2020-2021学年人教版九年级上学期期末数学试卷含答案.pdf

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1、2020-2021 学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1如图，矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点 O 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形 ABCD，且点 B，F 的坐标分别为（4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A（0，3）B（0，2.5）C（0，2）D（0，1.5）2ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），ADBC 于 D，下列四个选项中，错误的是（）Asincos BtanC2 Csincos Dtan1 3若关于 x 的方程

2、 kx23x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（）Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若ABC30，则弦 AB 的长为（）A B5 C D5 5若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有 A（，y1），B（，y2），C（，y3）三点，则 y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC（）A1：4 B1：3 C1：2 D1：1 7如图，一河坝的

3、横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5，则坝底 AD 的长度为（）A26 米 B28 米 C30 米 D46 米 8如图，在 RtABC 中，A90，BC2，以 BC 的中点 O 为圆心O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则的长为（）A B C D2 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下，则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D 10若 a，b 是方程 x2+2x20160 的两根，则 a2+3a+b（）A2016 B2015 C2014 D2012 11如图，直线

4、lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 2，则 k1k2的值为（）A2 B3 C4 D4 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论：ab0；b24ac；a+b+2c0；3a+c0 其中正确的是（）A B C D 二.填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求写出最后结果）13如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是

5、14如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 15如图，矩形 ABCD 中，BC4，CD2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留）16如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 yx21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为 17已知等腰三角形的一边长为 9，另一边长为方程 x28x+150 的根，则该等腰三角形的周长为 18如图，在AOB 中，AOB90，点 A 的坐标为（2，1），BO2，反比例函数 y的图象经过点 B

6、，则 k 的值为 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 66 分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）19（6 分）根据要求解下列一元二次方程：（1）x2+2x30（配方法）；（2）（x+1）（x2）4（公式法）20（8 分）已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）如果 AB3，EC，求 DC 的长 21（10 分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60 沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：

7、，AB10 米，AE15 米（i1：是指坡面的铅直高度 BH与水平宽度 AH 的比）（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；（2）求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732）22（10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 23（10 分）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200 千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千

8、克涨价 0.1 元，销售量将减少 1 千克（1）现该商场保证每天盈利 1500 元，同时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？24（10 分）如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2）、B（2，b）两点，与y 轴相交于点 C（1）求 m，n 的值；（2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P点坐标；若不存在，说明理由 25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，

9、0），B（4，0），C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1如图，矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点 O 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴上的某一点为位似中心，作位似图形 ABCD，且点 B，F 的坐标分别为（

10、4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（）A（0，3）B（0，2.5）C（0，2）D（0，1.5）【分析】连接 BF 交 y 轴于 P，根据题意求出 CG，根据相似三角形的性质求出 GP，求出点 P 的坐标【解答】解：如图，连接 BF 交 y 轴于 P，四边形 ABCD 和四边形 EFGO 是矩形，点 B，F 的坐标分别为（4，4），（2，1），点 C 的坐标为（0，4），点 G 的坐标为（0，1），CG3，BCGF，GP1，PC2，点 P 的坐标为（0，2），故选：C 2ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为 1），ADBC 于 D，下列四个选项中，错误的是（）Asincos

11、BtanC2 Csincos Dtan1【分析】观察图形可知，ADB 是等腰直角三角形，BDAD2，AB2，AD2，CD1，AC，利用锐角三角函数一一计算即可判断【解答】解：观察图象可知，ADB 是等腰直角三角形，BDAD2，AB2，AD2，CD1，AC，sincos，故 A 正确，tanC2，故 B 正确，tan1，故 D 正确，sin，cos，sincos，故 C 错误 故选：C 3若关于 x 的方程 kx23x0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（）Ak0 Bk1 且 k0 Ck1 Dk1【分析】讨论：当 k0 时，方程化为3x0，方程有一个实数解；当 k0 时，（3）24k（）0，然

