江苏省常州市2022-2023学年高三上学期期末考试（延期）数学含答案.pdf

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1、120222023 学学年年高高三三年年级级模模拟拟试试卷卷数数学学(满分：150 分考试时间：120 分钟)20232一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求1.设集合 Ax|x2，Bx|x1x30，则(RA)B()A.(1，2)B.1，2C.2，3)D.2，32.命题“x0，x1x”的否定为()A.x0，x1xB.x0，x1xC.x0，x1xD.x0，x1x3.若复数 za3i3i(aR)是纯虚数，则 z()A.1B.iC.aiD.3i4.已知两个单位向量 a，b 满足(2ba)(2ab)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为()A.4

2、5B.25C.25D.455.已知正三棱柱 ABCA1B1C1与以ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为()A.12B.2C.2D.26.设 C0n(x2)nC1n(x2)n1C2n(x2)n2(1)nCnna0 xna1xn1an1xan，则 a1a2an1()A.2n12B.2n11C.2n2D.2n17.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量 x(单位：吨)与相应的生产能耗 y(单位：吨标准煤)的几组对应数据：x/吨3456y/吨标准煤2.5344.5已知该厂技术改造前 100 吨产品的生产能耗为 90 吨标准煤，试根据以上数据求出的线性回

3、归方程，预测该厂技术改造后 100 吨产品的生产能耗比技术改造前降低了()参考公式：在线性回归方程 y a b x 中，b ni1xiyinxyni1x2inx2，a yb x，其中 x，y为样本平均值A.19.65 吨标准煤B.29.65 吨标准煤C.70.35 吨标准煤D.90 吨标准煤8.已知函数 f(x)|ex1|，x1，ln xxx1，x1，则 f(f(x)1 解的个数为()A.2B.3C.4D.5二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.某次测试，经统计发现测试

4、成绩服从正态分布，函数 P(x)1210e（x90）2200(xR)的图象为其正态密度曲线，则下列说法正确的是()公众号：高中试卷君2A.这次测试的平均成绩为 90B.这次测试的成绩的方差为 10C.分数在 110 分以上的人数与分数在 80 分以下的人数相同D.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数大致相同10.已知双曲线x216y291 的左、右焦点分别是 F1，F2，点 P 在双曲线的右支上，则下列说法正确的是()A.若直线 PF1的斜率为 k，则|k|0，34)B.使得PF1F2为等腰三角形的 P 有且仅有四个C.点 P 到两条渐近线的距离乘积为14425D.已知点

5、Q(7，5)，则 F2PPQ 的最小值为 511.已知函数 f(x)2xtan x，则下列结论正确的是()A.函数 f(x)不是周期函数B.函数 f(x)的图象只有一个中心对称点C.函数 f(x)的单调递减区间为(2k4，2k4)，kZD.曲线 yf(x)(2x2)只有一条过点(1，0)的切线12.若棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为 R 的球面上，球面上点 P 与球心 O 分别位于平面 ABCD 的两侧，且四棱锥 PABCD 是侧棱长为 l 的正四棱锥记正四棱锥 PABCD 的侧棱与直线 AB 所成的角为，与底面 ABCD 所成的角为，则下列说法正确的是()A.1

6、545B.1545C.R32aD.l45a三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.数据 23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36 的 25 百分位数是_14.在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到直线 x2 与到点 F(2，0)的距离相等，点 Q 在圆(x10)2y225 上，则 PQ 的最小值为_15.已知函数 f(x)exexexexx2，则不等式 f(x1)f(x1)2x22 的解集为_16.已知数列an中，a11，n2an12(n1)2an.记 bn12an1an，则an的通项公式 an_；bn的前 n 项和 Tn_四、解答题：本

7、题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)设甲袋中有 3 个白球和 4 个红球，乙袋中有 1 个白球和 2 个红球现从甲袋中任取 2 个球放入乙袋，再从乙袋中任取 2 个球(1)记从甲袋中取出的 2 个球中恰有 X 个白球，求随机变量 X 的概率分布和数学期望；(2)求从乙袋中取出的 2 个球中恰有 1 个红球的概率18.(本小题满分 12 分)已知等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a1a2b3，15a1a9b6.(1)求数列an和bn的通项公式；公众号：高中试卷君3(2)记 cnlog2bn1，求数列c2nanan1的前

