2022-2023学年长沙市一中名校联合体高三上学期11月联考数学试卷(含答案).pdf

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1、名校联考联合体 2022 年秋季高三 11 月联考 数学 时量：120 分钟 满分：150 分 得分_ 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知12i1 iz（i为虚数单位），则z的虚部为（）A.3i2 B.3i2 C.12 D.32 2.已知集合220Ax xx，2Bx xA，则AB（）A.2,2 B.2,2 C.1,2 D.1,2 3.已知.5log0.4aa，0.60.4b，0.50.6c，则（）A.abc B.cba C.bca D.acb 4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，若球与圆柱的体积之

2、比为m，则抛物线26xmy的准线方程为（）A.1x B.1y C.2x D.2y 5.已知cos2sin，则sin22cos21（）A.54 B.34 C.74 D.2 6.已 知36CCnn，设212023111nnnxaaxaxax，则12naaa（）A.1 B.0 C.1 D.2 7.已知双曲线C：222210,0 xyabab的焦点到渐近线的距离为l，又双曲线C与直线ykx交于A，B两点，点P为C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为PAk，PBk，曲线C的左、右焦点分别为1F，2F.若116PAPBkk，则下列说法正确的是（）A.2a B.双曲线C的渐近线方程为4yx C.若12

3、PFPF，则12PF F的面积为 1 D.双曲线C的离心率为52 8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义的函数称为高斯函数 f xx，其中 x表示不超过x的最大整数，已知数列 na满足12a，26a，2156nnnaaa，若51 lognnba，为数列10001nnb b的前n项和，则2024S（）A.999 B.749 C.499 D.249 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分.）9.某科技学校组织全体学生参加了主题

4、为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了 400 名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在 50 分至 100 分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（）A.在被抽取的学生中，成绩在区间90,100内的学生有 160 人 B.图中x的值为 0.020 C.估计全校学生成绩的中位数约为 86.7 D.估计全校学生成绩的 80%分位数为 95 10.已知函数 213sin coscos2f xxxx，则下列结论正确的是（）A.f x的图象关于点5,012对称 B.f x在,4 2 上的值域为1,12 C.若 121f xf

5、x，则122xxk，kZ D.将 f x的图象向右平移6个单位长度得 cos2g xx 的图象 11.已知函数 0,1xxf xaaaa，则下列结论正确的是（）A.函数 f x在R上不具有单调性 B.sin1yfx不是周期函数 C.函数 22fxyf x为偶函数 D.当1a 时，函数|fx的最小值是 0 12.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，224BCADAB，将ABD沿BD翻折，得到大小为23的二面角ABDC，M，N分别是A C，BC的中点.则（）A.A NBD B.异面直线A C与BD所成角的正弦值为24 C.二面角MBDC的大小为6 D.三棱锥ABCD的表面积为6157

6、三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.如图，四边形ABCD是边长为 8 的正方形，若14DEDC，且F为BC的中点，则EA EF_.14.若曲线exy 在点11,P x y处的切线与曲线3yx在点22,Q xy处的切线重合，则122ln3xx_.15.设抛物线220ypx p的焦点为F，准线为l，过第一象限内的抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设2,0Cp，直线AF与BC相交于点D.若CFAF，且ACD的面积为322，则直线AC的斜率k _，抛物线的方程为_.16.已知函数 232elog1e1xxfxxx在,0k kk上的最大值与最小值分别为M和m，则函数

7、31g xMm xMm x的图象的对称中心是_.四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10 分）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin3 sin2CcAa（1）求C；（2）若4a，且ABC的面积为2 3，求ABC的周长.18.（12 分）已知等差数列 na的前n项和为nS，公差d不等于零，23Sa，412aa a（1）求数列 na的通项公式；（2）设2nnnab，求证1211112nbbbn（nN且2n）19.（12 分）如图所示，圆锥的高2PO，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得BCR，分别过点A，C作底面

8、圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点.（1）证明：平面PDE 平面POD；（2）若直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535，求点A到平面PED的距离.20.（12 分）2022 年卡塔尔世界杯将于当地时间 11 月 20 日开赛，某国家队为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：甲 球队 总计 胜 负 未参加比赛 30 b 70 参加比赛 c 10 f 总计 70 e n（1）根据小概率值0.001a 的独立性检验，能否认为该球队胜利与甲球员参赛有关联？（2）根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中场、后卫三个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.3；在甲出