12、后求出两个种情况下的 k 的公共部分即可【解答】解：当 k0 时，方程化为3x0，解得 x；当 k0 时，（3）24k（）0，解得 k1，所以 k 的范围为 k1 故选：C 4如图，O 的半径为 5，AB 为弦，点 C 为的中点，若ABC30，则弦 AB 的长为（）A B5 C D5【分析】连接 OC、OA，利用圆周角定理得出AOC60，再利用垂径定理得出 AB即可【解答】解：连接 OC、OA，ABC30，AOC60，AB 为弦，点 C 为的中点，OCAB，在 RtOAE 中，AE，AB，故选：D 5若抛物线 yax2+2ax+4（a0）上有 A（，y1），B（，y2），C（，y3）三点，则

13、y1，y2，y3的大小关系为（）Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1【分析】根据抛物线 yax2+2ax+4（a0）可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题【解答】解：抛物线 yax2+2ax+4（a0），对称轴为：x，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，A（，y1），B（，y2），C（，y3）在抛物线上，y3y1y2，故选：C 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 是 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC（）A1：4

14、 B1：3 C1：2 D1：1【分析】首先证明DFEBAE，然后利用对应边成比例，E 为 OD 的中点，求出 DF：AB 的值，又知 ABDC，即可得出 DF：FC 的值【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ABDC，则DFEBAE，O 为对角线的交点，DOBO，又E 为 OD 的中点，DEDB，则 DE：EB1：3，DF：AB1：3，DCAB，DF：DC1：3，DF：FC1：2；故选：C 7如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5，则坝底 AD 的长度为（）A26 米 B28 米 C30 米 D46 米【分析】先根据坡比求

15、得 AE 的长，已知 CB10m，即可求得 AD【解答】解：坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i1：1.5，AE1.5BE18 米，BC10 米，AD2AE+BC218+1046 米，故选：D 8如图，在 RtABC 中，A90，BC2，以 BC 的中点 O 为圆心O 分别与 AB，AC 相切于 D，E 两点，则的长为（）A B C D2【分析】连接 OE、OD，由切线的性质可知 OEAC，ODAB，由于 O 是 BC 的中点，从而可知 OD 是中位线，所以可知B45，从而可知半径 r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案【解答】解：连接 OE、OD，设半径为 r，O 分别与 AB，AC 相切

16、于 D，E 两点，OEAC，ODAB，O 是 BC 的中点，OD 是中位线，ODAEAC，AC2r，同理可知：AB2r，ABAC，B45，BC2 由勾股定理可知 AB2，r1，故选：B 9已知二次函数 yax2+bx+c 的图象如下，则一次函数 yax2b 与反比例函数 y在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A B C D【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知 a0，再由函数图象经过 y 轴正半轴可知c0，利用排除法即可得出正确答案【解答】解：二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下可知 a0，对称轴位于 y 轴左侧，a、b 同号，即 b0图象经过 y 轴正半可知 c0，根据对称轴和一

17、个交点坐标用 a 表示出b，c，b2a，c3a，确定一次函数和反比例函数有 2 个交点，由 a0，b0 可知，直线 yax2b 经过一、二、四象限，由 c0 可知，反比例函数 y的图象经过第一、三象限，故选：C 10若 a，b 是方程 x2+2x20160 的两根，则 a2+3a+b（）A2016 B2015 C2014 D2012【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到 a2+2a20160，即 a22a+2016，则a2+3a+b 可化简为 a+b+2016，再根据根与系数的关系得 a+b2，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：a 是方程 x2+2x20160 的实数根，a2+2a201

18、60，a22a+2016，a2+3a+b2a+2016+3a+ba+b+2016，a、b 是方程 x2+2x20160 的两个实数根，a+b2，a2+3a+b2+20162014 故选：C 11如图，直线 lx 轴于点 P，且与反比例函数 y1（x0）及 y2（x0）的图象分别交于点 A，B，连接 OA，OB，已知OAB 的面积为 2，则 k1k2的值为（）A2 B3 C4 D4【分析】根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOP 的面积为，BOP 的面积为，由题意可知AOB 的面积为【解答】解：根据反比例函数 k 的几何意义可知：AOP 的面积为，BOP 的面积为，AOB 的面积为，2，k1k

