2023届新高考数学真题解析几何专题讲义第1讲椭圆的定义及其应用.pdf

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1、2023 届新高考数学真题解析几何专题讲义届新高考数学真题解析几何专题讲义第第 1 讲讲椭圆的定椭圆的定义及其应用义及其应用一、问题综述本讲梳理椭圆的定义及其应用椭圆的考题中，对椭圆定义的考查一直都是热点（一（一）椭圆的定义）椭圆的定义平面内到两个定点1F、2F的距离之和等于定值2a122aF F的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距（二）（二）椭圆定义的应用椭圆定义的应用主要有下面几方面的应用：1求标准方程；2焦点三角形中的计算问题；3求离心率；4求最值或范围二、典例分析类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程类型一：利用椭圆的定义求轨迹方程【例 1】ABC的底边1

2、6BC，AC和AB两边上中线长之和为 30，求此三角形重心G的轨迹方程【解析】以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为xy，由20GCGB，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因10a，8c，有6b，故其方程为221010036xyy【方法小结】【方法小结】由已知可得20GCGB，再利用椭圆定义求解，要注意剔除不合要求的点【例 2】已知动圆P过定点30A ，并且在定圆22364B xy：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程【解析】如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点，即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，即86PAPB

3、PMPBBMAB点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为73422b的椭圆，P的轨迹方程为：221167xy【例 3】已知圆22:3100C xy及点3,0A，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程。【解析】如图所示l是线段PA的垂直平分线，AQPQ10AQCQPQCQCP，且 106点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且210a，3c，即5a，4b点Q的轨迹方程为2212516xy【方法小结】是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法【变式训练】1已知椭圆222210 xya

4、bab的左、右焦点分别是1,0Fc、2,0F c，Q是椭圆外的动点，满足12FQa点P是线段1FQ与该椭圆的交点，点T在线段2F Q上，并且满足20PT TF ，20TF 求点T的轨迹C的方程【解析】当0PT 时，点,0a和点,0a在轨迹上当0PT 0PT 且2|0TF 时，由20PT TF ，得2PTTF 由12FQa，得12PFPQa，又122PFPFa，所以2PQPF ，所以T为线段2F Q的中点连接OT，则OT为12QF F的中位线，所以1121122OTFQPFPFa，设点T的坐标为,x y，则222xya故点T的轨迹C的方程是222xya【方法小结】定义法求轨迹（方程）的关键是条件

5、的转化转化成某一基本轨迹的定义条件。类型二：焦点三角形中的计算问题类型二：焦点三角形中的计算问题【例 1】已知ABC的顶点B，C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则ABC的周长是（）A2 3B6C4 3D12【答案】C【解析】由椭圆的定义知：2BABFCACFa，周长为44 3a（F是椭圆的另外一个焦点）【方法小结【方法小结】（1）椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21FF）的点的轨迹叫做椭圆（2）椭圆上的点必定适合椭圆的定义，即aMFMF221，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点有关的距离问题【例 2】已知1F、2F是椭圆222

6、2:10 xyCabab的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且12PFPF 若12PFF的面积为 9，则b_【答案】3【解析】由题意知122PFPFa，12PFPF，222212124PFPFFFc，22121224PFPFPFPFc，222122444PFPFacb2122PFPFb，1 22212112922PF FSPFPFbb3b【方法小结】【方法小结】关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有122PFPFa，再利用12PFPF，进而得解椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PFPF；通过整体代入可求其面积等【变式训练】

7、1椭圆221259xy上的点M到焦点1F的距离为 2，N为1MF的中点，则ON（O为坐标原点）的值为（）A4B2C8D23【解析】如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F，由椭圆第一定义得10221aMFMF，所以82101012MFMF，又因为ON为21FMF的中位线，所以4212MFON，故答案为 A2 如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成 8 等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1P、2P、7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127PFP FP F_.【答案】35【解析】设椭圆右焦点为F，由椭圆的对称性知，17PFP F，26P FPF，35PFPF，1277766554417

8、352PFP FP FP FP FP FP FP FP FP FP Fa.类型三：利用椭圆的定义求离心率类型三：利用椭圆的定义求离心率【例 1】设椭圆的两个焦点分别为12,F F，过1F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为【解析】设1PFm，则122,2FFmPFm，由点P在椭圆上，得122|(21)aPFPFm，又2cm，所以2212(21)cmeam【例 2】己知倾斜角为60的直线l与椭圆222210 xyabab交于,A B两点，且经过椭圆的左焦点F，若2BFAF，则椭圆的离心率为【解析】设1BFm，12AFm，则222AFam，22BFam，在1

