了 500 米，则它上升的高度是（）A500sin 米 B米 C500cos 米 D米 12如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，BC 是建筑物底端的一个平台，斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i1

6、：0.75，坡长为 10 米，DE 为地平面（A，B，C，D，E 均在同一平面内），则平台距地面的高度为 13如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD3m，坝高 AEDF6m，坡角 45，30，求 BC 的长 三解直角三角形的应用-仰角俯角问题 14 如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40，若 DE3 米，CE2 米，CE 平行于江面 AB，迎水坡 BC 的坡度 i1：0.75，坡长 BC10 米，则此时AB 的长约为（）（参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84）A5.1 米 B6.3 米 C7.1 米 D9.2 米 15 如图

7、，在离铁塔 150 米的 A 处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高 AD 为 1.5 米，则铁塔的高 BC 为（）A（1.5+150tan）米 B（1.5+）米 C（1.5+150sin）米 D（1.5+）米 16如图，在热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，热气球 C 的高度CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）A200 米 B200米 C220米 D米 17如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是 45，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是

8、m（结果保留根号）18如图，在小山的东侧 A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以 30 米/分的速度沿与地面成 75角的方向飞行，25 分钟后到达 C 处，此时热气球上的人测得小山西侧 B 点的俯角为 30，则小山东西两侧 A、B 两点间的距离为 米 19如图，从楼顶 A 处看楼下荷塘 C 处的俯角为 45，看楼下荷塘 D 处的俯角为 60，已知楼高 AB 为 30 米，则荷塘的宽 CD 为 米（结果保留根号）20如图，建筑物 BC 上有一高为 8m 的旗杆 AB，从 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53，观测旗杆底部 B 的仰角为 45，则建筑物 BC 的高约为 m（结果保留小数点后一位

9、）（参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）21数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为 34，再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为 60，求炎帝塑像 DE 的高度（精确到 1m参考数据：sin340.56，cos340.83，tan340.67，1.73）四解直角三角形的应用-方向角问题 22如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A、B 两个观测站，AB2km、从 A 测得船 C 在北偏东45的方向，从 B 测得船 C

10、在北偏东 22.5的方向，则船 C 离海岸线 l 的距离（即 CD的长）为（）A4km B（2+）km C2km D（4）km 23如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东 60方向，距离灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 C 的南偏东 45方向上的 B 处，这时轮船 B与小岛 A 的距离是（）A30nmile B60nmile C120nmile D（30+30）nmile 24如图，海中有个小岛 A，一艘轮船由西向东航行，在点 B 处测得小岛 A 位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距 20 海里，继续航行至点 D 处，测得小岛 A 在它的北偏西 6

11、0方向，此时轮船与小岛的距离 AD 为 海里 25如图 C、D 是两个村庄，分别位于一个湖面的南北两端 A 和 B 的正东方向上，且 D 位于 C 的北偏东 30方向上，CD6km，则 AB km 26如图，一艘渔船位于小岛 B 的北偏东 30方向，距离小岛 40nmile 的点 A 处，它沿着点 A 的南偏东 15的方向航行（1）渔船航行多远距离小岛 B 最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛 B 最近点后，按原航向继续航行 20nmile 到点 C 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 B 上的救援队求救，问救援队从 B 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保

12、留根号）？27如图，我国某海域有 A，B 两个港口，相距 80 海里，港口 B 在港口 A 的东北方向，点C 处有一艘货船，该货船在港口 A 的北偏西 30方向，在港口 B 的北偏西 75方向，求货船与港口 A 之间的距离（结果保留根号）28 某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为 10（3+）海里的圆形海域内有暗礁一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60的方向上，当海监船行驶 20海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45方向上（1）求 A，P 之间的距离 AP；（2）若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由如果有触礁危

13、险，那么海监船由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？参考答案 一解直角三角形的应用 1解：如图所示，在 RtABC 中，ACsinAB6（米）；在 RtDEC 中，DCcosDE6（米），EC8（米）；AEECAC862（米）故选：C 2解：在 RtABD 中，ADB90，则 sinA，cosA，tanA，因此选项 A 正确，选项 B、C、D 不正确；故选：A 3解：动力动力臂阻力阻力臂，当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值0，动力随着动力臂的增大而减小，杠杆向下运动时 的度数越来越小，此时 cos 的值越来越大，而 的度数越来越大，cos 的值越来越小，阻力

