福建省三明市2022届高三下学期5月质量检测(三模)数学试题(含答案).pdf
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1、2022 年三明市普通高中毕业班质量测试 数学试题 一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设实数集为 R,集合1,0,1,2A,230Bx xx,则RAB()A1,0 B 1,2 C1,0,1 D0,1,2 2已知复数 z 的共轭复数为z,1iz (i 为虚数单位),则1z z()A13i B13i C3i D3i 3若5sin5,则cos2()A35 B25 C25 D35 4已知0a,则“2a”是“2naa”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知0.11.1a,ln
2、4b,sin2c,则()Aabc Bacb Cbac Dcab 6某校为落实“双减”政策在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动,现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动,由于受个人精力和时间限制,每人只能等可能的选择参加其中一项活动,则恰有两人参加同一项活动的概率为()A64 B716 C916 D2732 7 已知数列 na的前 n 项和为nS,若*2122nnanSnN,且20224048a,则1a()A-8 B-3 C-2 D8 8已知函数 2lnxf xaxaxxe有两个零点,则实数 a 的取值范围为()A10,e B0,e C1,e D,e 二、多项
3、选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有错选的得 0 分 91nxx的二项展开式中,第 5 项和第 6 项的二项式系数相等,则()A9n B常数项为 84 C各项系数的绝对值之和为 512 D系数最小项为第 5 项 10将函数 sinf xx(2)的图象沿 x 轴向左平移14个单位后,得到一个偶函数的图象,则()A4 B f x关于直线34x 对称 C f x在区间3 1,4 4上单调递增 D若 f x在区间2022,a上存在零点和极值点,则整数 a 的最小值为 2023 11已知直线
4、 l:10kxyk 与圆 C:222216xy相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,下列说法正确的是()AAB的最小值为2 6 B若圆 C 关于直线 l 对称,则3k C若2ACBCAB,则1k 或17k D若 A,B,C,O 四点共圆,则13k 12已知棱长为 4 的正方体1111ABCDABC D中,14AMAB,点 P 在正方体的表面上运动,且总满足0MP MC,则下列结论正确的是()A点 P 的轨迹所围成图形的面积为 5 B 点 P 的轨迹过棱11AD上靠近1A的四等分点 C点 P 的轨迹上有且仅有两个点到点 C 的距离为 6 D直线11BC与直线 MP 所成角的余弦值的最大值为35
5、三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13已知函数 33,0log,0 xxf xx x则2ff _ 14若单位向量a,b满足2aab,则a与b的夹角为_ 15已知双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点分别为1F、2F,双曲线上一点 A 关于原点 O 对称的点为 B,且满足110AF BF,21tan3ABF,则该双曲线的离心率为_ 16 孙子算经是我国南北朝时期的数学著作在孙子算经中有“物不知数”问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?意思是一个整除以三余二,除以五余三、除以七余二,求这个整数设这个整数为 a,当102,2a
6、时,符合条件的 a的个数为_ 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(10 分)已知等比数列 na满足24a,532a (1)求数列 na的通项公式;(2)设2211loglognnnbaa,求数列 nb的前 n 项和nS 18(12 分)如图,在ABC中,已知2AB,4 2AC,4BACQ 为 BC 的中点(1)求 AQ 的长;(2)P 是线段 AC 上的一点,当 AP 为何值时,4AQP 19(12 分)为弘扬中华传统文化,吸收前人在修身、处世、治国、理政等方面的智慧和经验,养浩然正气,塑高尚人格,不断提高学生的人文素质和精神境界,某校举行