9、212AF FBF F,中，分别由余弦定理得222222(22)(2)(2)2 22cos60(2)(2)2 2cos120ammccmammcc m，即22484 (1)442 (2)bamcmbamcm，所以22482 44bambam，即234bam，代入（2）得22bcm，所以64cmam，故23cea【变式训练】1如图所示，12,F F分别为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，且212MFFF，1260FMF，则椭圆的离心率为【解析】设2MFm，则12MFm，123F Fm，由点M在椭圆上，得122|3aMFMFm，又23cm，所以233233cmeam2设P是椭圆222210 xya

10、bab上任一点，1,0Fc，2,0F c为焦点，12PF F，12PF F（1）求证：离心率sinsinsine；（2）求3312PFPF的最值【解析】（1）由正弦定理得2112sinsinsinPFPFFF，由等比性质得2121sinsinsinsinPFPFPFPF，所以1221sinsinsinFFPFPF，所以1212sin22sinsinFFceaPFPF（2）设1PFm，1PFn，则2mna，所以 33332212223 3 243 86PFPFmnmnmmnnmnmnmnaamnaamn将2nam代入上式，得332331286226PFPFaamamaa ma，又1,mPFac

11、ac，所以：当ma时，3312PFPF取得最小值32a；当mac或mac时，3312PFPF取得最大值3226aac类型四：利用椭圆的定义求解最值问题类型四：利用椭圆的定义求解最值问题【例 1】以椭圆221123xy的焦点为焦点，过直线90lxy：上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程分析分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，而这种类型的问题在初中就已经介绍过，只须利用对称的知识就可解决【解析】如图所示，椭圆221123xy的焦点为130F ，230F，点1F关于直

12、线90lxy：的对称点F的坐标为9,6，直线2FF的方程为230 xy解方程组23090 xyxy得交点M的坐标为5,4此时12MFMF最小所求椭圆的长轴12226 5aMFMFFF，3 5a，又3c，222223 5336bac因此，所求椭圆的方程为2214536xy【方法小结【方法小结】解决本题的关键是利用椭圆的定义，将问题转化为在已知直线上求一点，使该点到直线同侧两已知点的距离之和最小【例 2】（1）如果M是以A、B为焦点的椭圆22143xy上任一点，若点M到点1,12C与点B的距离之差为s，则s的最大值是多少？（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆22143xy上任一点，若点M到点1,12

13、C与点B的距离之和为s，则s的取值范围是多少？【解析】（1）52MCMBBC，延长BC与椭圆交于点D，则当M与D重合时，s取得最大、最小值52（2）1,0A，1,12C，连结MA，由椭圆定义可得：24MBMCaMAMCMAMC，由132MAMCAC，得131322MAMC-，所以1313422MBMC4+，当且仅当A、M、C三点共线时，s取得最大、最小值，如上图所示故13134,22s4+【变式训练】1已知P为椭圆222210 xyabab的上一点，求12PFPF的最大值【解析】由点P在椭圆上，得12|2PFPFa，所以221212|2PFPFPFPFa，当且仅当12|PFPFa时，12PFP

14、F取得最大值2a（此时为P椭圆的上顶点或下顶点）类型五：利用定义构造椭圆解题类型五：利用定义构造椭圆解题【例 1】（2017 年浙江高考第 15 题）已知向量a，b满足|a|1，|b|2，则abab的最小值是，最大值是【答案】4，2 5【解法 1】作OPa，点P在单位圆上，设点(2,0)B,(2,0)C，则|ababPBPC，点P在椭圆2215xy上，|2 5P BP C，显然|2 5PBPCP BP C，当且仅当点为椭圆的上下顶点等号成立；又4PBPCBC，abab的最小值是 4，最大值是2 5【解法 2】作OAa，OAa ，OBb，则BAab，BAab ababmax()()abab；()

15、()abab=max 2,24ab；点 B 既在半径为 2 的圆上，又在焦距为 2 的椭圆上，且abab表示的长轴，当椭圆与圆相切时，短轴最长，此时长轴也是最长；abab的最小值是 4，最大值是2 5【方法小结】两个解法都是通过构造椭圆，转化为定圆上的动点到两定点距离之和的最值问题【例 2】ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若sinsinsinsin0ABAB，且2abc，则的最大值为【解析】由条件2abc可构造椭圆2222111xyab，其中1ac，112cc，132bc，如图所示因为sinsinsinsin0ABAB，所以sin0abaB，所以22sinccaBh ，其中h