9、任前锋、中场、后卫的条件下，球队输球的概率依次为：0.2，0.2，0.7，则：当甲参加比赛时，求该球队某场比赛输球的概率；当甲参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当中场的概率；如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用甲球员？附表及公式：a 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ax 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22n adbcabcdacbd.21.（12 分）已知函数 exxf x，ln xg xx（1）求 f x和 g x的极值；（2）证明：222exx g xf xx

10、22.（12 分）设椭圆C：222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F.A，B是该椭圆C的下顶点和右顶点，且5AB，若该椭圆的离心率为32（1）求椭圆C的标准方程；（2）经过点2,1的直线l：ykxm交椭圆C于P，Q两点（点P在点Q下方），过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，交直线BQ于点E，求证：DEPD为定值.名校联考联合体 2022 年秋季高三 11 月联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C B B D C A ACD BD CD ACD 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）1.D【解析】因

11、为12i1 i12i1 23i13i1 i1 i 1 i1 122z，所以13i22z ，虛部为32.故选 D.2.A【解析】因为12AxxR，22222BxxAxxxx RR或，所以22ABxx.故选 A.3.C|【解析】因为0.50.5log0.4log0.51a，又0.60.50.500.40.40.60.61bc，所以bca.故选 C.4.B【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高2R.则球的体积3143VR，圆柱的体积23222VRRR，33124:22:33mV VRR.所以264xmyy，则其准线方程为1y ，故选 B.5.B【解析】依题意cos2sin，2sincos，

12、sin1tancos2，2222sin 222sincos2sincossincos113tantan11cos212coscos244 ，故选 B.6.D【解 析】因 为36CCnn，所 以 由 组 合 数 的 性 质 得9n，所 以929012923111xaaxaxax，令2x，得901292 23aaaa，即01291aaaa.令1x，得902 1 31a ，所以1292aaa，故选 D.7.C【解析】因为双曲线C：222210,0 xyabab的焦点到渐近线的距离为 1，则1b，所以双曲线方程为C：22210axya，由222,1,ykxxya可得222110kxa，设11,A x

13、y，22,B xy，则120 xx，即21xx，11,Bxy，设00,P x y 则221121xya，220021xya，所以222210102xxyya，即2210222101yyxxa，又1010PAyykxx，1010PByykxx，116PAPBkk，所以221010012221010011116PAPByyyyyykkxxxxxxa，216a，即4a，故 A 错误；所以双曲线C：22116xy，1b，17c 双曲线C的渐近线方程为14yx，离心率为174，故 B 错误，D 错误；若12PFPF，则222212121222 17PFPFPFPFPF PF，所以122PF PF，12P

14、F F的面积为 1，故 C 正确.故选 C.8.A【解析】由2156nnnaaa，得2115nnnnaaaa，又214aa，所以数列1nnaa是以 4 为首项，5 为公比的等比数列，则114 5nnnaa；由2156nnnaaa得，21155nnnnaaaa，又2154aa，所以数列15nnaa是常数列，则121554nnaaaa，由联立可得151nna.因为5515 5nnn ，所以555log 5log51log5 5nnn 即5log511nnn，所以515loglog51nnnban 故11000100011100011nnb bnnnn 所 以2024111111100011000

15、1223202420252025S，则2024999S.故选 A.二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）9.ACD【解析】由题意，成绩在区间90,100内的学生人数为4000.040 10160，故 A正确；由0.0050.0100.0150.040101x，得0.030 x，故 B 错误；设中位数为a，则0.0050.0100.015100.030800.5a，得86.7a，故 C正确；低于 90 分的频率为1 0.40.6，设样本数据的 80%分位数为n，则900.2100900.4n，解得95n，故 D 正确.故选 ACD.10.BD【解析】由题得，21313s

16、incoscossin2cos2sin 22226f xxxxxxx 令512x，则2263x，53122f，故 A 错误；当,4 2x 时，52,636x，1sin 2,162f xx.故 B 正确；因为 f x的周期22T，所以若 121f xf x，则12xxk，kZ，故C 错误；将 f x的图象向右平移6个单位长度得 sin 2cos262g xfxxx 的图象，故 D 正确.故选 BD.11.CD【解析】对于 A，当1a 时，f x在R上为增函数，当01a时，f x在R上为减函数，A 错误；对于 B，sin1yfx定义域是R，sin 21sin1fxfx，因此2是函数的一个周期，B

