辽宁省沈阳市名校202学年高三第一次调研测试数学试卷(含解析).pdf

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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每

2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足23AFB，设线段AB的中点M在l上的投影为N，则MNAB的最大值是（）A34 B33 C32 D3 2已知 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，且a，b，则“/a”是“/ab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3设 i 为虚数单位，若复数(1)22zii，则复数 z 等于()A2i B2i C1i D0 4已知3ln3,log,logabe ce，则下列关系正确的是（）Acba Babc Cbac Dbca 5已知数列 na的通项

3、公式为22nan，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb的前 2020 项和为（）A10112020 B20192020 C20202021 D10102021 6若函数 2lnf xxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A10,2 B1,12 C1,2 D2,e 7将函数()sin(2)f xx的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是（）A8 B34 C2 D4 8 九章算术是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分

4、别为 6 步和 8 步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A12 B3 C6 D9 9a 为正实数，i 为虚数单位，2aii，则 a=（）A2 B3 C2 D1 10已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦距为2c，过左焦点1F作斜率为 1 的直线交双曲线C的右支于点P，若线段1PF的中点在圆222:O xyc上，则该双曲线的离心率为（）A2 B2 2 C21 D2 21 11已知,AAA x y是圆心为坐标原点O，半径为 1 的圆上的任意一点，将射线OA绕点O逆时针旋转23到OB交圆于点,BBB x y，则2AByy的最大值为（）A3

5、 B2 C3 D5 12函数52sin()(,0)(0,)33xxxxf xx 的大致图象为 A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知平面向量a与b的夹角为3，(3,1)a，1b|=，则|2|ab_.14如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点,M N E分别为棱1,AA AB AD的中点，以 A为圆心，1 为半径，分别在面11 ABB A和面 ABCD内作弧MN和 NE，并将两弧各五等分，分点依次为 M、1P、2P、3P、4P、N以及 N、1Q、2 Q、3Q、4Q、E一只蚂蚁欲从点1 P出发，沿正方体的表面爬行至4 Q，则其爬行的

6、最短距离为_参考数据：cos90.9877；cos180.9511；cos270.8910）15实数,x y满足2201020 xyxyxy，则2zxy的最大值为_ 16运行下面的算法伪代码，输出的结果为S _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）设函数2()|()f xxaxaaaR（1）当1a 时，求不等式()5f x 的解集；（2）若存在 1,0a，使得不等式()f xb对一切xR恒成立，求实数b的取值范围 18（12 分）已知矩阵1001A，4123B，若矩阵MBA，求矩阵M的逆矩阵1M 19（12 分）设kR，函数()()g xk xe，

7、其中e为自然对数的底数.（1）设函数()1 lnxf xx.若1k，试判断函数()f x与()g x的图像在区间(1,)e上是否有交点；求证：对任意的kR，直线()yg x都不是()yf x的切线；（2）设函数()2ln()h xxxxxg xekx，试判断函数()h x是否存在极小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.20（12 分）已知函数()e2xf xmxm.（1）当1m 时，求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（2）若()0f x 在(0,)上恒成立，求m的取值范围 21（12 分）已知函数()ln()xef xxxax aR.（1）若函数()f x在1,

8、)上单调递减，求实数a的取值范围；（2）若1a，求()f x的最大值.22（10 分）在ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记ABC的面积为S，且2SAB AC（1）求角A的大小；（2）若7c，cos45B，求a的值 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】试题分析：设,A B在直线l上的投影分别是11,A B，则1AFAA，1BFBB，又M是AB中点，所以111()2MNAABB，则1112MNAABBABAB2AFBFAB，在ABF中222A

9、BAFBF22cos3AF BF22AFBFAF BF2()AFBFAF BF2()AFBF2()2AFBF23()4AFBF，所以22()43AFBFAB，即2 33AFBFAB，所以33MNAB，故选 B 考点：抛物线的性质【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化象本题弦AB的中点M到准线的距离首先等于,A B两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B两点到焦点F的距离，从而与弦长AB之间可通过余弦定理建立关系 2、C【答案解析】根据线面平行的性质定理和判定

