2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学一》真题及详解.pdf

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1、 2023 年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解 一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。1曲线1ln1yxex的渐近线方程为（）。Ayxe Byx1/e Cyx Dyx1/e【参考答案】B【参考解析】由已知1ln1yxex，则可得：1ln11limlimlimln11xxxxeyxkexxx 11limlimlnlimln11111lim ln 1lim11xxxxxbykxxexxexxxxe xe xe 所以斜渐近线方程为 yx1/e。2若微分方程 yayby0 的解在

2、（，）上有界，则（）。Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0【参考答案】C【参考解析】由题意，微分方程的特征方程为 2ab0。当 a24b0 时，特征方程有两个不同的实根 1，2，则 1，2至少有一个不等于零。若 C1、C2都不为零，则微分方程的解为1212xxyC eC e。因此，此时不能有解在（，）上有界。当 a24b0 时，特征方程有两个相同的实根 1，2a/2。若 C20，则微分方程的解为2212aaxxyC eC e。因此，此时不能有解在（，）上有界。当 a24b0 时，特征方程的根为21,2422abai。则通解为2221244cossin22axbabayeCxC

3、x。要使微分方程的解在（，）有界，则 a0，结合 a24b0，可得 b0。3设函数 yf（x）由2sinxttytt 确定，则（）。Af（x）连续，f（0）不存在 Bf（0）存在，f（x）在 x0 处不连续 Cf（x）连续，f（0）不存在 Df（0）存在，f（x）在 x0 处不连续【参考答案】C【参考解析】（1）当 t0 时，3sinxtytt，dsincosd3ytttx。当 t0 时，sinxtytt，dsincosd1ytttx。当 t0 时，因为 000sin0limlim03xtf xfttfxt。000sin0limlim0 xtf xfttfxt。所以 f（0）0。（2）因为 0

4、0sincoslimlim03xttttfx；00sincoslimlim03xttttfx。所以 0lim00 xfxf，即 f（x）在 x0 连续。（3）当 t0 时，因为 000sincos20limlim3 39xtfxftttfxt；000sincos0limlim2xtfxftttfxt。故 00ff。所以 f（0）不存在。4已知 anbn（n1，2，），若级数1nna与1nnb均收敛，则“级数1nna绝对收敛”是“1nnb绝对收敛”的（）。A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【参考答案】A【参考解析】由级数1nna与1nnb均收敛，可得1nn

5、nba为收敛的正项级数，进而绝对收敛。若1nna绝对收敛，则由|bn|bnanan|bnan|an|与比较判别法，可得1nnb绝对收敛。若1nnb绝对收敛，则由|an|anbnbn|bnan|bn|与比较判别法，可得1nna绝对收敛。5已知 n 阶矩阵 A，B，C 满足 ABCO，E 为 n 阶单位矩阵，记矩阵OABCE，ABCOE，EABABO的秩分别为 1，2，3，则（）。A123 B132 C312 D213【参考答案】B【参考解析】因初等变换不改变矩阵的秩。由矩阵的初等变换可得：OAABCOOOBCEBCEBCE，因此 1n。ABCABOOEOE，因此 2r（AB）r（E）nr（AB）

6、。EABEOEOABOABABABOABAB，因此 3r（ABAB）nr（AB）n。故选择 B 项。6下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）。A11022003a B1112003aa C11020002a D11022002a【参考答案】D【参考解析】A 项，矩阵的特征值为 1，2，3，互不相同，可相似对角化。B 项，矩阵为实对称矩阵，可相似对角化。C 项，矩阵特征值为 1，2，2，二重特征值的重数 23r（C2E），可相似对角化。D 项，矩阵特征值为 1，2，2，二重特征值的重数 23r（D2E），不可相似对角化。故选择 D 项。7已知向量1123 ，2211 ，1259 ，2101 ，若

7、既可由 1，2线性表示，也可由 1，2线性表示，则 （）。A33,4kkR B35,10kkR C11,2kkR D15,8kkR 【参考答案】D【参考解析】设 x11x22y11y22，则 x11x22y11y220。又 121212211003,2150010131910011 故可得：121231,11xxccRyy 所以可得：12111555,888cccckkR 8设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 E（|XEX|）（）。A1/e B1/2 C2/e D1【参考答案】C【参考解析】方法 1：由题意可知 EX1，所以1,01,1,2,.XXEXXX。故可得：10101110

8、 101110 11110 12kkE XEXP XkP XkkP XkP XeE XeeEXeee 因此选 C 项。方法 2：随机变量 X 服从参数为 1 泊松分布，即110,1,2,.!P Xkekk，期望 E（X）1。故可得：11111121112211122111111111101.1.0!1!2!11!1!111!11 12kkkkkE XE XEXeeekekekekkeeekkeeekkeeeeee 因此选 C 项。9设 X1，X2，Xn为来自总体 N（1，2）的简单随机样本，Y1，Y2，Ym为来自总体 N（2，22）的简单随机样本，且两样本相互独立，记11niiXXn，11ni