14、臂越来越小，而阻力不变，动力动力臂越来越小，而动力臂越来越大，此时的动力越来越小，故选：A 4解：如图，过 A 作 AECD 垂足为 E，设 AEx 米，在 RtABE 中，tanB，BEx，在 RtABE 中，tanACD，CEx，BCBECE，xx100，解得：x300 答：小岛 A 到公路 BD 的距离为 300 米 故答案为：300 5解；在 RtABC 中，BAC30，AB12m，BCm，故答案为：6 6解：（1）过点 C 作 CEPB，垂足为 E，过点 D 作 DFPB，垂足为 F，则CEPPFD90，由题意可知：设 ABx，在 RtPCE 中，tan32.3，PExtan32.3

15、，同理可得：在 RtPDF 中，tan55.7，PFxtan55.7，由 PFPEEFCD42，可得 xtan55.7xtan32.342，解得：x50 楼间距 AB50m，（2）由（1）可得：PE50tan32.331.5m，CAEB9031.558.5m 由于 2 号楼每层 3 米，可知点 C 位于 20 层 二解直角三角形的应用-坡度坡角问题 7解：延长 AB 交 DC 于 H，作 EGAB 于 G，如图所示：则 GHDE15 米，EGDH，梯坎坡度 i1：，BH：CH1：，设 BHx 米，则 CHx 米，在 RtBCH 中，BC12 米，由勾股定理得：x2+（x）2122，解得：x6，

16、BH6 米，CH6米，BGGHBH1569（米），EGDHCH+CD（6+20）（米），45，EAG904545，AEG 是等腰直角三角形，AGEG（6+20）（米），ABAG+BG6+20+939.4（米）；故选：D 8解：在 RtABC 中，BC3 米，tanA1：；ACBCtanA3米，AB6 米 故选：B 9解：过 B 作 BEAD 于 E，过 C 作 CFAD 于 F，如图所示：则四边形 BEFC 是矩形，BECF，背水坡 CD 的坡比 i1：1，CD米，CFDFCD6（米），BECF6 米，又斜坡 AB 的坡比 i1：2，AE2BE12（米），AB6（米），故选：C 10解：过 E

17、 作 ENAC 于 N，交 AB 于 M，过 B 作 BGAC 于 G，BHEN 于 H，如图所示：则四边形 BHNG 是矩形，HNBG，在 RtABG 中，BAG，sinBAG，BGABsinBAG2sin（m），HN2sin（m），EBMANM90，BMEAMN，BEMMAN，在 RtEHB 中，BEM，BE1m，oosBEM，EHBEcosBEM1coscos（m），ENEH+HN（cos+2sin）m，即木箱端点 E 距地面 AC 的高度为（cos+2sin）m，故选：C 11解：如图，A，AE500 则 EF500sin 故选：A 12解：如图，延长 AB 交 ED 的延长线于 F，

18、过 C 作 CGEF 于 G，则 BFCG，在 RtCDG 中，i1：0.75，CD10 米，设 CG4x 米，则 DG3x 米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2102，解得：x2，CG8（米），GD6（米），BFCG8 米，即平台距地面的高度为 8 米，故答案为：8 米 13解：过 A 点作 AEBC 于点 E，过 D 作 DFBC 于点 F，则四边形 AEFD 是矩形，有 AEDF6，ADEF3，坡角 45，30，BEAE6，CFDF6，BCBE+EF+CF6+3+69+6，BC（9+6）m，答：BC 的长（9+6）m 三解直角三角形的应用-仰角俯角问题 14解：如图，延长 DE 交

19、AB 延长线于点 P，作 CQAP 于点 Q，CEAP，DPAP，四边形 CEPQ 为矩形，CEPQ2 米，CQPE，i，设 CQ4x 米、BQ3x 米，由 BQ2+CQ2BC2可得（4x）2+（3x）2102，解得：x2 或 x2（舍），则 CQPE8 米，BQ6 米，DPDE+PE11 米，在 RtADP 中，AP13.1（米），ABAPBQPQ13.1625.1（米），故选：A 15解：过点 A 作 AEBC，E 为垂足，如图所示：则四边形 ADCE 为矩形，AE150 米，CEAD1.5 米，在ABE 中，tan，BE150tan，BCCE+BE（1.5+150tan）（米），故选：A