16、为AB边上的高当h取得最大值时，最大显然max132hbc，故maxmax244 333ch 【方法小结】该法同样通过构造椭圆来解决问题【变式训练】1锐角ABC中，2BC，sinsin2sinBCA，求BC边上的中线AD的取值范围【解析】由sinsin2sinBCA得，24ABACBCBC，故A在以,B C为焦点，长轴长为 4 的椭圆上，椭圆方程为22143xy，又ABC为锐角三角形，所以3322x，A的轨迹方程为223314322xyx，当A为短轴顶点时，AD最短，此时min3AD；当A坐标为31,2A时，132AD，故133,2AD三、巩固练习1（1）方程2222(3)(3)10 xyxy

17、表示的曲线是，其标准方程是。（2）方程2222(3)(3)6xyxy表示的曲线是，其方程是。（3）方程2222(3)(3)4xyxy表示的曲线。（4）方程2222(3)(3)10 xyxy表示的曲线是，其标准方程是。2已知椭圆221169xy上一点M，到椭圆的一个焦点的距离为 2，则点M到另一个焦点的距离为（）A1B2C4D63 已知12,F F是椭圆221169xy的两个焦点，过1F的直线与椭圆交于,M N两点，则2MNF的周长为（）A8B16C25D324已知12,F F分别是椭圆22197xy的左、右焦点，为椭圆上一点，且1245AF F，则12AFF的面积为（）A7B74C72D7 5

18、25过点2,0A与圆1622 yx相内切的圆的圆心P的轨迹是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆6已知椭圆的焦点坐标为)0,3(，)0,3(，并且经过点(2，1)，则椭圆的标准方程为7已知ABC的周长是 16，)0,3(A，B)0,3(则动点的轨迹方程是（）A1162522yxB)0(1162522yyxC1251622yxD)0(1251622yyx8在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点4,0A 和4,0C，顶点B在椭圆221259xy上，则sinsinsinACB9已知A、B、C是直线l上的三点，且6ABBC，o切直线l于点A，又过B、C作o异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方

19、程.10（2012 广州二模）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C与抛物线224C:xy有一个相同的焦点1F，直线2l:yxm与抛物线2C只有一个公共点（1）求直线l的方程；（2）若椭圆1C经过直线l上的点P，当椭圆1C的的离心率取得最大值时，求椭圆1C的方程及点P的坐标四、巩固练习参考答案1【答案】（1）椭圆，2212516xy；（2）线段，033yx ；（3）不存在；（4）椭圆，2212516yx2【答案】D；【解析】由椭圆方程知1228,|2,|226aMFMFa3【答案】B4【答案】C【解析】3,7,2abc，设1AFm，则6nm，在12AFF中，由余弦定理得222(6)(2)22cos4

20、5mmccm，即22(6)84mmm，解得72m，故1 217272sin452.2222AF FScm 5【答案】A6【答案】22163xy7【答案】B8【答案】549【解析】设过B、C作o异于l的两切线分别切o于D、E两点，两切线交于点P由切线的性质知：BABD，PDPE，CACE，故612186PBPCBDPDPCBAPEPCBACEABCABC，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为：2218172xy10【解析】（1）解法解法 1：由22,4yxmxy消去y，得2840 xxm直线l与

21、抛物线2C只有一个公共 28440m，解得4m 直线l的方程为24yx解法解法 2：设直线l与抛物线2C的公共点坐标为00,xy，由214yx，得12yx，直线l的斜率001|2x xkyx依题意得0122x，解得04x 把04x 代入抛物线2C的方程，得04y 点00,xy在直线l上，424m，解得4m 直线l的方程为24yx（2）解法解法 1：抛物线2C的焦点为10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为120,1,0,1FF设点10,1F关于直线l的对称点为100,Fxy，则000012112422yxyx，解得0041xy 点14,1F直线l与直线12:1F Fy 的交点为03,12

