常微分方程及空间解析几何单位测试题.doc

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1、常微分方程及空间解析几何单元测试题（考试时间：150分钟）一、填空题：（每小题3分，合计15分）1设有一个一阶微分方程的通解为，则该方程为 2方程的通解为 3设，则 4如果直线与直线相交，那么常数的值为 5已知三向量两两互相垂直，且，则向量的模等于 二、选择题：（每小题3分，合计15分）方程的一个特解具有形式（ ）（A） （B） （C） （D）2已知为方程的三个线性无关的特解，均为任意常数，则该方程的通解为（ ）（A） （B） （C） （D）3已知函数在任意点处的增量，且当时，是的高阶无穷小，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）4设有直线及平面，则直线L（ ）（A）平行于， （B）在上，

2、（C）垂直于， （D）与斜交5方程代表的曲面是（ ）(A)单叶双曲面 (B)椭圆抛物面 (C)双叶双曲面 (D)椭圆柱面三、计算题：（每小题分，合计30分）1设，求以与为邻边的平行四边形的面积.求直线的对称式方程和参数方程3求微分方程满足条件的特解4求解微分方程，其中为正常数5设，其中为连续函数，试求.动点M到点的距离等于它到YOZ面的距离的2倍，求动点M的轨迹方程，并说明动点轨迹是什么曲面四、（8分）求由与所围立体在三个坐标平面上的投影五、（8分）设，是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程的通解及该方程六、（8分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑动距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，

3、以增大压力，使得飞机减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？七、（8分）已知曲线是微分方程的一条积分曲线，此曲线通过原点且在原点处的切线的斜率为0，试求曲线到轴的最大距离 八、（8分）已知直线和平面，求（1）直线在平面上的投影；（2）和的夹角常微分方程与空间解析几何单元测试题参考答案一、填空题：（每小题3分，合计15分）1 2 3 4 5 二、选择题：（每小题3分，合计15分） 1 A 2D 3C 4D 5B三、计算题：（每小题5分，合计30分

4、） 1（5分）2解：取代入直线方程，得，即求得直线上的一个点，（1分）由于两个平面的交线与这两个平面的法向量都垂直，所以可以取 （3分）因此，所给直线的对称式方程为 （4分）参数方程为 （5分）3解：将原方程化为这是个一阶非齐次线性方程，利用公式求得其通解为（4分）代入初始条件，得， 故所求特解为（5分）4解：特征方程为，其根为，（2分）分三种情况讨论：（1），特征方程为两不同实根，解为（3分）（2），特征方程为两相同实根，解为（4分）（3），特征方程为一对共轭复根，解为（5分）5解：由已知，有，两边同时求导，得，继续求导，得，且（2分）二阶方程对应的齐次方程的特征方程为，所以特征根为（3分）

5、令非齐次方程的特解为：，代入原方程得，所以原方程的通解为：， （4分）代入初始条件，得最终结果为（5分）6. 解：设动点，则M到平面的距离由，得（4分）曲面为锥面。（5分）四、（8分）解：由与所围立体，其中坐标平面上的投影为圆盘：（3分）在坐标面上的投影为矩形ABCD区域，即： （6分）类似地，其在坐标平面上的投影为矩形区域： （8分）五、（8分）解：设所求方程为，对应的齐次方程为。由线性微分方程解的结构可知是齐次方程的解，且线性无关（2分）所以齐次方程的通解可以写成，非齐次的通解为。（4分）由齐次方程的通解可知是对应的特征方程的二重根，因此有，从而方程可以写成。因为是该方程的解，代入比较两端可以得到，所以原方程为（8分）六、（8分）解：根据牛顿第二定律，有，（2分）又，两端积分得通解为（4分）代入初始条件，解得，所以（6分）飞机滑行的最长距离为（km）（8分）七、（8分）解：微分方程的特征方程为，所以特征根为，对应齐次方程的通解为（2分）设非齐次方程的特解为，代入原方程得，所以，（4分）微分方程的通解为代入初始条件，得，所以曲线为（6分）由为驻点，所以。（到轴的最大距离）（8分）八、（8分）解：（1）设是平面和的交线，其中是过直线并垂直于的平面，可设 ，即的法向量为：，的法向量为：，由有：得平面的方程为：所以的方程为 （5分）（2）的方向向量为 的方向向量为 （8分）