8、 n 项和 Sn.19.(本小题满分 12 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，边 AB 上的高 CD 为 1，且 c2ab cos C.(1)求证：1tan A1tan B1tan C；(2)求 AB 的最小值20.(本小题满分 12 分)如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，平行于 BC 的直线分别交线段 AB，AC 于点 M，N.将AMN 沿着 MN 折起至A1MN，使得二面角 A1MNB 是直二面角(1)若平面 A1MN平面 A1BCl，求证：lBC；(2)若三棱锥 A1AMN 的体积为 1，求二面角 NA1MB 的正弦值21.(本小题满分

9、 12 分)已知点 P(2，1)在椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)上，C 的长轴长为 4 2，直线 l：ykxm 与 C 交于 A，B 两点，直线 PA，PB 的斜率之积为14.(1)求证：k 为定值；(2)若直线 l 与 x 轴交于点 Q，求 QA2QB2的值公众号：高中试卷君422.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)13x3ax23ax1a2，aR.(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)设函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，若过点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线恒在函数 g(x)xexln xx 图象的下方，求实数 a 的取值范围公众号：高中试卷君

10、520222023 学学年年高高三三年年级级模模拟拟试试卷卷(常常州州)数数学学参参考考答答案案及及评评分分标标准准1.C2.A3.B4.D5.D6.C7.A8.A9.AD10.ABC11.AD12.BC13.23.514.315.(，0)16.n22n1(2n1)2n117.解：(1)X 的可能取值为 0，1，2，P(X0)C24C2727，P(X1)C13C14C2747，P(X2)C23C2717，所以随机变量 X 的概率分布为X012P274717所以随机变量 X 的数学期望为 E(X)02714721767.(5 分)(2)记事件 B：从乙袋中取出的 2 个球中恰有 1 个红球，(1

11、)中 X0，1，2 正好为“从甲袋中任取 2 个球”的样本空间，由全概率公式，得P(B)2i0P(Xi)P(B|Xi)27C14C2547C12C13C2517C13C12C251935，所以从乙袋中取出的 2 个球中恰有 1 个红球的概率为1935.(10 分)18.解：(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q.因为 a1b11，a1a2b3，15a1a9b6，所以 2dq20，168dq5，所以 q3168d2d8，所以 q2，d2.从而 an2n1，bn2n1.(6 分)(2)易知 cnlog2bn1log22nn，所以c2nanan1n2（2n1）（2n1）n24n2

12、11411（2n1）（2n1）1418(12n112n1)，所以 Snc21a1a2c22a2a3c2nanan1n418(1113131512n112n1)，即 Snn4n4（2n1）2n22n8n4n2n4n2.(12 分)19.解：(1)由 c2ab cos C 及正弦定理得 sin2CsinA sin B cos C，所以sin Csin Asin Bcos Csin C.因为锐角三角形中，ABC，所以 sin(AB)sin(C)sin C，所以sin A cos BcosA sin BsinA sin Bcos Csin C，所以1tanA1tan B1tan C.(5 分)(2)因

13、为 CD1，所以 AD1tanA，BD1tan B，所以 ABADBD1tan C.又因为 tan Ctan(ACDBCD)tan ACDtan BCD1tan ACDtan BCDADBD1ADBD，所以 ADBD1ADBDADBD，(9 分)所以(ADBD)21ADBD1(ADBD2)2，当且仅当 ADBD 时等号成立，公众号：高中试卷君6所以54(ADBD)21，所以 ABADBD2 55.所以 AB 的最小值为2 55.(12 分)20.(1)证明：因为 MNBC，MN平面 A1BC，BC平面 A1BC，所以 MN平面 A1BC，又因为 MN平面 A1MN，平面 A1MN平面 A1BC

14、l，所以 lBC.(4 分)(2)解：取 BC 的中点 D，连接 AD 交 MN 于点 O，连接 OA1.在正三角形 ABC 中，MNBC，D 为 BC 的中点，所以 O 为 MN 的中点，AMAN，所以 ODMN，A1MAMANA1N，从而 OA1MN.因为二面角 A1MNB 是直二面角，即平面 A1MN平面 BMN，平面 A1MN平面 BMNMN，OA1平面 A1MN，所以 OA1平面 BMN，即 OA1平面 ABC.(8 分)设 OAOA1x，则MNBCOAADx2 3，所以 MN2x3.因为三棱锥 A1AMN 的体积为 1，所以1312MNOAOA11，即13x3x21，所以 x 3.