22、P由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C的长轴长12121224aPFPFPFPFF F，其中当点P与点0P重合时，上面不等式取等号2a 112ea故当2a 时，max12e此时椭圆1C的方程为22143yx，点P的坐标为3,12解法解法 2：抛物线2C的焦点为10,1F，依题意知椭圆1C的两个焦点的坐标为120,1,0,1FF，设椭圆1C的方程为2222111yxaaa，由22222411yxyxaa消去y，得22222541611 160axaxaa（*）由222221614 541 160aaaa，得425200aa 解得24a 2a 112ea当2a 时，max12e，此时椭圆1C的方

23、程为22143yx把2a 代入方程（*），解得32x，1y 点P的坐标为3,12第第 2 讲讲双曲线的定义及其应用双曲线的定义及其应用一问题综述本讲梳理双曲线的定义及其应用（一）（一）双曲线的定义：双曲线的定义：平面内到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定值2a1202aF F的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距（二）（二）双曲线双曲线定义的应用定义的应用主要有下面几方面的应用：1判断轨迹形状；2求标准方程；3求最值或范围二典例分析类型一：判断轨迹形状类型一：判断轨迹形状【例 1】已知12,F F是定点，动点M满足12|8MFMF，且12|10F

24、 F 则点M的轨迹为（）A双曲线B直线C圆D射线【解析】由题意得12|8MFMF12|10F F，所以点M的轨迹为双曲线。【方法小结】【方法小结】紧扣椭圆的定义进行判断：设平面内动点M到两个定点1F、2F的距离之差的绝对值等于定值2a0a，即12|2MFMFa，（1）若1202aFF，则点M的轨迹是双曲线（包括两支）（2）若12|2MFMFa，则点M的轨迹是双曲线的一支；若21|2MFMFa，则点M的轨迹是双曲线的另一支（3）若122aFF，则点M的轨迹是两条射线（4）若122aFF，则点M的轨迹不存在【变式训练】1方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是，其标准方程是2方程2222(6

25、)(6)12xyxy表示的曲线是，其方程是3方程2222(6)(6)14xyxy表示的曲线【答案】1双曲线的左支，22141620 xyx；2两条射线，044yxx或；3不存在类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程类型二：利用双曲线的定义求轨迹方程【例 1】ABC中，5,0B，5,0C，且3sinsinsin5CBA，求点A的轨迹方程【解析】由3sinsinsin5CBA，得32 sin2 sin2 sin5RCRBRA，35ABACBC，即6ABAC，点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点），26a，210c，3a，5c，4b，所求轨迹方程为2213916xyx【方法小结】由于sin A，sinB，

26、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为ABC外接圆半径），可转化为边长的关系再根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后求椭圆的标准方程结合定义求轨迹方程是一种重要的思想方法【例 2】已知双曲线224199xy的左右焦点分别是12,F F，Q是双曲线右支上的动点，过1F作12FQF的平分线的垂线，求垂足M的轨迹【解析】设点M的坐标为,x y，延长2QF与1FM交于点T，连接OMQM平分12FQF，且QM1FM，1QFQT，1FMMT又点Q是双曲线右支上的动点，1222QFQFQTQFa，22FTa，OMa，即点M在以O为圆心，a为半径的圆上 当点Q沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM趋近于双曲

27、线的渐近线，点M的轨迹是圆弧CBD，除去点C和D，方程为226 5935xyx【方法小结】求轨迹与轨迹方程的注意事项（1）求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变（2）求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形【变式训练】ABC的顶点5,0A、5,0B，ABC的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点C的轨迹方程是（）A221916xyB221169xyC2213916x

28、yxD2214169xyx【解析】如图8ADAE，2BFBE，CDCF，所以82610CACBAB根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为2213916xyx类型三：焦点三角形中的计算问题类型三：焦点三角形中的计算问题【例 1】已知P是双曲线2216436xy上一点，1F，2F是双曲线的两个焦点，若117PF，则2PF的值为_【解析】由双曲线方程2216436xy知，8,6ab，则2210cabP是双曲线上一点，12216PFPFa，又117PF，21PF 或233PF 又22PFac，233PF【例 2】已知双曲线22:1916xyC的左、右焦点分别为1

29、F、2F，P为C右支上的一点，且212PFFF，则12PFF的面积等于（）A24B36C48D96【解析】依题意得21210PFFF，由双曲线的定义，得1226PFPFa，116PF 1 22211616104822PF FS，故选 C【方法小结】【方法小结】关键抓住点P为双曲线C右支上的一点，从而有122PFPFa，再利用212PFFF，进而得解 双曲线上一点 P 与双曲线的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求12PFPF；通过整体代入可求其面积等【变式训练】1设椭圆2212xym和双曲线2213yx的公共焦点分别为1F、2F，P为这两条曲线的