9、iYYm，221111niiSXXn，222111niiSYYm，则（）。A2122,SF n mS B21221,1SF nmS C21222,SF n mS D212221,1SF nmS【参考答案】D【参考解析】由题意，X1，X2，Xn的样本方差为221111niiSXXn。Y1，Y2，Yn的样本方差为222111niiSYYm。则由抽样分布定理，可得212211nSn，2222112mSm，且两个样本相互独立。所以可得：21222211222222221/1/21,11/2/12nSnSSF nmmSSSm 故选择 D 项。10 设 X1，X2为来自总体 N（，2）的简单随机样本，其中

10、 （0）是未知参数，若12a XX为 的无偏估计，则 a（）。A2 B22 C D2【参考答案】A【参考解析】由题意可知 X1X2N（0，22）。令 YX1X2，则 Y 的概率密度为：222 2122yfye 22222 240122dd2222yyE Yyeyyey 因此，122E a XXaE Ya。由12a XX为 的无偏估计，即 E（），因此2a。故选择 A 项。二、填空题：1116 小题，每小题 5 分，共 30 分。11 当 x0 时，函数 f（x）axbx2ln（1x）与 2cosxg xex是等价无穷小，则 ab_。【参考答案】2【参考解析】222220002222220221

11、ln 12limlimlim1cos112112lim132xxxxxaxbxxxo xf xaxbxxg xexxo xxo xaxbxo xxo x 则有10113222aabb ，故 ab2。12曲面 zx2yln（1x2y2）在点（0，0，0）处的切平面方程为_。【参考答案】x2yz0【参考解析】记 F（x，y，z）x2yln（1x2y2）z，则法向量为：222222,1,2,111xyzxyF F Fxyxyn 因此在点（0，0，0）处的法向量为（1，2，1），即切平面方程为 x2yz0。13设 f（x）为周期为 2 的周期函数，且 f（x）1x，x0，1，若 01cos2nnaf

12、xan x，则21nna_。【参考答案】0【参考解析】由 f（x）展开为余弦级数知，f（x）为偶函数。由傅里叶系数计算公式有：10110011001011001012202221cosd2cosdcosd112sindsin2dsin2sinsind2sind2cos2cos1naxn x xn x xxn x xn xxn xnnxn xnxn xn x xnn x xnn xnnn 故222111cos2102nnnann。14设连续函数 f（x）满足 f（x2）f（x）x，20d=0f xx，则 31df xx_。【参考答案】1/2【参考解析】3231122110211021102111

13、00210010ddd=d2 d2d2 ddddddddd12f xxf xxf xxf xxf ttxtf xxf xxf xxf xxxf xxf xxx xf xxx xx x 15已知向量11011 ，21101，30111，1111，k11k22k33，若 TiTi（i1，2，3），则 k12k22k32_。【参考答案】11/9【参考解析】T1T11k11T1k22T1k33T11k13k20k301k11/3。T2T23k11T2k22T2k33T23k21。T3T31k11T3k22T3k33T31k21/3。所以，k12k22k3211/9。16设随机变量 X 与 Y 相互独立

14、，且 XB（1，1/3），YB（2，1/2）则 PXY_。【参考答案】1/3【参考解析】2201220,01,100112111132323P XYP XYP XYP XP YP XP YCC 三、解答题：1722 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本题满分 10 分）设曲线 yy（x）（x0）经过点（1，2），该曲线上任一点 P（x，y）到 y 轴的距离等于该点处的切线在 y 轴上的截距。（1）求 y（x）；（2）求函数 1dxf xy tt在（0，）上的最大值。解：（1）设曲线在点（x，y）处的切线方程为 Yyy（Xx）。故切线在 y 轴上的截距为 yyx，

15、由题意可知 xyyx。由一阶线性微分方程通解公式可得：11ddlnxxxxyeCex Cx 其中 C 为任意常数。将（1，2）代入可得 C2，即 y（x）x（2lnx）。（2）由（1）知 12lndxfxttt，故 f（x）x（2lnx）令 f（x）0，则驻点为 xe2。当 0 xe2时，f（x）0；当 xe2时，f（x）0，故 f（x）在 xe2处取得极大值，同时也取得最大值，且最大值为：2241152lnd44ef exxxe。18（本题满分 12 分）求函数 f（x，y）（yx2）（yx3）的极值。解：根据 323235020 xyfxyxyxfyxx 解得驻点为（0，0），（1，1），

16、（2/3，10/27）。又 fxx（2y3xy5x3）x（3y15x2），fxyx（23x），fyy2。在（0，0）处，002xxxyyyAfBfCf，则 ACB20，故充分条件失效，当 x0 时，取 yx2kx3（k0），f（x，y）（yx2）（yx3）kx3x2（k1）x3kx5o（x5）。则 555500,limlim0 xxkxo xf x ykxx，由极限的局部保号性：存在 0，当 x（，0）时，5,0fx yx，f（x，y）0f（0，0），当 x（0，）时，5,0fx yx，f（x，y）0f（0，0），故（0，0）不是极值点。在（1，1）处，1252xxxyyyAfBfCf，则 A