10、定理判断/a与/b的关系即可得到答案.【题目详解】若/a，根据线面平行的性质定理，可得/a b；若/a b，根据线面平行的判定定理，可得/a.故选：C.【答案点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.3、B【答案解析】根据复数除法的运算法则，即可求解.【题目详解】22(1)22,21izii zii.故选:B.【答案点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.4、A【答案解析】首先判断,a b c和 1 的大小关系，再由换底公式和对数函数lnyx的单调性判断,b c的大小即可.【题目详解】因为ln3ln1ae，311log,logln3lnbece，1ln3ln，所以1cb，

11、综上可得cba.故选：A【答案点睛】本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5、D【答案解析】由题意，设每一行的和为ic，可得11.(21)iiinicaaan ni，继而可求解212.2(1)nnbcccnn，表示12(1)nnbn n，裂项相消即可求解.【题目详解】由题意，设每一行的和为ic 故111().(21)2iniiiiniaancaaan ni 因此：212.(3)(5).(21)2(1)nnbcccn nnnnnn 11 11()2(1)21nnbn nnn 故202011111111(1.)(1)22232020202122021S1010

12、2021 故选：D【答案点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、A【答案解析】试题分析：由题意得 ln1 20fxxax 有两个不相等的实数根，所以 120fxax必有解，则0a，且102fa，102a 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为 0 的点，再判断导数为 0 的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求 f（x）求方程 f（x）0 的根列表检验 f（x）在 f（x）0 的根的附近两侧的符号下结论.（3）已知极值求参数.若函数 f（x）在点（x

13、0，y0）处取得极值，则 f（x0）0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.7、D【答案解析】由函数sinyAx的图象平移变换公式求出变换后的函数解析式，再利用诱导公式得到关于的方程，对k赋值即可求解.【题目详解】由题意知，函数()sin(2)f xx的最小正周期为22T,即88T,由函数sinyAx的图象平移变换公式可得，将函数()sin(2)f xx的图象向右平移18个周期后的解析式为 sin 2sin 284g xxx，因为函数 g x的图象关于y轴对称，所以,42kkz，即3,4kkz，所以当1k 时，有最小正值为4.故选：D【答案点睛】本题考查函数sinyAx的图象平移变换公式和三角

14、函数诱导公式及正余弦函数的性质；熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.8、C【答案解析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，直角三角形的斜边长为228610，利用等面积法，可得其内切圆的半径为6 8268 10 r，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为22166 82.故选：C.【答案点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.9、B【答案解析

15、】2|21230,3aiaaaai，选 B.10、C【答案解析】设线段1PF的中点为A，判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【题目详解】设线段1PF的中点为A，由于直线1FP的斜率是1，而圆222:O xyc，所以0,Ac.由于O是线段12FF的中点，所以222PFOAc，而112222 2PFAFcc，根据双曲线的定义可知122PFPFa，即2 222cca，即2212 22ca.故选：C 【答案点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11、C【答案解析】设射线 OA 与 x 轴正向所成的角为，由三角

16、函数的定义得sinAy，2sin()3By，2AByy33sincos22，利用辅助角公式计算即可.【题目详解】设射线 OA 与 x 轴正向所成的角为，由已知，cos,sinAAxy，22cos(),sin()33BBxy，所以2AByy2sin2sin()3 132sinsincos2233sincos3sin()3226，当3时，取得等号.故选：C.【答案点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.12、A【答案解析】因为5()2sin()52sin()()3333xxxxxxxxfxf x，所以函数()f x是偶函数，排除 B、D，又5()0

17、33f，排除C，故选A 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、13【答案解析】根据已知求出|b，利用向量的运算律，求出2|2|ab即可.【题目详解】由(3,1)a 可得22|(3)(1)2a ，则|cos13a bab，所以222|2|(2)4413ababaa bb.故答案为:13【答案点睛】本题考查向量的模、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.14、1.7820【答案解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【题目详解】棱长为 2 的正方体1111ABCDABC

