均值不等式的实际应用.ppt

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1、v教教学学重重点点：利利用用均均值值不不等等式解决实际问题式解决实际问题v教教学学难难点点：实实际际问问题题数数学学化（建模）化（建模）利用利用均值不等式均值不等式求函数的最值求函数的最值复习旧知识复习旧知识均值不等式均值不等式a2+b22ab，a+b2 2ab (当且仅当当且仅当a=b时上述各式取等号时上述各式取等号)；a3+b3+c33abc，a+b+c3 3abc (当且仅当当且仅当a=b=c时上述各式取等号时上述各式取等号)。利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时正，和或积为定值，当且仅当上述不等

2、式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内。未知数的取值必须在允许值范围内。和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值 例例1：用边长为：用边长为60厘米的正方厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转后把四边形翻转90，再焊接而，再焊接而成，问截去小正方形的边长为多成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？积为多少？解：已知量：解：已知量：边长为边长为60cm的正方形铁皮。的正方形铁皮。需设量：需设量：四角截去的

3、小正方形的边长为：四角截去的小正方形的边长为：xcm最终要研究的量：体积（最终要研究的量：体积（V）=底面面积底面面积高高60cm60cmxcm60-2xx60-2xxcm60-2x60-2x所求几何体的体积所求几何体的体积V=（60-2x）（60-2x）x目标函数：目标函数：V=(60-2x)(60-2x)x3=2(20)3=16000(cm)3当当 且且 仅仅 当当 30-x=2x即即 x=10时时，Vmax=16000(cm)3答：截去小正形的边长为答：截去小正形的边长为10cm时，水箱时，水箱容积最大，最大容积为容积最大，最大容积为16000(cm)3 =2(30-x)(30-x)2x

4、 例例2:一块长方形的铁皮长为一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为厘米，宽为50厘米，从四角处厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。容积最大。80cm50cm 解：已知量：解：已知量：长为长为80cm，宽为，宽为50cm需设量：需设量：截去小正方形的边长为：截去小正方形的边长为：xcm最终要研究的量：体积（最终要研究的量：体积（V）=底面面积底面面积高高xcmxcm80-2x50-2x此题若按例1的解法来解 当且仅当 80-2x=50-2x这样

5、的这样的x不存在！不存在！目目标标函函数数：V=(80-2x)(50-2x)x 解解:V=(80-2x)(50-2x)x=2(40-x)(50-2x)x =18000(cm)3当且仅当当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长即小正方形边长x=10时，时，Vmax=18000(cm)3解法：解法：V=4(40-x)(25-x)x=(40a-ax)(25b-bx)x(4/ab)解得a=1/3，b=2/3，x=10V=18(40/3-x/3)(50/3-2x/3)x18(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/33=18000当且仅当当且仅当40/3-x/3=50/3-2x/3=x即即x

6、=10时时Vmax=18000(cm)3若满足若满足由同学们来完成下列练习：由同学们来完成下列练习：用总长用总长29.6m的钢条制做一个长的钢条制做一个长方体的容器的框架，如果所制做容方体的容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长器的底面一边比另一边长1m，那么，那么高为多少时容器的容积最大？并求高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。出它的最大容积。解解：已已知知量量：长长方方体体的的12条条棱棱长长之之和和为为29.6m，需需设设量量：长长方方体体的的底底面面两两边边长长为为：x和和(x+1)m，高高为为hm最最终终要要研研究究的的量量：体体积积（V）=底底面面面面积积高高 而

7、而4x+4(x+1)+4h=29.6即即h=6.4-2xV=x(x+1)(6.4-2x)x+1xh目标函数：目标函数：V=x(x+1)h V=x(x+1)(6.4-2x)=ax(bx+b)(6.4-2x)/ab 其中其中a，b是待定的正常数且满足是待定的正常数且满足a+b=2且且ax=bx+b=6.4-2x解得解得a=1.2，b=0.8，x=2此时此时V=1.2x(0.8x+0.8)(6.4-2x)/0.96(1.2x+0.8x+0.8+6.4-2x)/33/0.96=(7.2/3)3/0.96=14.4m3答：当高答：当高h=6.4-22=2.4m时，时，Vmax=14.4m3 例例3：制做

8、圆柱形的罐头盒，如果：制做圆柱形的罐头盒，如果容积一定，它的尺寸怎样取，所用的容积一定，它的尺寸怎样取，所用的材料最少？材料最少？分析：所用的材料最分析：所用的材料最少的本质是什么意思？少的本质是什么意思？或者说从数学的角度来或者说从数学的角度来说是什么意思？说是什么意思？分析出来实质是圆柱体的表面积分析出来实质是圆柱体的表面积 已知量：已知量：体积体积V（假定为定值）（假定为定值）需设量：需设量：底半径底半径r，高，高h最终要研究的量：最终要研究的量：表面积表面积S=两个底面积两个底面积+侧面积侧面积2rh且且V=r2h目标函数：目标函数：S=2r2+2rh 如图所示，已知圆锥的底面半径为如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为，高为H，在其中有一个高为，在其中有一个高为x，下底半，下底半径与上底半径之比为径与上底半径之比为k（0k1）的内接）的内接圆台，试问：当圆台，试问：当x为何值时，圆台的体为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积。积最大？并求出这个最大的体积。课堂小结课堂小结1解应用题的方法与步骤解应用题的方法与步骤2均值不等式均值不等式求函数的最值求函数的最值1、弄清已知量、确定目标变量。、弄清已知量、确定目标变量。2、根据题设建立目标函数。、根据题设建立目标函数。3、选定求解方法。、选定求解方法。