2023届河南省新乡市高三上学期第一次模拟考试数学(文)试题(含答案).pdf

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1、新乡市高三第一次模拟考试 数学（文科）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合cosAy yx，14Bxx，则BA（）A.14xx B.14xx C.14xx D.11xx 2.若1 i 11 iz，则z的虚部为（）A.1 B.1 C.i D.i 3.设 x，y 满足约束条件330,330,30,xyxyxy则2zxy的最小值为（）

2、A.6 B.3 C.92 D.6 4.如图，程序框图的输出值3,y，则输人值 x 的取值范围是（）A.,2 B.2,7 C.7,D.,27,5.对 2021 年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取 1000 台汽车的信息，这1000 台汽车的销售价格都不低于 5 万元，低于 30 万元，将销售价格分为5,10，10,15，15,20，20,25，25,30这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的 1000 台汽车中，销售价格在5,15内的车辆台数为（）A.175 B.375 C.75 D.550 6.设等差数列 na，nb的前 n 项和分别为nS，nT

3、，若3542nnSnTn，则88ab（）A.2528 B.3539 C.5558 D.2529 7.在ABC中，D，E 分别为边 AB，AC 的中点，且 CD 与 BE 交于点 G，记CDm，BEn，则AG（）A.2233mn B.1133mn C.2233mn D.1133mn 8.1360年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转.最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同.已知一个沙漏的沙池形状为圆雉形，满沙池的沙漏

4、完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（）A.12小时 B.23小时 C.34小时 D.78小时 9.已知23a，8log 5b，则34ab（）A.259 B.25 C.925 D.35 10.函数 sinf xAxb（0A，0，2）的部分图象如图所示，则2f（）A.0 B.2 C.13 D.31 11.已知抛物线22xpy0p 的焦点为 F，A，B 是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M 是线段 AB的中点，2,3P是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A.2p B.若8AFBF，则 M 到 x 轴的距离为 3 C.若2AFFB，则3AB D.APAF的最

5、小值为 4 12.已知正三棱柱的侧棱长为 l，底面边长为 a，若该正三棱柱的外接球体积为323，当la最大时，该正三棱柱的体积为（）A.108 749 B.72 2149 C.108 77 D.72 217 第卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.等比数列 na的前 n 项和12nnSa，则a _.14.若直线10axy 是曲线2exybx在1x 处的切线，则实数ab_.15.已知函数 f x对任意的xR，都有 824fxf xf，若1yf x的图象关于直线1x 对称，且 23f，则20202022ff_.16.已知椭圆 C：222

6、21xyab0ab的左、右焦点分别为1F，2F，P 为椭圆 C 上异于左、右顶点的任意一点，1PF，2PF的中点分别为 M，N，O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为 4b，则椭圆 C 的离心率为_；若椭圆 C 过点2,3E，过点1,0Q作直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则EA EB的最大值与最小值的和为_.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23、题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17.（12 分）如图，在四棱雉PABCD中，底面 A

7、BCD 是平行四边形，E，F 分别是 CD，PB 的中点.（1）证明：EF 平面 PAD.（2）若四棱雉PABCD的体积为 32，DEF的面积为 4，求 B 到平面 DEF 的距离.18.（12 分）某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，随机选了 100 位市民调查，结果统计如下.支持 不支持 合计 年龄不大于 50 岁 30 年龄大于 50 岁 10 25 合计 100（1）根据已有数据，把表格填写完整.（2）能否有95%的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关？（3）已知在被调查的年龄大于 50 岁的支持者中有 6 名男性，其中 3 名是医生，现从这 6 名男性中随机抽取 3人，求至少

8、有 2 名医生的概率.附：22n adbcKabcdacbd，nabcd .P2Kk 0.100 0.050 0.025 0.010 K 2.706 3.841 5.024 6.635 19.（12 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且sinsin2BCbaB.（1）求角 A 的大小；（2）若4bc，点 D 是 BC 的中点，求 AD 的取值范围.20.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知1,0A，1,0B，动点 C 满足直线 AC 与直线 BC 的斜率乘积为 3.（1）求动点 C 的轨迹方程 E.（2）过点2,0作直线1l交曲线 E 于 P，Q 两点（P

9、，Q 在 y 轴两侧），过原点 O 作直线1l的平行线2l交曲线 E于 M，N 两点（M，N 在 y 轴两侧），试问2MNPQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12 分）已知函数 lnf xxx.（1）求 f x的最值；（2）若函数 exaH xfxx0a 存在两个极小值点，求实数 a 的取值范围.（二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为cos2,2sinxy（为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建