18、D中，点,M N E分别为棱1,AA AB AD的中点，以 A为圆心，1 为半径，分别在面11 ABB A和面 ABCD内作弧MN和 NE.将平面ABCD绕AB旋转至与平面11ABB A共面的位置，如下图所示：则14180814410P AQ，所以1 42sin72PQ；将平面ABCD绕AD旋转至与平面11ADD A共面的位置，将11ABB A绕1AA旋转至与平面11ADD A共面的位置，如下图所示：则14902901265P AQ，所以1 42sin63PQ；因为sin63sin72，且由诱导公式可得sin63cos27，所以最短距离为1 42sin632 0.89101.7820PQ，故答

19、案为：1.7820.【答案点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.15、52【答案解析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【题目详解】解：作出可行域，如图所示，则当直线2zxy过点C时直线的截距最大，z 取最大值 由12021032xxyxyy 1 3(,),2 2C同理(0,2),B(1,0),A 52Cz，2Bz，2Az 52cz取最大值 故答案为：52【答案点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶

20、点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.16、1011【答案解析】模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S的值,用裂项相消法求和即可.【题目详解】模拟程序的运行过程知,该程序运行后执行：11111 22 33 410 11S 11111111223341011 1111 1011.故答案为:1011【答案点睛】本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.三、解答题

21、：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、()|23xx.(),0.【答案解析】()1a 时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式 5f x 的解集即可；()不等式 f xb的解集为R，等价于 minf xb，求出 f x在1,0a 的最小值即可【题目详解】()当1a 时，21,1123,1221,2xxf xxxxxx 1x 时，不等式 5f x 化为215x，解得2x，即21x 12x 时,不等式 5f x 化为35，不等式恒成立，即12x 2x 时,不等式 5f x 化为215x，解得3x，即23x 综上所述，不等式 5f x 的解集为|23xx ()不等式 f

22、 xb的解集为R minf xb 2222f xxaxaaxaxaaaa 2min2f xaab对任意1,0a 恒成立 22211aaa 当0a 时，22aa取得最小值为0 实数b的取值范围是,0【答案点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型 18、13110101255M 【答案解析】试题分析：411041230123MBA，所以13110101255M 试题解析：B因为411041230123MBA，所以13110101255M 19、（1）函数()f x与()g x的图象在区间(1,)e上有交点；证明见解析；（2）0k 且12ke

23、；【答案解析】（1）令()()()F xf xg x，结合函数零点的判定定理判断即可；设切点横坐标为0 x，求出切线方程，得到002xeelnx，根据函数的单调性判断即可；（2）求出()h x的解析式，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，确定k的范围即可【题目详解】解：（1）当1k 时，函数()g xxe ，令()()()1xF xf xg xxelnx，(1,)xe，则 120Fe，()30Feee，故 10FFe，又函数()F x在区间(1,)e上的图象是不间断曲线，故函数()F x在区间(1,)e上有零点，故函数()f x与()g x的图象在区间(1,)e上有交点；证明：假设存在kR，

24、使得直线()yk xe是曲线()yf x的切线，切点横坐标为0 x，且 00,xee，则切线()yf x在点0 xx切线方程为000()()()yfxxxf x，即000002200022(1)(1)1lnxxx lnxxyxlnxlnxlnx，从而0202(1)lnxklnx，且00002002(1)1xx lnxxkelnxlnx，消去k，得002xeelnx，故0 xe满足等式，令000()2s xxeelnx，所以00()1es xx，故函数0()s x在(0,)e和(,)e 上单调递增，又函数0()s x在0 xe时 0s e，故方程002xeelnx有唯一解0 xe，又 00,xe

25、e，故0 x不存在，即证；（2）由2()2()22h xxxlnxxg xekxxxlnxkxkex得，0 x，()12()h xlnxk xe，令()12()m xlnxk xe，则121()2kxm xkxx，0m eh e，()i当0k时，()h x递减，故当(0,)xe时，()0h x，()h x递增，当(,)xe时，()0h x，()h x递减，故()h x在xe处取得极大值，不合题意；()0ii k 时，则()m x在1(0,)2k递减，在1(2k，)递增，当102ke时，12ek，故()m x在1(0,)2k递减，可得当(0,)xe时，()0h x，当1(,)2xek时，()0h

