高考数学：抛物线的性质及应用.pdf

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1、 1/11 第 9 讲 抛物线的性质及应用 一、教学目标：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.二、教学重点.重点：会利用抛物线的性质解决抛物线问题 难点：抛物线综合问题 三、教学方法 一学、二记、三应用。四、知识梳理：1.抛物线的几何性质 标准方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)对称轴 y0 x0 焦点 Fp2，0 Fp2，0 F0，p2 F0，p2 离心率 e1 准线方程 xp2 xp2 yp2 yp2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方

2、向 向右 向左 向上 向下 2.焦点弦的常用结论：以抛物线 y22px(p0)为例，设 AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 在准线上的射影为 A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2p24，y1y2p2；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则|AF|p1cos，|BF|p1cos；(3)|AB|x1x2p2psin2(其中 为直线 AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为 2p，通径是最短的焦点弦；(4)SAOBp22sin(其中 为直线 AB 的倾斜角)；(5)1|AF|1|BF|2p为定值；(6)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线

3、相切；(7)以 AF(或 BF)为直径的圆与 y 轴相切；(8)以 A1B1为直径的圆与直线 AB 相切，切点为 F，A1FB190；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线 3直线与抛物线的位置关系 直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x22(kbp)xb20 的解的个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 0时，直线与抛物线有一个公共点；当 0)点(2，2)在抛物线上，p1，即抛物线方程为 x22y.当 y3 时，x 6.水位下降 1 米后，水面宽为 2 6米 答案：2 6 题型二、焦点弦问题 例 2 已知过抛物

4、线 y22px(p0)的焦点，斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.证明：设直线 AB 的方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp20.由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yBp2yA.BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，Cp2，yB.则 kOCyBp22pyAyAxAkOA.直线 AC 经过原点 O.5/11 题型三、抛物线与直线位置关系 结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛

5、物线的位置关系？答 设直线l：ykxm，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2bxc0，(1)若a0，当0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0，即 2k2k10，解得1k12.于是，当1k12，且 k0 时，方程有两个解，从而方程组(*)有两个解这时，直线 l 与抛物线有两个公共点 3由 0，解得 k12.于是，当 k12时，方程没有实数解，从而方程组(*)没有解这时，直线 l 与抛物线没有公共点综上，我们可得 当 k1，或 k12，或 k0 时，直线 l 与抛物线只有一个公共点；当1k12，且 k0 时，直

6、线 l 与抛物线有两个公共点；当 k12时，直线 l 与抛物线没有公共点 例 4 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值；(3)以 AB 为直径的圆与抛 6/11 物线的准线相切 证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp2，即 y22pmyp20.(*)则 y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p

7、2x1x2，所以 x1x2y21y224p2p44p2p24.(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得1|AF|1|BF|AB|p24p2|AB|pp242p(定值)(3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N，则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已

8、经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为 0 的情况 课堂练习 1、以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8 解析 不妨设抛物线 C：y22px(p0)，则圆的方程可设

9、为 x2y2r2(r0)，如图，又可设 A(x0,2 2)，Dp2，5，点 A(x0,2 2)在抛物线 y22px 上，82px0，点 A(x0,2 2)在圆 x2y2r2上，x208r2，点 Dp2，5 在圆 x2y2r2上，5p22r2，联立，解得 p4，即 C 的焦点到准线的距离为 p4，故选 B.2、若抛物线 y24x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 3，延长 PF 交抛物线于 Q，若 O 为坐标原点，则 SOPQ_.7/11 解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0)又|PF|3，由抛物线定义知：点 P 到准线 x1 的距离为 3，点 P 的横坐标为 2.将

10、x2 代入 y24x，得 y28，由图知点 P 的纵坐标 y2 2，P(2,2 2)，直线 PF 的方程为 y2 2(x1)方法一 联立直线与抛物线的方程 y2 2x1，y24x，解之得 x12，y 2或 x2，y2 2.由图知 Q(12，2)，SOPQ12|OF|yPyQ|121|2 2 2|322.方法二 将 y2 2(x1)代入 y24x，得 2x25x20，x1x252，|PQ|x1x2p92，O 到 PQ 的距离 d2 23，SOPQ12|PQ|d12922 23322.3、如图，已知 O 为坐标原点，P(a,0)(a0)为 x 轴上一动点，过 P 作直线交抛物线 y22px(p0)

11、于 A、B 两点，设 SAOBttanAOB.试问：当 a 为何值时，t 取得最小值，并求出最小值 解 当 AB 与 x 轴不垂直时，设 AB 的方程为 yk(xa)(k0)，联立 ykxa，y22px消去 y 得 k2x22(k2ap)xk2a20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2a2，y1y22pa.当 AB 与 x 轴垂直时，上述结论仍然成立 由 SAOB12|OA|OB|sinAOB12|OA|OB|cosAOBtanAOB，得 t12|OA|OB|cosAOB.|OA|OB|cosAOBOAOBx1x2y1y2，t12(x1x2y1y2)12(a22pa)12(a