17、CB210，故（1，1）不是极值点。在（2/3，10/27）处，10027832xxxyyyAfBfCf，则 ACB28/270 且 A0，故（2/3，10/27）是极小值点。故 f（2/3，10/27）4/729 为极小值。19（本题满分 12 分）设空间有界区域 中，柱面 x2y21 与平面 z0 和 xz1 围成，为 边界的外侧，计算曲面积分 2d dcos d d3sin d dIxz y zxzy z yyzx x y 解：由高斯公式可得：=2sin3 sindIzxzyyxV 关于 xOz 面对称，zsinyysinx 是关于 y 的奇函数，因此可得：1222022221300=2

18、 dd d2 d1d d:111 2d dd d215dd244xyxyxyxyxxyDDDDIz Vx yz zxx yDxyxxx yxyx yrr 20（本题满分 12 分）设函数 f（x）在a，a上具有 2 阶连续导数，证明：（1）若 f（x）0，则存在（a，a），使得 21ff afaa；（2）若 f（x）在（a，a）内取得极值，则存在（a，a），使得 212ff afaa。解：（1）220002!2!fff xffxxfxx，介于 0 与 x 之间。则可得：1210,02!ff afaaa 2220,02!ffafaaa 由得：2122af afaff 又 f（x）在2，1上连续，

19、则必有最大值 M 与最小值 m，即 mf（1）M；mf（2）M。从而 122ffmM。由介值定理得，存在 2，1（a，a），有 122fff，代入得：f（a）f（a）a2f（），即 2f afafa。（2）设 f（x）在 xx0（a，a）处取得极值，且 f（x）在 xx0可导，则 f（x0）0。所以 220000002!2!fff xf xfxxxxxf xxx，介于 0 与 x 之间，代入 xa，xa，可得：21001,02!ffaf xaxa 22002,02!ff af xaxa 从而可得：22020122020111221122f afaaxfaxfaxfaxf 又|f（x）|连续，则

20、：22220001122f afaM axM axM ax 其中 Mmax|f（1）|，|f（2）|。又 x0（a，a），故|f（a）f（a）|M（a2x02）2Ma2，则 212Mf afaa，即存在 1或 2（a，a），使得 212ff afaa。21（本题满分 12 分）已知二次型 f（x1，x2，x3）x122x222x322x1x22x1x3，g（y1，y2，y3）y12y22y322y2y3。（1）求可逆变换 xPy，将 f（x1，x2，x3）化为 g（y1，y2，y3）；（2）是否存在正交变换 xQy，将 f（x1，x2，x3）化为 g（y1，y2，y3）。解：（1）由配方法得：

21、f（x1，x2，x3）x122x22x322x1x22x1x3（x1x2x3）2x22x322x2x3（x1x2x3）2（x2x3）2 令112322333zxxxzxxzx，则 f（x1，x2，x3）z12z22。即112233111011001zxzxzx，使得 f（x1，x2，x3）z12z22。再将 g（y1，y2，y3）化为规范形。g（y1，y2，y3）y12y22y322y2y3y12（y2y3）2 令1122333zyzyyyzy，则 g（y1，y2，y3）z12z22。即112233100011001zyzyzy，使得 g（y1，y2，y3）z12z22。从而111222333

22、111100011011001001zxyzxyzxy。故可得112233xyxP yxy，其中1111100111011011010001001001P 为所求矩阵。可将 f（x1，x2，x3）化为 g（y1，y2，y3）。（2）二次型 f（x1，x2，x3）为111120102A。111120230102AE 所以A 的特征值为 0，2，3。二次型 g（y1，y2，y3）的矩阵为100011011B。100011120011BE 所以B 的特征值为 0，1，2。因此，矩阵 A 和 B 合同但是不相似，故不存在可逆矩阵 C，使得 C1ACB。若存在正交变换 xQy，则 QTAQQ1AQB，可

23、得 A 和 B 相似，矛盾。故不存在正交变换 xQy，使得 f（x1，x2，x3）化为 g（y1，y2，y3）。22（本题满分 12 分）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 22222,1,0 ,xyxyf x y其他（1）求 X 与 Y 的方差；（2）求 X 与 Y 是否相互独立；（3）求 ZX2Y2的概率密度。解：（1）222d=0DE Xxxy 1122222222221520022d=4d4=d4=dd13DDDE Xxxyxxyxyrr 所以 D（X）1/3。同理，可得：D（Y）1/3。（2）221221222d110,4121,11=30,xxXxyyxfxxxx ，其他其他 同理，可得：224121,1130,Yyyyfy 其他 因为，fX（x）fY（y）f（x，y），所以 X 与 Y 不相互独立。（3）记 Z 的分布函数为 FZ（z），FZ（z）PZzPX2Y2z。当 z0 时，FZ（z）0。当 0z1 时，222320022dddzzZDFzxyrrz。当 z1 时，FZ（z）1。综上，Z 的概率密度为 2,010,Zzzfz其他。