大学物理量子力学初步03波函数、不确定度关系.ppt

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1、1一一.德布罗意假设德布罗意假设光光(波波)具有粒子性，具有粒子性，实物粒子是否具有波动性实物粒子是否具有波动性?L.V.de Broglie（法，法，1892-1986）一个总能量为一个总能量为E（包括静能在内）包括静能在内）,动量为动量为 P 的的实物粒子同时具有波动性实物粒子同时具有波动性,且且:1924.11.29.德布洛意把德布洛意把题为题为“量子理论的研究量子理论的研究”的博士论文提交巴黎大学的博士论文提交巴黎大学:1.5 粒子的波动性粒子的波动性2有限空间能稳定存在的波有限空间能稳定存在的波必是驻波。必是驻波。r r 他用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的他用物质波的概念成功地解

2、释了玻尔提出的 轨道量子化条件轨道量子化条件：（n=1,2,）？德布罗意波长。德布罗意波长。与粒子相联系的波称为与粒子相联系的波称为物质波，物质波，或德布罗意或德布罗意波。波。3经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。论文答辩会上有人问论文答辩会上有人问:“这种波怎样用实验来证实呢？！这种波怎样用实验来证实呢？！”德布洛意答：德布洛意答：“用电子在晶体上的衍射实验可以证实。用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”爱因斯坦对此论文评价极高，说：爱因斯坦对此论文评价极高，说：“他揭开了自然界舞台

3、上巨大帷幕的一角！他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！”导师朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，导师朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，41.戴维逊戴维逊革末实验革末实验（1927年年）真空真空电子枪电子枪掠射角掠射角INiNi单晶单晶U实验装置示意图（测电子波长、电子束强度）实验装置示意图（测电子波长、电子束强度）估算电子的波长估算电子的波长:()得得二二.实验验证实验验证电子衍射实验电子衍射实验5=C，2C,3C,此时电表中应出现此时电表中应出现最大的电流。最大的电流。即即C实验结果实验结果:C C C CI I()若若 U=100伏伏 =1.225-在在X射线波射线波段段假如电子具有波动

4、性，应满足假如电子具有波动性，应满足布喇格公式布喇格公式6电子通过金属多晶薄膜的衍射实验。电子通过金属多晶薄膜的衍射实验。2.G.P.汤姆逊汤姆逊（1927年年）1927年年 G.P.汤姆逊（汤姆逊（J.J.汤姆逊之子）汤姆逊之子）也独立完成了电子衍射实验。与也独立完成了电子衍射实验。与 C.J.戴维森戴维森共获共获 1937 年诺贝尔物理学奖。年诺贝尔物理学奖。演示qh71929年年 德布洛意获诺贝尔物理奖。德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年年 戴维逊戴维逊 与与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。汤姆逊获诺贝尔物理奖。此后，又有人作出了此后，又有人作出了 后来实验又验证了：质子、中子和原子、分

5、子后来实验又验证了：质子、中子和原子、分子 等实物粒子都具有波动性，并都满足等实物粒子都具有波动性，并都满足 德布洛意德布洛意 关系。关系。电子的单缝、双缝、三缝、四缝实验：电子的单缝、双缝、三缝、四缝实验：8一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？一颗子弹、一个足球有没有波动性呢？估算：质量估算：质量m=0.01kg，速度速度 v=300m/s的子弹的子弹 的德布洛意波长为的德布洛意波长为 波长小到实验难以测量的程度波长小到实验难以测量的程度(足球也如此足球也如此)，它们它们只表现出只表现出粒子性，并不是说粒子性，并不是说没有波动性没有波动性。波动光学波动光学几何光学几何光学 a:h 0:0:量子

6、物理量子物理经典物理经典物理三三.一切实物粒子都有波动性一切实物粒子都有波动性9 物质波物质波的波速的波速 u 并不等于相应粒子的并不等于相应粒子的 运动速度运动速度v，它们之间的关系是它们之间的关系是证明：证明：波的相速度为波的相速度为 ，根据德布洛意公式，相应粒子有根据德布洛意公式，相应粒子有两式相乘得两式相乘得 光波光波的波速的波速 等于光子的运动速度，等于光子的运动速度，两者都等于两者都等于c。注意注意2：有有德布洛意证明：物质波的群速度为相应粒子的运动德布洛意证明：物质波的群速度为相应粒子的运动速度速度v。注意注意1：10 每一特定频率的光波速度称为每一特定频率的光波速度称为相速度相