19、24，故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，下列结论：ab0；b24ac；a+b+2c0；3a+c0 其中正确的是（）A B C D【分析】由抛物线开口方向得到 a0，然后利用抛物线抛物线的对称轴得到 b 的符合，则可对进行判断；利用判别式的意义和抛物线与 x 轴有 2 个交点可对进行判断；利用 x1 时，y0 和 c0 可对进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到 b2a，加上 x1 时，y0，即 ab+c0，则可对进行判断【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线 x1，b2a0，ab0，所以正确；抛物线与 x 轴有 2 个交点，b2

20、4ac0，所以正确；x1 时，y0，a+b+c0，而 c0，a+b+2c0，所以正确；抛物线的对称轴为直线 x1，b2a，而 x1 时，y0，即 ab+c0，a+2a+c0，所以错误 故选：C 二.填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求写出最后结果）13如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD5，点 E 在 DC 上，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，那么 cosEFC 的值是 【分析】根据翻折变换的性质得到AFED90，AFAD5，根据矩形的性质得到EFCBAF，根据余弦的概念计算即可【解答】解：由翻折变换的性质可知，AFE

21、D90，AFAD5，EFC+AFB90，B90，BAF+AFB90，EFCBAF，cosBAF，cosEFC，故答案为：14如图，AB 是O 的弦，AB5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB45，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【分析】根据中位线定理得到 MN 的长最大时，BC 最大，当 BC 最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值【解答】解：如图，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，MNBC，当 BC 取得最大值时，MN 就取得最大值，当 BC 是直径时，BC 最大，连接 BO 并延长交O 于点 C，连接 AC，BC是O 的直径，BAC90 AC

22、B45，AB5，ACB45，BC5，MN最大 故答案为：15如图，矩形 ABCD 中，BC4，CD2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，连接 BD，则阴影部分的面积为 （结果保留）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S正方形OECDS扇形EOD计算由弧 DE、线段 EC、CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE、线

23、段 EC、CD 所围成的面积S正方形OECDS扇形EOD224，阴影部分的面积24（4）故答案为 16如图，已知P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 yx21 上运动，当P 与 x 轴相切时，圆心 P 的坐标为（，2）或（，2）【分析】当P 与 x 轴相切时，点 P 的纵坐标是 2 或2，把点 P 的坐标坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标【解答】解：依题意，可设 P（x，2）或 P（x，2）当 P 的坐标是（x，2）时，将其代入 yx21，得 2x21，解得 x，此时 P（，2）或（，2）；当 P 的坐标是（x，2）时，将其代入 yx21，得 2x21，即1x2 无解 综上所述，符合条件

24、的点 P 的坐标是（，2）或（，2）；故答案是：（，2）或（，2）17已知等腰三角形的一边长为 9，另一边长为方程 x28x+150 的根，则该等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23 【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可 【解答】解：由方程 x28x+150 得：（x3）（x5）0，x30 或 x50，解得：x3 或 x5，当等腰三角形的三边长为 9、9、3 时，其周长为 21；当等腰三角形的三边长为 9、9、5 时，其周长为 23；当等腰三角形的三边长为 9、3、3 时，3+39，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为 9、5、5

25、 时，其周长为 19；综上，该等腰三角形的周长为 19 或 21 或 23，故答案为：19 或 21 或 23 18如图，在AOB 中，AOB90，点 A 的坐标为（2，1），BO2，反比例函数 y的图象经过点 B，则 k 的值为 8 【分析】根据AOB90，先过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDx 轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点 B 的坐标，进而得出 k 的值【解答】解：过点 A 作 ACx 轴，过点 B 作 BDx 轴，垂足分别为 C、D，则OCABDO90，DBO+BOD90，AOB90，AOC+BOD90，DBOAOC，DBOCO