7、传统文化知识竞赛活动竞赛共有“儒”和“道”两类题,每类各 5 题其中每答对 1 题“儒”题得 10 分,答错得 0 分;每答对 1题“道”题得 20 分,答错扣 5 分每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出 4 题回答(每个题抽后不放回),要求“道”题中至少抽 2 题作答已知小明同学“儒”题中有 4 题会作答,答对各个“道”题的概率均为25.(1)若小明同学在“儒”题中只抽 1 题作答,求他在这次竞赛中得分为 35 分的概率;(2)若小明同学第 1 题是从“儒”题中抽出并回答正确,根据得分期望给他建议,应从“道”题中抽取几道题作答?20(12 分)如图,在五面体 ABCDE 中,已知ACBC,E
8、DAC,且22ACBCAEED,3DCDB(1)求证:平面BCD 平面 ABC;(2)线段 BC 上是否存在点 F,使得二面角BAEF的余弦值为2 23,若存在,求 CF 的长度;若不存在,请说明理由 21(12 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,1,0F,过直线 l:4x 左侧且不在 x 轴上的动点 P,作PHl于点 H,HPF的角平分线交 x 轴于点 M,且2PHMF,记动点 P 的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程;(2)已知曲线 C 与 x 轴正半轴交于点1A,过点4,0S 的直线1l交 C 于 A,B 两点,ASBS,点 T 满足ATTB,其中1,证明:12ATBTSO
9、22(12 分)已知函数 11axf xx e(1)讨论 f x的单调区间;(2)当0a,0,x时,证明:cos2sin2f xxxxx 答案 一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1B 2D 3A 4A 5B 6C 7B 8D 二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 9AC 10BCD 11ACD 12ACD 三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13-2 143 15102 1610 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17解:(1)因为 na为等比数列,且24a,
10、532a,设公比为 q,所以3528aqa,所以2q,12a 2 分 所以112nnnaaq,4 分(2)因为2211111loglog11nnnbaan nnn 7 分 所以,111111111223111nnSnnnn 10 分 18解法一:(1)因为 Q 为 BC 的中点,所以12AQABAC 1 分 所以22212134AQABAB ACAC 4 分 即13AQ 5 分(2)在ABC中,由余弦定理得222224 2224 2202BC 所以2 5BC,即5CQ 7 分 在ACQ中,由余弦定理得2225 26cos226AQACQCQACAQ AC 8 分 所以226sin1cos26Q
11、ACQAC,因为QACAQPAPQ,所以3 13sinsinsin413APQQACAQPQAC 10 分 在AQP中,由正弦定理sinsinAQAPAPQAQP得133 132132AP,所以13 26AP,即当13 26AP 时,4AQP 12 分 解法二:(1)在ABC中,由余弦定理得222224 2224 2202BC,所以2 5BC,即5CQBQ 1 分 在ABQ中,根据余弦定理得22221cos22 5AQBQABAQAQBAQ BQAQ 2 分 在ACQ中,根据余弦定理得222227cos22 5AQCQACAQAQCAQ CQAQ 3 分 因为coscos0AQBAQC,所以2
12、212702 52 5AQAQAQAQ 4 分 解得13AQ 5 分(2)同解法一 19解法一:(l)记 A=“小明在竞赛中得 35 分”,则 A 表示“儒”题答错,“道”题 2 对 1 错,所以 223126555625P AC 4 分(2)当小明选择从“儒”题中抽取 1 题,“道”题中抽取 2 题作答时,设 4 题总得分为 X,此时设“道”题中答对的题数为则22,5B,24255E(i)“儒”题中的第二题答对时总得分 14420205 22020523055XEE (ii)“儒”题中的第二题答错时总得分 24410205 21020522055EXE 此时小明的总得分期望值 3330201
13、27.544E X 8 分 当小明选择从“道”题中抽取 3 题作答,设答对题数为,4 题总得分为 Y,则23,5B,26355E,10205 3255Y,所以 6255255255E YE 11 分 因为 E XE Y,即小明应从“道”题中抽取 12 道题作答 12 分 解法二:(1)同解法一(2)当小明选择从“儒”题中抽取 1 题,“道”题中抽取 2 题作答时,设 4 题总得分为 X,则 X的所有可能取值为:0,10,25,35,50,60 因为21290145100P X,2322710145100P X,121321225455100P XC,123323635455100P XC,21
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