30、一个交点，则12PFPF的值等于_【答案】3【解析】焦点坐标为0,2，由此得24m，故6m.根据椭圆与双曲线的定义可得122 6PFPF，122 3PFPF|两式平方相减，得12412PFPF，123PFPF.2设1F、2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，以12F F为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线C的离心率为 5，则12cosPF F()A35B34C45D56【答案】C【解析】依题意可知12PFPF，设21,PFmPFn，由双曲线定义知：2mna；由勾股定理得：2224mnc；又由离心率：5cea，三式联立解得8ma，故2121284cos25

31、5PFaPFFFFa.3已知1F、2F为双曲线22:2C xy的左、右焦点，点P在C上，122PFPF，则12cosF PF()A14B35C34D45【答案】C【解析】由双曲线的定义有1222 2PFPFa，1224 2PFPF，则222222121212124 22 243cos2424 22 2PFPFFFFPFPFPF.4已知ABP的顶点A，B分别为双曲线221169xy左、右焦点，顶点P在双曲线上，则sinsinsinABP的值等于()A45B74C54D7【答案】A【解析】在ABP中，由正弦定理知sinsin284sin2105PBPAABaPABc.5已知P是双曲线2222:10

32、,0 xyCabab上的点，1F、2F是其焦点，双曲线的离心率是54，且120PFPF ，若12PFF面积为 9，则ab的值为()A5B6C7D8【答案】C【解析】由120PFPF ，得12PFPF，设设1PFm，2PFn，不妨设设mn，则2224mnc，2mna，192mn，54ca，解得45ac，223bca，7ab.类型四：利用双曲线的定义求离心率类型四：利用双曲线的定义求离心率【例 1】已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与圆222xya相切，与C的左、右两支分别交于点A，B，若2ABBF，则C的离心率为()A52 3B52 3C3D5

33、【解析】依题意2ABBF，则11122AFBFBABFBFa，所以2124AFAFaa，又直线1BF与圆222xya相切，故1sinAFaOc，所以1cosAFbOc，在12AFF中，由余弦定理得221222c s2 22o4AFacabOacc，化简得2232caab，所以22220baab，即2220bbaa，所以13ba，于是2152 3cbeaa【变式训练】已知1F，2F为双曲线222210,0 xyabab的左、右焦点，点P为双曲线C上一点，且12PFPF，1230FPF，则双曲线的离心率为【解析】依题意可得12,3PFPFcc，所以122223123PFPccceaccF类型五：利

34、用双曲线的定义求范围或最值类型五：利用双曲线的定义求范围或最值【例 1】如图，M是以A、B为焦点的双曲线222xy右支上任一点，若点M到点3,1C与点B的距离之和为s，则s的取值范围是（）A262,B262 2,C262 2,262 2D262,【解析】连结MA，由双曲线的第一定义可得：22 22 2262 2MBMCMAaMCMAMCAC当且仅当,A M C三点共线时取得最小值故选 B【例 2】如图，点A的坐标为5 0，B是圆2251xy上的点，点M在双曲线2214yx 右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标【解析】设点D的坐标为5 0，则点A，D为双曲线的焦点，22MAMDa，所以

35、2+2MAMBMBMDBD，B是圆2251xy上的点，其圆心为0,5C，半径为 1，故1101BDCD ，1101BDCD ，从而2101MAMBBD，当,M B在线段CD上时取等号，此时MAMB的最小值为101直线CD的方程为5yx ，因点M在双曲线右支上，故0 x，由方程组22445xyyx 解得54 234 54 23xy，所以M点的坐标为54 2 4 54 2,33【方法小结】在求解有关圆锥曲线的最值问题时,如果用函数观点求解会困难重重利用定义进行转化，则势如破竹,能起到出奇制胜的效果。【变式训练】P为双曲线22115yx 右支上一点，M、N分别是圆2244xy和2241xy上的点，则