17、错误；对 于 C，由 0f x 得0 x，函 数 定 义 域 是0 x x，关 于 原 点 对 称，222222xxxxxxfxaaaafxaa，222222xxxxxxfxaaaaf xaa，2222fxfxfxf x，所以函数为偶函数，C 正确；对于 D，当1a 时，,0,0,0,0,xxxxxxaaxfxaaxaax 故 fx在,0上为减函数，在0,上为增函数，当0 x 时，fx取得最小值 0，D 正确.12.ACD【解析】由题意知，2ABAD，2 2BDDC，BDDC，取BD的中点O，连接A O，ON，因为ABAD，O，N分别为BD，BC的中点，所以A OBD，ONDC，又BDDC，所

18、以ONBD，如图，以OB为x轴，ON为y轴，建立空间直角坐标系，则2,0,0B，2,0,0D，2,2 2,0C，260,22A，0,2,0N，2 3 26,244M，3 260,22A N，2 2,0,0BD 所以3 2602 200022A N BD 所以A NBD，故 A 正确；由5 262,22A C，2 2,0,0BD 设异面直线A C与BD所成的角为，则42cos425322 222A C BDA CBD，214sin1 cos4，故 B 错误；设平面BDM的一个法向量为,nx y z，又2 2,0,0BD ，3 2 3 26,244BM 由0,0,BD nBM n得2 20,3 2

19、3 260,244xxyz 令1y，得0 x，3z ，则0,1,3n，又易知平面BCD的一个法向量为0,0,1m，设二面角MBDC的平面角为，则33cos211 3m nmn 又易知二面角MBDC为锐角，故3cos2，6，故 C 正确；由2532422A C，4BC，2A B，则ABC为等腰三角形，所以2211522A BCA BSA BBC 又2A D，2 2DC，在A DC中，由余弦定理得，22248 162cos242 2 2 2A DDCA CA DCA DDC ，214sin1 cos4A DCA DC，所以1114sin2 2 27224A DCSA DDCA DC 又12 222

20、A BDS，12 22 242BCDS，所以三棱锥ABCD的表面积为241576157A BDBCDA BCA CDSSSSS，故 D 正确，故选 ACD.三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.20【解析】以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则0,0A，2,8E，8,4F 则2,8EA ，6,4EF，所以 2 68420EA EF .14.0|（解析由切点11,P x y，exy，则exy 在点P处的切线方程为111exyyxx，即111ee1xxyxx；由切点22,Q xy，23yx，则3yx在点Q处的切线方程为

21、22223yyxxx，即232232yx xx 由题知：两条直线是同一条直线，则：1122312e3,e12,xxxxx 化简得：12213xx.122ln03xx 15.2 24yx（任意填对一空得 3 分）【解析】如图所示，,02pF，2,0Cp，所以32pCF ABx轴，CFAF，ABAF，CFAB 所以四边形ABFC为平行四边形，32pCFAB，CDBD，322Appx 解得Axp，代入22ypx可取2Ayp，11133 2222222ACDABCpSSp 解得2p，24yx，2022ACpkpp 16.1,12【解析】已知 232elog1e1xxfxxx，232elog1e1xxf

22、xxx 则 2f xfx，故函数 f x在定义域内为非奇非偶函数，令 1h xf x，则 110h xhxf xfx ，则 h x在定义域内为奇函数，设 h x的最大值为t，则最小值为t，则 f x的最大值为1Mt，最小值为1mt ，则2Mm，31221g xxx，333333212111222221212121axxg xg axxaxaxaxxax 223321212121212122121axxaxaxxxaxax 2233212121212122121aaxaxxxaxax.当1a 时，12g xgx，g x关于1,12中心对称.四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出

23、文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【解析】（1）sin3 sinsinsin3sinsin022CCAaCAA 因为sin0A，所以3sin3sincos222CCC 所以26C，3C（2）因为ABC的面积为2 3，所以14 sin32 323bb，解得2b，由余弦定理得222422 4 2cos123c ，解得2 3c，所以ABC的周长为2 36abc.18.【解析】（1）易得1111122,3adadada ad 所以12ad，所以2212nann.（2）由题意，2nbn.故2221211111112nbbbn 又对nN且2n时，2111111nn nnn 12111111111111