7、速度(相位传播相位传播的速度）的速度）；不同频率的波迭加形成波包，波包的顶不同频率的波迭加形成波包，波包的顶部传播速度称为部传播速度称为群速度群速度。相速度相速度与与群速度群速度在真空中在真空中是一致的，但在具有高度吸收或散射光波的介质中，是一致的，但在具有高度吸收或散射光波的介质中，二者又不相同，二者又不相同，相速度相速度群速度群速度c2。对于真实的物理问题，理想的单色平面波是不存对于真实的物理问题，理想的单色平面波是不存在的，我们用波包表示在的，我们用波包表示“真实真实”的波，波包是一系的波，波包是一系列不同波长的单色平面波的迭加，只有列不同波长的单色平面波的迭加，只有“波形波形”发发生变

8、化，才能携带有效的信息，因此只有波包的生变化，才能携带有效的信息，因此只有波包的群群速度可代表信号传播的速度速度可代表信号传播的速度。在量子力学中，。在量子力学中，群速群速度也对应为粒子运动的速度，它是小于光速度也对应为粒子运动的速度，它是小于光速c的的。而相速度则可以超过光速而相速度则可以超过光速c，但这并不与狭义相对论但这并不与狭义相对论矛盾，因为矛盾，因为光速仍然是最快的实物运动速度和通讯光速仍然是最快的实物运动速度和通讯速度速度。11 在有些情况下，我们可由粒子的动能求在有些情况下，我们可由粒子的动能求 德布洛意波长。可利用相对论公式德布洛意波长。可利用相对论公式pcE0E 相对论情况

9、相对论情况 非相对论情况非相对论情况注意注意3：12解：解：例题：例题：试计算动能分别为试计算动能分别为100eV、1keV、1MeV、1GeV的电子的德布罗意波长。的电子的德布罗意波长。(电子静能电子静能E0=m0c2=0.51MeV)则：则：（1）当）当EK=100eV时，有：时，有：（2）当）当EK=1keV 时，时，有：有：以上两个结果均与以上两个结果均与X射线的波长相当射线的波长相当.13（3）当）当EK=1MeV 时，时，有：有：宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。宏观物体的波动性不必考虑，只考虑其粒子性。（4）当）当EK=1GeV 时，时，则：则：例如：例如：0.5，以，以

10、v=10m/s运动的棒球，其运动的棒球，其14如何对波粒二象性正确理解？如何对波粒二象性正确理解？1949年，前苏联物理学家年，前苏联物理学家费格尔曼费格尔曼做了做了 一个非常精确的一个非常精确的弱电子流衍射实验弱电子流衍射实验。电子几乎是一个一个地通过双缝，电子几乎是一个一个地通过双缝，底片上出现一个一个的点子。底片上出现一个一个的点子。（显示出电子具有粒子性）（显示出电子具有粒子性）开始时底片上的点子开始时底片上的点子“无规无规”分布，随着分布，随着电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。电子增多，逐渐形成双缝衍射图样。一一.二象性是单个微观粒子的属性二象性是单个微观粒子的属性1.6 概率波与概率

11、幅概率波与概率幅157个电子个电子100个电子个电子30002000070000说明衍射图样不是电子说明衍射图样不是电子相互作用的结果相互作用的结果,它来源它来源于单个电子具有的波动性。于单个电子具有的波动性。单电子双缝衍射实验：单电子双缝衍射实验：16 衍射图样对一个电子来说，每个电子到达屏上衍射图样对一个电子来说，每个电子到达屏上各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的各点有一定概率，衍射图样是一个电子出现概率的统计结果。统计结果。应该注意，概率本身是一个统计概念。应该注意，概率本身是一个统计概念。微观粒子所呈现的统计规律性和以前微观粒子所呈现的统计规律性和以前分子动理论分子动理论中中