26、 x，111()(12)2kkkeemkeelnkk，易证112kekk，令11()2kkem kelnk，1(,)2kee，令12tek，故()2n tetlntt，则1()210n tet，故()n t在(2,)e 递增，则 210n tnen，即102ke时，0m，故在1(2k，1)kek内存在0 x，使得0()0m x，故()h x在1(2k，0)x上递减，在0(x，)递增，故()h x在0 xx处取得极小值 由（1）知12ke，12ek，故()h x在(0,)e递减，在(,)e 递增，故(0,)x时，()0h x，()f x递增，不合题意；当12ke时，102ek，当1(2xk，)e

27、时，()0h x，()f x递减，当(,)xe时，()0h x，()f x递增，故()h x在xe处取极小值，符合题意，综上，实数k的范围是0k 且12ke【答案点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题 20、（1）yx；（2）2,)【答案解析】（1）1m,对函数()yf x求导,分别求出(0)f和(0)f,即可求出()f x在点(0,(0)f处的切线方程;（2）对()f x求导,分2m、02m和0m 三种情况讨论()f x的单调性,再结合()0f x 在(0,)上恒成立,可求得m的取值范围.【题目详解】（1）因为1m,所以()e21xf xx

28、,所以()e2xfx,则(0)0,(0)1ff,故曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程为yx.（2）因为()e2xf xmxm,所以()e2xfxm,当2m时,()0fx在(0,)上恒成立,则()f x在(0,)上单调递增,从而()(0)0f xf成立,故2m符合题意;当02m时,令()0fx,解得20lnxm,即()f x在20,lnm上单调递减,则2ln(0)0ffm,故02m不符合题意;当0m 时,0()e2xfxm在(0,)上恒成立,即()f x在(0,)上单调递减,则()(0)0f xf,故0m 不符合题意.综上,m的取值范围为2,).【答案点睛】本题考查了曲线的切线方程的

29、求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.21、（1）21ae（2）max()1f x 【答案解析】（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于0，采用参变分离的方法分离出a，并将x的部分构造成新函数()g x，分析a与()g x最值之间的关系；（2）通过对()f x的导函数()fx分析，确定()fx有唯一零点0 x，则0 x就是()f x的极大值点也是最大值点，计算0()f x的值并利用0()0fx进行化简，从而确定max()f x.【题目详解】（1）由题意知，1()xxfxexeax 1(1)0 xxeax在1,)上恒成立，所以1

30、(1)xaxxe在1,)上恒成立.令1()(1)xg xxex，则21()(2)0 xg xxex，所以()g x在1,)上单调递增，所以min()(1)21g xge，所以21ae.（2）当1a 时，()ln(0)xf xxxx xe.则11()(1)1(1)xxfxxexexx，令1()xm xex，则21()0 xm xex，所以()m x在(0,)上单调递减.由于102m，(1)0m，所以存在00 x 满足 00m x，即001xex.当00,xx时，()0m x，()0fx；当0,xx时，()0m x，()0fx.所以()f x在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减.所以0max

31、0000()lnxf xfxxx ex，因为001xex，所以00lnxx，所以 00011f xxx ，所以max()1f x.【答案点睛】（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.22、（1）4；（2）5a 【答案解析】（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得sincosbcAbcA，结合范围(0,)A，可求tan1A，进而可求A的值（2）利用同角三角函数基本关系式可求3sin5B，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，由正弦定理可求得a的值【题目详解】解：（1）由2SAB AC，得sincosbcAbcA，因为(0,)A，所以tan1A，可得：4A（2）ABC中，cos45B，所以3sin5B.所以：7 2sinsin()sincoscossin10CABABAB，由正弦定理sinsinacAC，得727 2210a，解得5a，【答案点睛】本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题