15、(9 分)以 O 为原点，OM，OD，OA1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，易得平面 A1MN 的一个法向量为 n1(0，1，0)，M(1，0，0)，A1(0，0，3)，B(2，3，0)，所以MB(1，3，0)，MA1(1，0，3)，设平面 A1MB 的法向量为 n2(x，y，z)，有MBn20，MA1n20，则x 3y0，x 3z0，取 z1，则 x 3，y1，所以平面 A1MB 的一个法向量为 n2(3，1，1)，n1n2|n1|n2|11 31155，即二面角 NA1MB 的正弦值为2 55.(12 分)21.解：(1)因为 C 的焦点在 x 轴上且长

16、轴为 4 2，则 2a4 2，故可设椭圆 C 的方程为x28y2b21(2 2 b0).因为点 P(2，1)在椭圆 C 上，所以481b21，解得 b22，所以椭圆 C 的方程为x28y221.(3 分)由ykxm，x28y221，整理得(14k2)x28kmx4m280，公众号：高中试卷君7设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28km14k2，x1x24m2814k2，所以k1k2y11x12y21x22（kx1m1）（kx2m1）（x12）（x22）k2x1x2k（m1）（x1x2）（m1）2x1x22（x1x2）414，所以(4k21)x1x2(4km4k2)(x1x2)4(

17、m22m)0，所以(4k21)4m2814k2(4km4k2)8km14k24(m22m)0，整理得(2k1)(2k1m)0，因为直线 l 不经过点 P，所以 2k1m0，故 2k10，即 k12为定值(7 分)(2)因为直线 l：y12xm，所以 Q(2m，0)，由y12xm，x28y221，得 2x24mx4m280，即 x22mx2m240，则x1x22m，x1x22m24，所以|OA|2|QB|2(x12m)2y21(x22m)2y22(x12m)214(x12m)2(x22m)214(x22m)254(x12m)2(x22m)254x21x224m(x1x2)8m254(x1x2)2

18、4m(x1x2)2x1x8m254(2m)22m4m2(2m24)8m210.(12 分)22.解：(1)因为 a1，f(x)13x3x23x，f(x)x22x30，令 f(x)0，得 x1，3.x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)递减极小值递增极大值递减所以函数 f(x)的单调递增区间为(1，3)，单调递减区间为(，1)，(3，).(4 分)(2)因为函数 f(x)有两个极值点 x1，x2，所以 f(x)x22ax3a0 有两个不相等的解 x1，x2，4a212a0，所以 a0 或 a3，x212ax13a，则 x312ax213ax1，所以 f(x1)13(2ax213ax

19、1)ax213ax11a2，a3x212ax11a2a3(2ax13a)2ax11a2(23a22a)x11，同理 f(x2)(23a22a)x21，则过点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线方程为 y(23a22a)x1.(7 分)由题意知(23a22a)x1xexln xx，对任意 x(0，)恒成立，等价于23a22axexln xx1x，对任意 x(0，)恒成立公众号：高中试卷君8先证：exx1，当且仅当 x0 时成立令 g(x)exx1，g(x)ex1，所以 g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以当且仅当 x0 时，g(x)的最小值为 g(0)0，所以exln xln xx1xxln x1ln xx1x2，当且仅当 xln x0 时取等号，令 t(x)xln x，t(1)10，t(1e)1e10，t(x)的图象是连续不间断的，所以存在 x0(1e，1)，使 x0ln x00，所以exln xln xx1x的最小值为 2.(10 分)所以23a22a2，因为 a0 或 a3，所以实数 a 的取值范围是(0，2132)(2132，3).(12 分)公众号：高中试卷君