26、A，点 A 的坐标为（2，1），AC1，OC2，AO，即 BD4，DO2，B（2，4），反比例函数 y的图象经过点 B，k 的值为248 故答案为：8 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 66 分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）19（6 分）根据要求解下列一元二次方程：（1）x2+2x30（配方法）；（2）（x+1）（x2）4（公式法）【分析】（1）利用配方法解出方程；（2）利用公式法解出方程【解答】解：（1）x2+2x30，移项，得 x2+2x3，配方，得 x2+2x+13+1，则（x+1）24，x+12，x21，x11，x23；（2）（x+1）（x2）4，整理得，x2x

27、60，a1，b1，c6，b24ac（1）241（6）250，方程有两个不相等的实数根，x，x13，x22 20（8 分）已知：如图，ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60（1）求证：ABDDCE；（2）如果 AB3，EC，求 DC 的长 【分析】（1）ABC 是等边三角形，得到BC60，ABAC，推出BADCDE，得到ABDDCE；（2）由ABDDCE，得到，然后代入数值求得结果【解答】（1）证明：ABC 是等边三角形，BC60，ABAC，B+BADADE+CDE，BADE60，BADCDE ABDDCE；（2）解：由（1）证得ABDDCE，设 CDx，则 BD

28、3x，x1 或 x2，DC1 或 DC2 21（10 分）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌 CD，小李在山坡的坡脚 A 处测得广告牌底部 D 的仰角为 60 沿坡面 AB 向上走到 B 处测得广告牌顶部 C 的仰角为 45，已知山坡 AB 的坡度 i1：，AB10 米，AE15 米（i1：是指坡面的铅直高度 BH与水平宽度 AH 的比）（1）求点 B 距水平面 AE 的高度 BH；（2）求广告牌 CD 的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：1.414，1.732）【分析】（1）过 B 作 DE 的垂线，设垂足为 G分别在 RtABH 中，通过解直角三角形求出 BH、AH

29、；（2）在ADE 解直角三角形求出 DE 的长，进而可求出 EH 即 BG 的长，在 RtCBG 中，CBG45，则 CGBG，由此可求出 CG 的长然后根据 CDCG+GEDE 即可求出宣传牌的高度【解答】解：（1）过 B 作 BGDE 于 G，RtABH 中，itanBAH，BAH30，BHAB5；（2）BHHE，GEHE，BGDE，四边形 BHEG 是矩形 由（1）得：BH5，AH5，BGAH+AE5+15，RtBGC 中，CBG45，CGBG5+15 RtADE 中，DAE60，AE15，DEAE15 CDCG+GEDE5+15+51520102.7m 答：宣传牌 CD 高约 2.7

30、米 22（10 分）如图，已知ABC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 D，点 E 为弧的中点，连接 CE 交 AB 于点 F，且 BFBC（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，cosB，求 CE 的长 【分析】（1）连接 AE，求出EAD+AFE90，推出BCEBFC，EADACE，求出BCE+ACE90，根据切线的判定推出即可（2）根据 AC4，cosB求出 BC3，AB5，BF3，AF2，根据EADACE，EE 证AEFCEA，推出 EC2EA，设 EAx，EC2x，由勾股定理得出 x2+4x216，求出即可【解答】（1）答：BC 与O 相切 证明：连接 AE，A

31、C 是O 的直径 E90，EAD+AFE90，BFBC，BCEBFC，E 为弧 AD 中点，EADACE，BCE+ACE90，ACBC，AC 为直径，BC 是O 的切线 （2）解：O 的半为 2，AC4，cosB，BC3，AB5，BF3，AF532，EADACE，EE，AEFCEA，EC2EA，设 EAx，EC2x，由勾股定理得：x2+4x216，x（负数舍去），即 CE 23（10 分）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 5 元，每天可售出 200 千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价 0.1 元，销售量将减少 1 千克（1）现该商场保证每天盈利 1500 元，同

