基于偏微分方程的图像处理方法.ppt

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1、基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法电子与信息工程学院电子与信息工程学院 张芳张芳基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法一一背景介绍背景介绍二二基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像滤波方法三三基于偏微分方程的图像复原方法基于偏微分方程的图像复原方法四四基于偏微分方程的图像骨架线提取方法基于偏微分方程的图像骨架线提取方法五五基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的图像增强方法六六基于偏微分方程的其它图像处理方法基于偏微分方程的其它图像处理方法汇报提纲汇报提纲基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法数字图像数字图像像素的灰度值像

2、素的灰度值引引 言言基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法 基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法 (Partial Differential Equations,简称简称PDE)定义定义 图像图像u 连续信号连续信号 图像处理操作图像处理操作F 偏微分算子偏微分算子 原始图像原始图像I 初始条件初始条件 结果图像结果图像u 方程的解方程的解 应用应用 图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、二值化、边缘检测、图像分割等二值化、边缘检测、图像分割等。一、背景介绍一、背景介绍基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分

3、方程的图像处理方法从高斯平滑从高斯平滑算子导出的算子导出的偏微分方程偏微分方程 偏微分方程偏微分方程 滤波模型的导出滤波模型的导出 从最优化的从最优化的问题出发，问题出发，即变分方法即变分方法导出的偏微导出的偏微分方程分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法从高斯平滑算子导出的偏微分方程从高斯平滑算子导出的偏微分方程 热传导方程热传导方程(Witkin)不足：不足：各向同性扩散方程。各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。即图像

4、边缘。高斯滤波高斯滤波高斯滤波器高斯滤波器热传导方程热传导方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程 变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为：函求极值问题的方法，它的主要步骤为：u 第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第一步，从物理

5、问题上建立泛函及其约束条件；u 第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方程；第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方程；u 第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法建立泛建立泛函及约函及约束条件束条件 变分，求变分，求欧拉欧拉/拉格拉格朗日方程朗日方程 求解微分求解微分方程方程 从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法

6、基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法偏微分方程的去噪原理偏微分方程的去噪原理从空域从空域角度讲角度讲 从频域从频域角度讲角度讲 高频成分保留少高频成分保留少低频成分保留多低频成分保留多高斯平滑滤波高斯平滑滤波利利用用高高斯斯函函数数对对邻邻域域内内的的点点进进行行加加权权平均来实现去噪平均来实现去噪 二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法控制平滑量控制平滑量在图像特征多的区域在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑应该尽可能地少平滑改进改进控制平滑方向控制平滑方向穿越图像特征方穿越图像特征方向的扩

7、散量小向的扩散量小由线性模型到由线性模型到非线性模型的发展非线性模型的发展二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法常用的偏微分方程去噪模型常用的偏微分方程去噪模型 由线性模型到非线性模型的发展由线性模型到非线性模型的发展热传导方程（线性）热传导方程（线性）Perona和和Malik 二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法控制平滑量控制平滑量在图像特征多的区域在图像特征多的区域应该尽可能地少平滑应该尽可能地少平滑改进改进控制平滑方向控制

8、平滑方向穿越图像特征方穿越图像特征方向的扩散量小向的扩散量小由各向同性模型由各向同性模型到各向异性模型的发展到各向异性模型的发展 二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法常用的偏微分方程去噪模型常用的偏微分方程去噪模型 由各向同性模型到各向异性模型的发展由各向同性模型到各向异性模型的发展 热传导方程（各向同性）热传导方程（各向同性）二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法偏微分方程的数值解法偏微分方程的数值解法 对连续的微分方程进行离散

9、差分求解对连续的微分方程进行离散差分求解二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法耦合偏微分方程耦合偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的

10、图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法耦合偏微分方程耦合偏微分方程二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法偏微分方程的图像处理方法的优点偏微分方程的图像处理方法的优点 1 1 1方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于方案灵活多样，借助数学的手段建立模型便于对实际问题的理解和数值处理。对实际问题的理解和数值处理。2 2 2对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线对于视觉上重要的几何特征（例如梯度、切线和曲率等）具有较好的控制。和曲率等）具有较好的控制。4 4 4能够模拟动态视觉处理过程

11、。能够模拟动态视觉处理过程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法3 3 3可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。行滤波和修复。基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法二、基于偏微分方程的图像滤波方法3 3 3可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进可以同时完成多个图像处理任务，比如同时进行滤波和修复。行滤波和修复。基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法4 4 4能够模拟动态视觉处理过程。能够模拟动态视觉处理过程。二、基于偏微分方程的图像滤波方法二

12、、基于偏微分方程的图像滤波方法此结果选自：此结果选自：张亶，陈刚，基于偏微分方程的图像处理，张亶，陈刚，基于偏微分方程的图像处理，北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2004 基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法图像复原，就是利用使获得的图像产生退化的先验知识，图像复原，就是利用使获得的图像产生退化的先验知识，建立退化图像数学模型，然后沿着图像退化的逆过程加以建立退化图像数学模型，然后沿着图像退化的逆过程加以重建和复原，以获得重建和复原，以获得“清晰和干净清晰和干净”的图像。的图像。三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法假设函数假设函数u表

