彩票方案的优选模型--历年数学建模优秀论文大全.doc
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1、彩票方案的优选模型洪善艳、周 姝、刘梅娟指导教师 刘琼荪摘要:本问题要求我们建立一种优选的评价准那么去评估各种彩票方案的合理性,关于彩票中奖与否涉及的因素较多,主要因素有中奖率、奖金额的设值 、彩票的规那么对彩民的吸引力等。题目要求我们对各种因素进行综合分析,评价出给定29种彩票方案的合理性,另外题目还要求设计出更好的方案,对管理部门给出合理化的建议。对问题一,我们首先分别对“传统型、“乐透单项型、“乐透复合型给出了不同的概率计算方法,计算出了各类彩票方案中各种奖项的中奖率并统计中奖概率总和;其次,通过综合分析建立了评价彩票发行方案合理性的目标函数合理度,它是度量各种因素对彩民吸引力程度的函数
2、。本文通过层次分析法得到模型中涉及到的各因素的权重值,利用题目所给的数据通过向量的标准化得到各种因素的标准值,利用Matlab软件编程对大量的数据进行了处理。得出序号为4的方案为“传统型的最优方案,序号为7的方案为“乐透型的最优方案。对问题二,应用问题一中计算出的权重值,建立了合理的彩票发行方案的优化模型,通过Matlab软件编程计算得到:在不同彩票发行类型不同中奖概率和前提下的彩票发行最优方案,如表所示:浮动区间0.01,0.030.03,0.040.04,0.05单项式复合式单项式复合式单项式复合式最优方案7/3171/208/256+1/217/276+1/20由表可知,适当提高的浮动区
3、间,彩票的发行方案更合理,“更好。关键字:层次分析,合理度,彩票,传统型,乐透型1问题重述目前流行的彩票主要有“传统型和“乐透型两种类型。“传统型采用“10选6+1”方案:先从6组09号球中摇出6个根本号码,每组摇出一个,然后从04号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g为例说明中奖等级,如附录表一X表示未选中的号码。“乐透型常有两种方式单项型和复合型。单项型比方“33选7的方案:先从0133个号码球中一个一个地摇出7个根本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注不可
4、重复,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。复合型又比方“36选6+1”的方案,先从0136个号码球中一个一个地摇出6个根本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注不可重复,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如附录一。奖项的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注假设已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规那么及相应的奖金设置方案如附录表三,其中一、二、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注
5、保底金额60万元,封顶金额500万元, 试分析各种不同彩票方案的合理性,并得到更好的彩票发行方案,给彩票管理部门提出建议。并且给报纸写一篇短文,供彩民参考。2定义、假设和符号说明定义:1) “传统型:采用“10选61”方案,由6个根本号码和1个特别号码组成,号码可重复,根据单注号码与中奖号码的个数和顺序确定中奖等级的一种彩票;2) “乐透型:采用“m选nmn或“m选n+1”方案,方法较灵活,号码不可重复,不考虑号码顺序仅以中奖号码的个数来决定中奖等级的一种彩票;3) 中奖面:对于发行的单注彩票获得的各奖项概率之和,它表示每注彩票中奖的可能性;4) 高项奖,低项奖:高项奖的奖金额为浮动值,它与当
6、期的销售总额有关系,且按比例分配。一般为一等奖、二等奖、三等奖;后面的奖项为低项奖,其单注奖金为固定值;5) 奖池:对于某些特定金额的存储仓库,它包含每期最高奖项超出封顶的局部以及奖池的基金,如果最高奖项为空注,所有的最高奖项奖金额滚入奖池;6) 合理度:对于一种彩票实施方案各种指标的综合评定值,它的数值越大,相应的方案就越为合理;假设:1) 单注规定最高奖项为一等奖,次之为二等奖、三等奖,依次类推,不存在特等奖的情况;2) 假设已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖;3) “传统型要求根本号码是连号,如xbcdxf表示与根本号码相符合的是bcd,首尾相连的情况视为不连续,如axxxxf视为无奖
7、;4) “传统型的抽奖号码可以重复,而“乐透型中不管是“7/33还是“6+1/36的形式,投注者的抽取号码不允许重复;5) 单注投注金额为两元,总奖金一般为当期销售总额的50,且此比例固定不变;6) 低项奖单注奖金固定,高项奖金额按比例分配为浮动值,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万元;7) 彩票形式多种多样,在此问题中,我们仅讨论“传统型和“乐透型两种;8) 假定各个不同方案均是在公正公平的原那么下实施,而且彩民购置和对奖的方便程度相同;符号说明: :合理度,用来评价彩票发行方案合理性的目标函数;:各种因素对彩票合理度的影响力;:各种因素对彩票合理度的奉献权重;:各个奖项的中奖概