12、大量经典粒子大量经典粒子所呈现的统计规律性是不同的。所呈现的统计规律性是不同的。微观粒子的二象性是单个粒子所具有的本性。微观粒子的二象性是单个粒子所具有的本性。实物粒子的二象性就统一在实物粒子的二象性就统一在“概率波概率波”上。上。德布洛意波（物质波）也称为德布洛意波（物质波）也称为概率波。概率波。17（2 2）波动性）波动性 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”，有有“干涉干涉”、“衍射衍射”、等现象。、等现象。但不是经典的波！因为它没有某种实际但不是经典的波！因为它没有某种实际 物理量（如质点的位移、电场、磁场等）物理量（如质点的位移、电场、磁场等）的波动。的波动。（1 1

13、）粒子性）粒子性 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或“整体性整体性”。但不是经典的粒子！因为微观粒子但不是经典的粒子！因为微观粒子 没有没有确定的确定的轨道，在屏上以概率出现。轨道，在屏上以概率出现。应抛弃应抛弃“轨道轨道”的概念！的概念！怎样理解微观粒子的二象性：怎样理解微观粒子的二象性：18少女？少女？老妇？老妇？微观粒子在某些条件下表现出粒子性，微观粒子在某些条件下表现出粒子性，在另一在另一些条件下表现出波动性，些条件下表现出波动性，而而两种性质两种性质虽寓于同一虽寓于同一体中，体中，却却不能同时表现出来不能同时表现出来。例如：例如：两种图象寓于两种图象寓于同一

14、幅画中；同一幅画中；但两种图象不会同时但两种图象不会同时出现在你的视觉中。出现在你的视觉中。19 1926年玻恩年玻恩为了把为了把“颗粒性颗粒性”与与“可叠加性可叠加性”统一起来，提出，统一起来，提出，要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（称为要描述微观粒子的运动，应该用一个函数（称为 波函数），它必须能把波函数），它必须能把“颗粒性颗粒性”与与 “可叠加性可叠加性”统一起来！统一起来！玻恩玻恩人们常用复函数人们常用复函数 代表微观粒子的波函数。代表微观粒子的波函数。的物理意义在于：的物理意义在于：波函数的模的平方（波的强度）波函数的模的平方（波的强度）代表时刻代表时刻 t、在空间在空间 点处

15、，单位点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。体积元中微观粒子出现的概率。二二.玻恩对波函数的统计诠释玻恩对波函数的统计诠释20不同于经典波的波函数，它无直接的物理不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。意义。有意义的是有意义的是对单个粒子，对单个粒子，给出粒子的概率分布；给出粒子的概率分布；对对N 个粒子，个粒子，给出粒子数的分布。给出粒子数的分布。在时刻在时刻 t、空间空间 点处，点处，体积元体积元 dv 中发现微观粒子的概率为：中发现微观粒子的概率为：称为称为“概率（振）幅概率（振）幅”。称为称为 概率密度概率密度。1954年年 玻恩获诺贝尔物理奖。玻恩获诺贝尔物理奖。21（2 2）自然

16、条件）自然条件 单值、有限、连续。单值、有限、连续。（1 1）归一化条件）归一化条件粒子在空间各点的粒子在空间各点的概率总和应为概率总和应为l l，这与经典波完全不同。这与经典波完全不同。（3 3）状态叠加原理）状态叠加原理统计解释对波函数统计解释对波函数 提出的要求：提出的要求：“若体系具有一系列不同的可能状态若体系具有一系列不同的可能状态 1 1 ,2 2 ，则它们的线性组合则它们的线性组合 =C1 1+C2 2+也是该体系也是该体系 的一个可能的状态，其中的一个可能的状态，其中C1,C2 为为复常数复常数。模方模方 分别表示分别表示 态的粒子处于态的粒子处于 1 ,2 各态的概率各态的概