36、PMPN的最大值为_【解析】两圆圆心14,0F 和24,0F恰为双曲线22115yx 的两焦点当PM最大且PN最小时，PMPN最大.PM的最大值为P到圆心1F的距离1PF与圆1F半径之和，即1max2PMPF，同样2min1PNPF，故PMPN的最大值为：1212213235PFPFPFPFa.类型六：构造双曲线解题类型六：构造双曲线解题【例 3】已知ABC中，AM为BC边上的中线，且满足AMABAC，4BC，求点A到直线BC距离的最大值【解析】以M为原点，建立直角坐标系如图所示设2AMa，则A点为双曲线2222:10,0 xyEabab（其中224ab）和圆222:4F xya的交点,于是可

37、得22223xyab进而得22222323312122abyab,当且仅当2ab时等号成立因此所求点A到直线BC距离的最大值为3【方法小结】本题通过构造双曲线来解决问题三巩固练习1平面内有两个定点15,0F)和15,0F，动点P满足126PFPF，则动点 P 的轨迹方程是（）A2214169xyxB2213916xyxC2214169xyxD2213916xyx2已知(0,7),(0,7),(12,2)ABC，以C为一个焦点作过A，B两点的椭圆，则椭圆另一个焦点P的轨迹方程（）A221148xyyB22148xy C22148xy D22148yx 31O与2O的半径分别为 1 和 2，124

38、OO，动圆与1O内切而与2O外切，则动圆圆心轨迹是（）A椭圆B抛物线C双曲线D双曲线的一支4 一动圆过定点4,0A，且与定圆B：22416xy相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_5设声速为a米/秒，在相距10a米的,A B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差 6 秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程6已知1F，2F为双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线1PF与圆222xya相切，且212PFFF，则双曲线C的离心率为()A103B43C53D27设圆C与两圆22(5)4xy，22(5)4xy中的一个内切，另一个外切（1）求C的圆心轨迹L的方程（2）已知点3 5

39、4 5,55M，5,0F，且P为L上动点，求MPFP的最大值及此时P的坐标8如图，椭圆C的方程为222210yxabab，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为1的直线交椭圆于B点，点1,0P，且BPy轴，APB的面积为92（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程四巩固练习参考答案1【答案】D【解析】根据双曲线的定义可得，答案 D2【答案】A【解析】由已知得ACAPBCBP，即1315APBP，所以214APBPAB，点P的轨迹是以,A B为焦点，实轴长2=2a的双曲线的下支，方程为221148xyy故选 A3

40、【答案】D4【答案】2212412xyy【解析】设动圆圆心为,P x y，由题意得48PBPAAB，由双曲线定义知，点P的轨迹是以,A B为焦点，且24a，2a 的双曲线的左支其方程为：221412xy(x2)5【答案】22221916xyaa【解析】以,A B两哨所所在直线为 x 轴，它的中垂线为y轴，建立直角坐标系，得炮弹爆炸点的轨迹方程为22221916xyaa6【答案】C7【解析】（1）圆22(5)4xy的圆心为(5,0)F，半径为 2，圆22(5)4xy的圆心为(5,0)F，半径为 2，设圆C的半径为r，若圆C与圆F内切，与F外切，则|2CFr，|2CFr，两式相减，得4CFCF；若

41、圆C与圆1F外切，与2F内切，同理4CFCF；由得42 5CFCFF F，点C的轨迹是以,F F为焦点的双曲线，其中24,5ac，2222,1abca，轨迹L的方程为2214xy；（2）由M点的坐标知，M点在圆22(5)4xy上，又由F坐标知，F点是22(5)4xy圆心，|2MPFPMF，,M P F三点同在一条直线上时，|MPFP可取最大值 2直线FM的斜率为：4 50523 555，直线FM的方程为：22 5yx，由2222 514yxxy 求得16 52 5,55P，214 5 2 5,155P（舍去）故|MPFP取最大值 2 时，P点坐标是6 52 5,558【解析】（1）1922AP

42、BSAP PB，又45APB，故3APPB1,0P，2,0A，1,3B2b，将1,3B代入椭圆得：222191bba，得212a，所求椭圆方程为221124yx（2）设椭圆C的焦点为1F，2F，则易知10,2 2F，20,2 2F，直线AB的方程为：20 xy，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最长，只须12MFMF最大，设10,2 2F关于直线AB的对称点为2 22,2F，则直线21F F与直线AB的交点M为所求，因为21F F的方程为：32 22 20 xy，联立32 22 2020 xyxy得1,3M，又122|aMFMF=12|MFMF22212 22022 22 6F F ，故max6,2ab，故所求双曲线方程为22162yxABPxyO