10、立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为cos6m.（1）写出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若0m，且直线 l 与曲线 C 没有公共点，求 m 的取值范围.23.选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知关于 x 的不等式123xxt 有解.（1）求实数 t 的最大值 M；（2）在（1）的条件下，已知 a，b，c 为正数，且2 3abcM，求22abc的最小值.新乡市高三第一次模拟考试 数学参考答案（文科）1.C 因为11Ayy，所以14BAxx.2.B 因为1 i 11 iz，所以1i1i1 iz，所以1 iz ，所以1 iz ，所以z的虚部为 1.3.C 作出可行域（图略），当

11、直线2zxy经过点33,22时，z有最小值，最小值为92.4.D 由20,log13,xx得7x；由0,213,xx 得2x.所以输人值 x 的取值范围是,27,.5.B 由频率分布直方图知，0.01550.02 50.025550.08 51a ，所以0.06a，所以销售价格在5,15内的频率为0.060.01550.375，故销售价格在5,15内的车辆台数为0.375 1000375.6.D 因为11515815152aaSa，11515815152bbTb，所以8158153 155254 15229aSbT.7.A 因为点 G 为ABC的重心，所以22223333AGGBGCBECDm

12、n .8.D 因为沙池中沙的高度漏至一半，所以漏下的沙子体积为总体积的78，故记时时间为78小时.9.C 因为23a，所以2log 3a.因为2822log 51log 5log 5log 83b，所以42223944253log33953log 3log 5log2loglog5log 2525ab，故49log32594425ab.10.C 由图可知 3122A，3112b，所以 2sin1f xx.因为2sin10,432sin10,4 所以2，3，所以 2sin 213fxx，故2sin11323f .11.C 设点11,A x y，22,B xy.因为12pAFy，所以AF的最小值为

13、12p，所以2p，故 A 正确.若1228AFBFyy，则126yy，所以 M 到 x 轴的距离为1232yy，故 B 正确.当 AB 过 F 点时，设 AB 的方程为1ykx，与24xy联立可得224210yky，则121y y.由2AFFB，得1232yy，所以122,12yy或121,1yy（舍去），所以1292AByyp，故 C 错误.过点 A 作抛物线的准线 l：1y 的垂线，垂足为点 E，由抛物线的定义可得AFAE，所以APAFAPAE，当且仅当 P，A，E 三点共线，即当PEl时，APAF取得最小值3 14，故 D 正确.12.B 因为正三棱柱外接球的体积为343233R，所以2

14、R，所以22443la.设lam，当直线lam与曲线22443la相切时，m 最大.联立方程组22,4,43lamla得22763480amam，由0，得2 7m，此时6 77a，8 77l，所以正三棱柱的体积2372 21449Va l.13.12因为 na为等比数列，且前 n 项和11222nnnSaa，所以12a .14.3 e因为2exybx，所以2exybx，则1e,2e,abab 解得2e,1,ab故3eab.15.3 因为1yf x的图象关于直线1x 对称，所以 f x的图象关于 y 轴对称，即 f x为偶函数.令4x，则 48424fff，所以 44ff.因为 44ff，所以

15、40f，所以 8fxf x，即 f x的周期为 8.因为 23f，所以 202020224223fffff.16.32；34 因为 M，O 分别为1FP，12FF的中点，所以MOPN，MOPN，则四边形 OMPN 是平行四边形，所以12242PFPFPMPNba，所以2312bea.因为椭圆 C 过点2,3E，所以22431ab.因为2ab，所以4a，2b，2 3c，所以椭圆 C 的方程为221164xy.设直线 l 的方程为1xmy，联立方程组221,416,xmyxy得2242150mymy.设11,A x y，22,B xy，则12224myym，122154y ym.因为1122121

16、22,32,32233EA EBxyxyxxyy 212121212333313312mymyyymy ymyy，所以2292 3334mmEA EBm.令2292 3334mmtm，则292 34330tmmt.因为0，所以2433000tt.设EA EB的最大值与最小值分别为1t，2t，则1t，2t是方程2433000tt的两根，所以1234tt.17.（1）证明：取 AB 的中点 G，连接 EG，FG.因为 G，F 分别是 AB，PB 的中点，所以FGAP.因为 E 是 CD 的中点，ABCD 是平行四边形，所以EGAD.因为FGEGG，ADAPA，所以平面EFG平面 PAD.因为EF