32、时又要照顾顾客，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，使该商场获利最大？【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值；（2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后求其最值即可【解答】解：（1）设每千克应涨价 x 元，由题意列方程得：（5+x）（200）1500 解得：x5 或 x10，答：为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价 5 元；（2）设涨价 x 元时总利润为 y，则 y（5+x）（200）10 x2+150 x+1000 10（x215x）+1000 10（x7.5）2+1562.5，答：若该商场

33、单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元，能使商场获利最多 24（10 分）如图，直线 ymx+n 与双曲线 y相交于 A（1，2）、B（2，b）两点，与y 轴相交于点 C（1）求 m，n 的值；（2）若点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于 D 点的点 P，使得 SPABSDAB？若存在，直接写出 P点坐标；若不存在，说明理由 【分析】（1）利用待定系数法求出 m，n 的值；（2）根据关于 x 轴对称的点的坐标特征求出点 D 的坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分点 P 在 x 轴上和点 P 在 y 轴上两种情况，利用三角形面积公式计

34、算即可【解答】解：（1）点 A（1，2）在双曲线 y上，2，解得，k2，反比例函数解析式为：y，b1，则点 B 的坐标为（2，1），解得，m1，n1；（2）对于 yx+1，当 x0 时，y1，点 C 的坐标为（0，1），点 D 与点 C 关于 x 轴对称，点 D 的坐标为（0，1），ABD 的面积233；（3）对于 yx+1，当 y0 时，x1，直线 yx+1 与 x 轴的交点坐标为（0，1），当点 P 在 x 轴上时，设点 P 的坐标为（a，0），SPAB|1a|2+|1a|13，解得，a1 或 3，当点 P 在 y 轴上时，设点 P 的坐标为（0，b），SPAB|1b|2+|1b|13，解

35、得，b1 或 3，P 点坐标为（1，0）或（3，0）或（0，3）25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0），B（4，0），C（0，4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点 P，使POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点 P 运动到什么位置时，PBC 面积最大，求出此时 P 点坐标和PBC 的最大面积 【分析】（1）由 A、B、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点 P 在线段 OC 的垂直平分线上，则可求得 P 点

36、纵坐标，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标；（3）过 P 作 PEx 轴，交 x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，用 P 点坐标可表示出 PF 的长，则可表示出PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得PBC 面积的最大值及 P 点的坐标【解答】解：（1）设抛物线解析式为 yax2+bx+c，把 A、B、C 三点坐标代入可得，解得，抛物线解析式为 yx23x4；（2）作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1，POPC，此时 P 点即为满足条件的点，C（0，4），D（0，2），P 点纵坐标为2，代入抛物线解析式可得 x23x42，解得 x（小于

37、0，舍去）或 x，存在满足条件的 P 点，其坐标为（，2）；（3）点 P 在抛物线上，可设 P（t，t23t4），过 P 作 PEx 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2，B（4，0），C（0，4），直线 BC 解析式为 yx4，F（t，t4），PF（t4）（t23t4）t2+4t，SPBCSPFC+SPFBPFOE+PFBEPF（OE+BE）PFOB（t2+4t）42（t2）2+8，当 t2 时，SPBC最大值为 8，此时 t23t46，当 P 点坐标为（2，6）时，PBC 的最大面积为 8 1、三人行，必有我师。21.1.161.16.202108:3808:38:57Jan-21

38、08:38 2、书是人类进步的阶梯。二二一年一月十六日 2021 年 1 月 16 日星期六 3、会当凌绝顶，一览众山小。08:381.16.202108:381.16.202108:3808:38:571.16.202108:381.16.2021 4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。1.16.20211.16.202108:3808:3808:38:5708:38:57 5、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。Saturday,January 16,2021January 21Saturday,January 16,20211/16/2021 6、路遥知马力日久见人心。8 时 38 分 8 时 38 分 16-Jan-211.16.2021 7、山不在高，有仙则灵。21.1.1621.1.1621.1.16。2021 年 1 月 16 日星期六二二一年一月十六日 8、有花堪折直须折，莫待无花空折枝。08:3808:38:571.16.2021Saturday,January 16,2021 亲爱的读者：春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。