8、率;:各个奖项的设置及奖金高项奖为比例值,低项奖为金额值;:彩票中奖的概率总和;:影响合理度的每一种因素的标准值;:彩票方案中设置的最低级奖项,也就是奖项数; :高项奖的奖项数; :合理度的几个影响因素通过两两比拟得到的判断矩阵;:判断矩阵的最大特征值;:判断矩阵的一致性指标;3问题分析和模型建立1各种奖项的概率计算:对于种类繁多的彩票,目前流行的主要有“传统型和“乐透型两种类型。(1)针对“传统型6+1/10”的方案,由于根本号码是从6组09的数值中产生,并且6个根本号码允许重复,因此利用排列可以计算出各种中奖的概率。首先列出各种等级下可能出现的所有状态,如下表: 表1 传统型10选6+1中
9、奖等级中奖状态备注一等奖abcdefg选7中6+1二等奖Abcdef选7中6 三等奖abcde,bcdef选7中5 四等奖abcd,bcde,acdef,cdef,abcdf选7中4五等奖abc,bcd,cde,def,abce,abcf, bcdf,acde,adef,bdef选7中3六等奖ab,bc,cd,de,ef,abd,abef,abf,bce,bcf,acd,cdf,ade,bde,cef,aef,bef,abdf,abde,bcef,acdf,acef,abe选7中2注1:表中的表示所选号码不是中奖号码。 2:表中的字母表示所选号码是中奖号码。设16等奖的概率分别表示为,例如状态
10、为xbcdxf下的概率为。因此16等奖的概率计算如下:; ; ; ; (2) “乐透型常见有两种形式:单项型和复合型。其中,单项型指类似于“33选7”的形式,摇奖摇出7个根本号码和1个特别号码,但彩民应从33个号码中选出7个号码作为一注。而复合型指类似于“36选6+1”的形式,摇奖有6个根本号码1个特别号码,彩民抽奖是从36个号码中出取7个号码,单项式和复合式都要求抽奖号码不可重复。判断彩民是否中奖以及中什么等级的奖项,主要看抽取的号码与根本号码和特别号码是否相符合以及相符合的个数。对不同游戏规那么,可以分别计算各种等级奖项的中奖概率选计算:a. 单项型彩票: 现以一注为单位,计算一注中奖的概
11、率。考虑实际奖项等级规那么,为简单起见 ,我们建立一个摸球模型:假设袋子里有个球 ,其中有个红球 ,1个黄球和 个白球。设红球为中奖号码,黄球为特别号码,白球为其他号码。于是,每一注彩票就相当于一次从袋子中摸出个球来,如果摸出个红球,即为一等奖;摸出个红球、1个黄球,即为二等奖;摸出个红球、1个白球,即为三等奖;摸出个红球、1个黄球、1个白球,即为四等奖;摸出个红球、2个白球,即为五等奖;摸出个红球、1个黄球、2个白球,为六等奖;摸出个红球、3个白球,为七等奖,由于抽取的奖号不可重复,因此问题简化为摸球试验是不放回的,即一次从口袋里抽出m个球。根据以上简化的假设和摸球模型,由组合计算公式,可以
12、计算出各个奖项等级的中奖的概率分别为:一等奖:; 二等奖:;三等奖:; 四等奖:;五等奖:; 六等奖:;七等奖:b复合型彩票:假设从n个号码的球中摇出m个根本号码,再从n-m个号码的球中摇出1个特别号码,各个(m+1)号码都不可重复。彩民要从n个号码中选取m+1个号码,游戏规那么是根据彩民的选号与中奖号码相符的个数评判出彩民的中奖等级,但是复合型彩票与单项型彩票最大的区别是彩民选号时特别号码要单独选取,即与m个号码分开选。并且彩民在特别号码与根本号码的选取中,可能出现交叉情形,例如在6+1/36中,与不符,而与相符,因此只能算六等奖,非五等奖。在计算概率时,同样可以建立摸球试验:一个口袋中装有
13、n个球,其中有m个红球根本号码,1个黄球特别号码,n-m-1个白球非中奖号,从口袋中一次摸出m个球,再从剩余n-m个球中摸出1个球决定特别号码,因此样本空间总数为。而各个奖项等级的可能状态数的计算根据组合原理得到,举两例说明: a 三等奖的概率计算6+1/36 三等奖的状态为,样本空间总数为,该状态的所有可能数理解为从6个红球中取5个、1个黄球中取1个、剩余的29个白球中取1个白球的取法,共有种取法,因此其概率为:。 b 四等奖的概率计算6+1/36 四等奖的状态为,为了简化问题,首先将该状态分解为两种:或和或,其组合数分别为和,并且这两种状态不重叠,所以状态数为+,因此概率为:同理分析,通过
14、归纳分析,可以计算各个等级下的概率:一等奖: ; 二等奖: ;三等奖: ; 四等奖:;五等奖:; 六等奖:;七等奖:由以上的分析,即可以计算得到29种不同方案的各个奖项的中奖概率及中奖概率和如附表。对附表一结果进行分析,奖项等级越高,其获奖的概率就越小,即中大奖的几率最小。这是为人们接受,合情合理的。而每个方案的概率和就代表了中奖面。这个值越大就说明中奖面越宽;反之,中奖面就会越窄。各个不同等级奖项的设置和中奖面的大小直接影响着彩民的购置彩票的情况。另外,由于我们在假设里面已经约定了各个不同方案均是在公正公平的原那么下实施,而且彩民购置和对奖的方便程度相同。因此,彩票对于彩民的吸引力就主要表现
15、在中高奖的概率、高奖的金额以及中奖概率总和。据此,我们对于衡量各个不同方案的合理度建立模型。合理度作为目标函数,其他的有效因素都是变量。2模型建立 1模型一彩票的发行方案以下简称彩票方案包括彩票类型有传统型和乐透型,乐透型又分单项型和复合型,彩票总数码、中奖根本号码及特别号码的设置以及奖项、将金额的设置,这些设置又直接影响到彩票方案的中奖概率和,另外,彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和又是吸引彩民购置彩票的关键因素。为了评价彩票发行方案的合理性,设定一目标函数值,称为合理度,值越高说明彩票方案越合理。我们认为高项奖的奖金比例分配、低项奖的奖金金额和彩票方案的中奖概率和是影响彩票方案合理性的
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