13、示原始图像，这是未知的，是我们想找到的。表示原始图像，这是未知的，是我们想找到的。用函数用函数I表示描述与表示描述与u相同场景的观测图像，它是退化的，相同场景的观测图像，它是退化的，已知的。二者之间的关系可简单表示为：已知的。二者之间的关系可简单表示为：I=Ku+n其中其中K是影响图像失真的因子，是影响图像失真的因子，n是加性噪声。图像恢复问是加性噪声。图像恢复问题就是从已知图像题就是从已知图像I，得到恢复图像，得到恢复图像u。基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法偏微分方程图像复原方法的主要思想：偏微分方程图像复原方法的主要思想：利用图像的已知信息来填充待修复区域内的已经丢

14、失的利用图像的已知信息来填充待修复区域内的已经丢失的或破损的信息，从而得到完整的图像。而要填充未知区或破损的信息，从而得到完整的图像。而要填充未知区域的信息，就需要把待修复区域边界上的信息扩散到区域的信息，就需要把待修复区域边界上的信息扩散到区域中去。这个过程可以借助偏微分方程的扩散来实现。域中去。这个过程可以借助偏微分方程的扩散来实现。三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法偏微分方程图像复原方法的主要思路：偏微分方程图像复原方法的主要思路：根据图像修复的准则，建立数学模型，把图像修复问题根据图像修复的准则，建立数学模型，把图像修复问题抽象成为求解一个最优估计的问题，

15、用抽象成为求解一个最优估计的问题，用Euler公式就得到公式就得到一个偏微分方程。一个偏微分方程。基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法基于热传导方程的图像修复方法：基于热传导方程的图像修复方法：D为待修复区域。为待修复区域。基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法同时完成滤波和修复任务：同时完成滤波和修复任务：基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法同同

16、时时完完成成滤滤波波和和修修复复任任务务基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法三、基于偏微分方程的图像复原方法三、基于偏微分方程的图像复原方法同同时时完完成成滤滤波波和和修修复复任任务务基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法传统算法流程传统算法流程偏微分方程算法流程偏微分方程算法流程求梯度求梯度PDE演化演化求奇点求奇点基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的骨架线提取原理基于偏微分方程的骨架线提取原理偏偏微微分分方方程程骨骨架架提提取取方方法法借借助助GVF

17、(Gradient Vector Flow)思思想想，引引入入梯梯度度场场的的概概念念，将将图图像像边边界界看看做做封封闭闭的的，图图像像内内部部为为一一能能量量场场，场场的的梯梯度度在在内内外外力力的的作作用用下下在在场场内内变变化化运运动动，当场的梯度达到最小时，其最小值处即为图像骨架。，当场的梯度达到最小时，其最小值处即为图像骨架。四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法求梯度求梯度PDE演化演化求奇点求奇点基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法GVF能量方程能量方程初始条件初始条件求求方方程程的的能能量量E最最小小化化即即为为求求图图像像的

18、的两两个个特特征征分分量量场场的的梯梯度度模模值值的的分分别别最最小小化化，因因此此，整整个个算算法法主主要要思思想想即即为为寻寻找找图图像像梯度模值最小的区域。梯度模值最小的区域。四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法根据变分原理，解根据变分原理，解Euler方程，得到：方程，得到：根据梯度下降流得到偏微分方程：根据梯度下降流得到偏微分方程：u和和v的解通过迭代方程的离散数值解来完成。的解通过迭代方程的离散数值解来完成。四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法基于偏微分方程的图像

19、处理方法基于偏微分方程的图像处理方法结合简单图形进行分析结合简单图形进行分析图图1 1 原图原图四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法图图2 2 初始梯度场初始梯度场图图3 3 调整后的梯度场调整后的梯度场基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法应用结果应用结果四、基于偏微分方程的骨架线提取方法四、基于偏微分方程的骨架线提取方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法直方图均衡化增强直方图均衡化增强 原始图像直方图均衡化增强后图像五、基于偏微分方程的图像增强方法五、基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方

20、程的图像处理方法基于偏微分方程的直方图均衡化增强基于偏微分方程的直方图均衡化增强 (Sapiro)其中其中 A代表面积（对于离散图像而言，它代表像素数目）代表面积（对于离散图像而言，它代表像素数目）当演化方程达到稳定时，当演化方程达到稳定时，对于任意对于任意 且且 ，有，有 即即图像的直方图趋于均衡分布。图像的直方图趋于均衡分布。五、基于偏微分方程的图像增强方法五、基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法 (a)原始图像及其直方图原始图像及其直方图(b)PDE增强图像及其直方图增强图像及其直方图 五、基于偏微分方程的图像增强方法五、基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法 (a)原始图像原始图像(b)PDE同时增强和滤波后的图像同时增强和滤波后的图像五、基于偏微分方程的图像增强方法五、基于偏微分方程的图像增强方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法二值化二值化图像分割图像分割边缘检测边缘检测六、基于偏微分方程的其它图像处理方法六、基于偏微分方程的其它图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法基于偏微分方程的图像处理方法谢谢！谢谢！