24、11 121 22 312231nbbbnnnnn 得证.19.【解析】（1）由题设，PO 底面圆O，又D是切线CE与圆O的切点，CE 底面圆O，则POCE，且ODCE，而POODO，CE 平面POD.又CE 平面PED，平面PDE 平面POD（2）设OxAE，如图，以O为原点，Ox，OC，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，又CDCOODCACEEA，可得3AECDEDR，0,0,2P，3,022RDR，3,0ERR，0,0BR 所以0,2PBR，3,022RBDR，3,2PERR 若,mx y z是平面PBD的一个法向量，则20,30,22m PBRyzRm BDRxy 令2x，则2

25、,2 3,3mR 由于直线PE与平面PBD所成角的正弦值为10535，222 3105cos,3516344m PERm PEm PERR，解得2R 或233R 由题知32ACOC，C为AC与平面PED的交点，故点A到平面PED的距离为点O到平面PED的距离的32倍，又平面PDE 平面POD，所以点O到平面PED的距离就是点O到直线PD的距离，在RtPOD中，2PO，ODR，故点O到直线PD的距离为224RR 则点A到平面PED的距离为234RR 点A到平面PED的距离为322d 或32d 20.【解析】（1）依题意，40b，40c，50e，50f，120n 零假设为0H：球队胜利与甲球员参赛

26、无关，则观测值2212030 1040 4016.5610.82870 50 70 50 根据小概率值0.001的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为该球队胜利与甲球员参赛有关联，此推断犯错误的概率不超过 0.001.（2）设1A表示“甲球员担当前锋”；2A表示“甲球员担当中场”；3A表示“甲球员担当后卫”；B表示“球队输掉某场比赛”，有 10.2P A，20.5P A，30.3P A，120.2P B AP B A，30.7P B A 则 123112233()P BP ABP A BP A BP A P B AP AP B AP A P B A0.20.20.50.20.3 0.70.3

27、5 所以该球队某场比赛输球的概率是 0.35.由知，球队输的条件下，甲球员担当中场的概率 220.5 0.220.357P A BP ABP B 由知，球队输的条件下，甲球员担当前锋的概率 110.2 0.240.3535P ABP A BP B 球队输的条件下，甲球员担当后卫的概率 330.3 0.730.355P A BP ABP B 由知，12342 3:4:10:2135 7 5P A BP ABP AB 所以，应该多让甲球员担任前锋.21.【解析】（1）因为 exxf x，ln xg xx 所以 1exxfx，21 ln xgxx 当1x 时，0fx，当1x 时，0fx，所以 f x

28、在,1单调递增，在1,单调递减，所以当1x 时，f x取得极大值1e，无极小值；当0ex时，0gx，当ex 时，0gx，所以 g x在0,e单调递增，在e,单调递减，当ex 时，g x有极大值1e，无极小值.（2）令 2222eln20 xh xx g xf xxxxxxx 则 22ln0h xxxx 令 22ln0r xxxx，则 3140rxxx在上恒成立，所以 r x在0,上单调递增，又 221ln1201r ，2222elne10eer 所以存在01,ex，使得 00r x，即00202ln1,exxx 所以00,xx时，0r x，0h x，h x单调递减，0,xx时，0r x，0h

29、x，h x单调递增，000000002min00002224ln2221,eh xh xxxxxxxxxxxx 令 421,em xxxx，则 2410m xx 在1,e上恒成立，所以 m x在1,e上单调递减，所以 4e2e0em xm，所以 00min?0420h xh xxx，所以 222exx g xf xx.22.【解析】（1）由题可得，225ABab，所以225ab，因为椭圆的离心率为32，所以32cea，结合椭圆中222bac可知，2a，1b.所以椭圆C的标准方程为2214xy.（2）依题意作右图：设11,P x y，22,Q xy，直线l的方程为ykxm，将点2,1代入得：21

30、mk，直线l：21ykxk.由于椭圆C：2214xy，0,1A，2,0B，联立方程221,421,xyykxk得2224182116160kxkkxkk，由640k，得0k，212216841kkxxk，2122161641kkx xk 直线AB的方程为：220 xy，直线BQ的方程为：2222yyxx 112,2xD x，2112,22yE xxx 运用11222122212221,21,168,411616,41ykxkykxkkkxxkkkx xk 易证得：2121122yyxx 下面证明：1221122222xyxyxx 12211222122122xkxkxkxkxx 121221418kx xkxxk，运用中的韦达定理：121221418kx xkxxk 22221616168214184141kkkkkkkkk 32232232323216166432168328041kkkkkkkkkkk，即成立，2111222222yxyxx，即点E和P的纵坐标之和等于D点纵坐标的 2 倍，D点是线段EP的中点，即1DEPD 综上，1DEPD，故为定值.