20、 16解：在热气球 C 处测得地面 B 点的俯角为 45，BDCD100 米，在热气球 C 处测得地面 A 点的俯角为 30，AC2100200 米，AD100米，ABAD+BD100+100100（1+）米，故选：D 17解：由题意可得：BDA45，则 ABAD120m，又CAD30，在 RtADC 中，tanCADtan30，解得：CD40（m），故答案为：40 18解：如图，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，在 RtACD 中，ACD753045，AC3025750（米），ADACsin45375（米）在 RtABD 中，B30，AB2AD750（米）故答案为：750 19解：由题意可

21、得，ADB60，ACB45，AB30m，在 RtABC 中，ACB45，ABBC，在 RtABD 中，ADB60，BDAB10（m），CDBCBD（3010）m，故答案为：（3010）20解：在 RtBCD 中，BDC45，则 BCCD，设 BCCDx，则 ACx+8，在 RtACD 中，tanADC，则 x+8xtan53，x+81.33x，x24.2（m），故建筑物 BC 的高约为 24.2m，故答案为：24.2 21解：ACE90，CAE34，CE55m，tanCAE，AC82.1m，AB21m，BCACAB61.1m，在 RtBCD 中，tan60，CDBC1.7361.1105.7m

22、，DECDEC105.75551m，答：炎帝塑像 DE 的高度约为 51m 四解直角三角形的应用-方向角问题 22解：方法一：在 CD 上取一点 E，使 BDDE，设 BDDExkm BDDE，EBD45，由题意可得CAD45，ADDC，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5的方向，BCECBE22.5，BEEC，ABADBD2km，ECBEDCDE2km，BDDEx，CEBEx，2+xx+x，解得 x DC（2+）km 方法二：过点 B 作 BEAC，由题意可得，EAB45，AB2km，故 AEBEkm，由题意可得CAD45，ADDC，从 B 测得船 C 在北偏东 22.5的方向，BCEBC

23、D22.5，BEBDkm，ADDCAB+BD（2+）km 故选：B 23解：过 C 作 CDAB 于 D 点，ACD30，BCD45，AC60 在 RtACD 中，cosACD，CDACcosACD6030 在 RtDCB 中，BCDB45，CDBD30，ABAD+BD（30+30）nmile 答：这时轮船 B 与小岛 A 的距离是（30+30）nmile 故选：D 24解：如图，过点 A 作 ACBD 于点 C，根据题意可知：BACABC45，ADC30，AB20 海里，在 RtABC 中，ACBCABsin452010（海里），在 RtACD 中，ADC30，AD2AC20（海里）答：此时

24、轮船与小岛的距离 AD 为 20海里 故答案为：20 25解：过 C 作 CEBD 于 E，那么 CEAB 直角CED 中，D 位于 C 的北偏东 30方向上，ECD30 CD6，CECDcos303（km）26解：（1）过 B 作 BMAC 于 M，由题意可知BAM45，则ABM45，在 RtABM 中，BAM45，AB40nmile，BMAMAB20nmile，渔船航行 20nmile 距离小岛 B 最近；（2）BM20nmile，MC20nmile，tanMBC，MBC60，CBG18060453045，在 RtBCM 中，CBM60，BM20nmile，BC2BM40nmile，故救援

25、队从 B 处出发沿点 B 的南偏东 45的方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是 40nmile 27解：过点 A 作 ADBC 于 D，如图所示：由题意得：ABC180754560，ADBC，ADBADC90，在 RtABD 中，DAB906030，ADABsinABD80sin608040（海里），CAB30+4575，DACCABDAB753045，ADC 是等腰直角三角形，ACAD4040（海里）答：货船与港口 A 之间的距离是 40海里 28解：（1）过点 P 作 PCAB，交 AB 的延长线于点 C，由题意得，PAC30，PBC45，AB20海里，设 PCx 海里，则 BCx 海里，在 RtPAC 中，tan30，x10+10，PA2x（20+20）海里，答：A，P 之间的距离 AP 为（20+20）海里；（2）因为 PC10（3+）10+10301010（+1）（）0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线 BD，作 PEBD，垂足为 E，当 P 到 BD 的距离 PE10（3+）海里时，有 sinPBE，PBD60，CBD604515，901575，因此，要小于 75才安全通过，答：海监船由 B 处开始沿南偏东小于 75的方向航行能安全通过这一海域