12、p)212p212p2，当 ap 时，t 有最小值12p2.真题回顾 1设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 ykx(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k()A.12 B1 C.32 D2 解析：选 D y24x，F(1,0)又曲线 ykx(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，P(1,2)将点 P(1,2)的坐标代入 ykx(k0)，得 k2.故选 D.8/11 2以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则 C 的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8 解析：选 B 设抛物线的方程为 y2

13、2px(p0)，圆的方程为 x2y2r2.|AB|4 2，|DE|2 5，抛物线的准线方程为 xp2，不妨设 A4p，2 2，Dp2，5.点 A4p，2 2，Dp2，5 在圆 x2y2r2上，16p28r2，p245r2，16p28p245，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为 4.3 已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y28x 的焦点重合，A，B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|()A3 B6 C9 D12 解析：选 B 抛物线 y28x 的焦点为(2,0)，椭圆中 c2，又ca12，a4，b2a2c212，从而椭圆的方程为x216y212

14、1.抛物线 y28x 的准线为 x2，xAxB2，将 xA2 代入椭圆方程可得|yA|3，由图象的对称性可知|AB|2|yA|6.故选 B.4已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.72 B.52 C3 D2 解析：选 C 如图所示，过点 Q 作 QQl 交 l 于点 Q，设 l 与 x 轴交点为 M，因为FP4FQ，所以|QQ|MF|PQ|PF|34，又焦点 F 到准线 l 的距离|MF|4，所以|QF|QQ|3.故选 C.5设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的

15、直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.3 34 B.9 38 C.6332 D.94 解析：选 D 易知抛物线中 p32，焦点 F34，0，直线 AB 的斜率 k33，故直线 AB的方程为 y33x34，代入抛物线方程 y23x，整理得 x2212x9160.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2212.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p2123212，结合图象可得 O到直线 AB 的距离 dp2sin 3038，所以OAB 的面积 S12|AB|d94.七、自我测评：1若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1，则点 P

16、 的轨迹为()A圆 B椭圆 9/11 C双曲线 D抛物线 解析：选 D 依题意，点 P 到直线 x2 的距离等于它到点(2,0)的距离，故点 P 的轨迹是抛物线 2设抛物线 y212x 上一点 P 到 y 轴的距离是 1，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A3 B4 C7 D13 解析：选 B 依题意，点 P 到该抛物线的焦点的距离等于点 P 到其准线 x3 的距离，即等于 314.3若抛物线 y22x 上一点 M 到它的焦点 F 的距离为32，O 为坐标原点，则MFO 的面积为()A.22 B.24 C.12 D.14 解析：选 B 由题意知，抛物线的准线方程为 x12.设 M(a，b)，

17、由抛物线的定义可知，点 M 到准线的距离为32，所以 a1，代入抛物线方程 y22x，解得 b 2，所以 SMFO1212 224.4设 F 为抛物线 y22x 的焦点，A，B，C 为抛物线上三点，若 F 为ABC 的重心，则|FA|FB|FC|的值为()A1 B2 C3 D4 解析：选 C 依题意，设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点 F12，0，所以 x1x2x331232，则|FA|FB|FC|x112x212x312(x1x2x3)3232323.5直线 l 过抛物线 x22py(p0)的焦点，且与抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 6，AB

18、的中点到 x 轴的距离是 1，则此抛物线方程是_ 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|y1y2p2p6，p4.即抛物线方程为x28y.答案：x28y 6已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M.(1)求抛物线的方程；(2)若过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标 解：(1)抛物线 y22px 的准线为 xp2，于是 4p25，p2，抛物线方程为 y24x.(2)由(1)知点 A 的坐标是(4,4)，由题意得 B(

19、0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA43.MNFA，kMN34.10/11 FA 的方程为 y43(x1)，MN 的方程为 y34x2，联立 y43x1，y34x2，解方程组得 x85，y45，点 N 的坐标为85，45.7.如图，已知抛物线 C：y22px(p0)，焦点为 F，过点 G(p,0)作直线l 交抛物线 C 于 A，M 两点，设 A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若 y1y28，求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AF 与 x 轴不垂直，直线 AF 交抛物线 C 于另一点 B，直线 BG 交抛物线 C 于另一点 N.求证：直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 解：(1)设直线 AM 的方程为 xmyp，代入 y22px 得 y22mpy2p20，则 y1y22p28，得 p2.抛物线 C 的方程为 y24x.(2)证明：设 B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知 y3y42p2，y1y3p2.又直线 AB 的斜率 kABy3y1x3x12py1y3，直线 MN 的斜率 kMNy4y2x4x22py2y4，kABkMNy2y4y1y32p2y12p2y3y1y32p2y1y3y1y3y1y32.故直线 AB 与直线 MN 斜率之比为定值 11/11