17、平面 EFG，所以EF 平面 PAD.（2）解：因为 E 是 CD 的中点，所以BDE的面积是平行四边形 ABCD 面积的14.因为 F 是 PB 的中点，所以三棱锥FBDE的高是四棱雉PABCD的高的12.因为四棱锥PABCD的体积我为 32，所以三棱锥FBDE的体积为1132442.设 B 到平面 DEF 的距离为 d，因为DEF的面积为 4，所以1443d，得3d，即 B 到平面 DEF 的距离为 3.18.解：（1）支持 不支持 合计 年龄不大于 50 岁 45 30 75 年龄大于 50 岁 10 15 25 合计 55 45 100（2）因为2210045 15 10 301003

18、.033.84155 45 75 2533K，所以没有95%的把握认为年龄不同与是否支持申办奥运会有关.（3）记 6 人分别为 a，b，c，d，e，f.其中 a，b，c 表示医生，从 6 人中任意抽 3 人的所有基本事件有 abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def 共 20 个，其中至少有 2 名医生的基本事件有 abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，bcd，bce，bcf，共 10 个，所以所求概率是12.19.解：（1）因为sinsin2BCbaB，所以s

19、insinsinsin2BCBAB.因为sin0B，sincos22BCA，所以cos2sincos222AAA.因为cos02A，所以1sin22A.因为0,22A，所以3A.（2）因为2ADABAC，所以222242ADABACABACAB AC，所以22222242cos3ADcbbccbbcbcbc.因为4bc，所以2224164416212ADbbbbb.因为0,4b，所以2412,16AD，所以3,2AD.20.解：（1）设,C x y，因为直线 AC 与直线 BC 的斜率乘积为 3，所以311yyxx，所以22113yxx，故动点 C 的轨迹方程为22113yxx.（2）易知直线

20、1l的斜率存在且不为 0.设直线1l：，2xty，11,P x y，22,Q xy，联立方程组222,1,3xtyyx得22311290tyty，则1221231tyyt，122931y yt.因为 P，Q 在 y 轴两侧，所以13t，所以2310t ，所以222212121226111431tPQtyytyyy yt.因为21ll，所以2l的方程为xty.设00,M xy，则00,Nxy，联立方程组22,33,xtyxy，得22313ty.所以202331yt，2202331txt，所以222200212 1431tMNxyt，所以2222212 13123161tMNtPQtt，即2MNP

21、Q为定值 2.21.解：（1）由题知，f x的定义域为0,，因为 111xfxxx，所以 f x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 max11f xf，无最小值.（2）eln,0,xaH xxx xx，则 2e1exxxxaHxx，0,x.令 exxu x，则 1exxux，所以 u x在0,1上单调递增，在1,上单调递减，所以 11eu xu.因为0 x，所以10eexx.（1）当1ea 时，0exxa，此时 H x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，所以 H x只有一个极小值点.（2）当10ea时，方程0exxa 有两个根1x，2x，且10,1x，21,x.当10,xx时，0Hx

22、，H x单调递减，当1,1xx时，0Hx，H x单调递增，当21,xx时，0Hx，H x单调递减，当2,xx时，0Hx，H x单调递增，所以 H x有两个极小值点.故实数 a 的取值范围为10,e.22.解：（1）由题知，sin2y，又2cos212sin，所以2212sin12yx ，即曲线 C 的直角坐标方程为21112yxx.因为直线 l 的极坐标方程为cos6m，所以31cossin022m，4 分 又因为siny，cosx 所以直线 l 的直角坐标方程为31022xym，即320 xym.（2）联立 l 与 C 的方程，将cos2,2sinxy代人320 xym中，可得22 3sin

23、2sin230m，要使 l 与 C 没有公共点，则222 3sin2sin3m 无解.令sina，22 323f aaa 11a，其对称轴为36a，开口向下，所以 max37 366f af，min123f af .因为0m，所以7 326m，即7 312m，所以 m 的取值范围为7 3,12.23.解：（1）因为 12123xxxx，所以12xx 的最大值为 3.因为不等式 3f xt有解，所以33t，解得06t，所以实数 t 的最大值6M.（2）由（1）知，12 3abc，因为2224abcabc（当且仅当ab时，等号成立），222223334223223 43 412 336abcababcababcabc，当且仅当22abc，即6ab，2 3c 时，等号成立，所以22abc的最小值为 36.