17、率”。三三.概率幅概率幅(波函数波函数)应满足的物理条件应满足的物理条件22这是因为状态为这是因为状态为 12=1+2 ，分布为分布为 同时开缝同时开缝1,2-分布不是分布不是 I1+I2,而是双缝干涉分布！而是双缝干涉分布！电子枪电子枪12双缝干涉双缝干涉 分布分布I2I1(状态为状态为 1,分布为分布为 )(状态为状态为 2,分布为分布为 )只开缝只开缝2-强度分布为强度分布为I2衍射衍射只开缝只开缝1-强度分布为强度分布为I1衍射衍射例例.用状态叠加原理说明用状态叠加原理说明“电子双缝干涉实验电子双缝干涉实验”:23电子有波动性电子有波动性,其状态服从叠加原理。其状态服从叠加原理。当双缝

18、齐开时当双缝齐开时,即使只有即使只有一个电子一个电子，两个概率幅的叠加，就会产生干涉项。两个概率幅的叠加，就会产生干涉项。它的状态也要用叠加态它的状态也要用叠加态 来描述，来描述，于是，就说明了于是，就说明了“弱电子流的弱电子流的双缝干涉实验双缝干涉实验”，在屏上出现在屏上出现 双缝干涉分布的现象。双缝干涉分布的现象。电子有粒子性电子有粒子性,一个电子一个电子只能从一个缝通过；只能从一个缝通过；24 波恩认为：电子的形状具有颗粒性，但无固定的轨波恩认为：电子的形状具有颗粒性，但无固定的轨道，其分布具有波动性。电子衍射实验表明：它与光的道，其分布具有波动性。电子衍射实验表明：它与光的衍射是类似的

19、，从波动的角度看，物质波强度与波函数衍射是类似的，从波动的角度看，物质波强度与波函数的平方成正比；从粒子的角度看，电子在该处出现的几的平方成正比；从粒子的角度看，电子在该处出现的几率与波函数的平方成正比。微观粒子遵从统计规律，微率与波函数的平方成正比。微观粒子遵从统计规律，微粒是不连续的，但其出现的几率却按波的方式连续传播。粒是不连续的，但其出现的几率却按波的方式连续传播。因此，在微观世界中，统计规律是最基本的规律，统计因此，在微观世界中，统计规律是最基本的规律，统计描述代替了严格的因果描述，非决定论将取代决定论。描述代替了严格的因果描述，非决定论将取代决定论。海森堡认为：人们对微观世界的每次

20、观察都意味着海森堡认为：人们对微观世界的每次观察都意味着对客体行为的重大干涉，这种干扰无法控制更无法忽略，对客体行为的重大干涉，这种干扰无法控制更无法忽略，造成所测量的结果与粒子原来的状态不完全相同，因果造成所测量的结果与粒子原来的状态不完全相同，因果率不再适用，数学公式描述的不再是事件本身，而是某率不再适用，数学公式描述的不再是事件本身，而是某些事件出现的几率。些事件出现的几率。25其中其中E和和b均为均为确定的常数。确定的常数。求：归一化的波函数和几率密度的表达式。求：归一化的波函数和几率密度的表达式。即：即：解：由归一化条件，有：解：由归一化条件，有：例题：例题：设粒子在一维空间运动，其

21、状态可用波函设粒子在一维空间运动，其状态可用波函数描述为：数描述为：26几率密度为：几率密度为：如图所示，在区间如图所示，在区间（b/2,b/2)以外找以外找不到粒子。在不到粒子。在x=0处找到粒子的几率处找到粒子的几率最大。最大。b/2-b/2归一化的波函数为：归一化的波函数为：27 一一.不确定关系不确定关系波动性使微观粒子没有确定的轨道，坐标和动量波动性使微观粒子没有确定的轨道，坐标和动量不能同时取确定值，存在一个不能同时取确定值，存在一个不确定关系。不确定关系。以电子的单缝衍射实验来说明以电子的单缝衍射实验来说明不确定关系不确定关系：电子沿电子沿 z 方向通过狭缝后，方向通过狭缝后，假

22、设全部散布在中央亮纹的范围内。假设全部散布在中央亮纹的范围内。衍射角衍射角 1 1、缝宽、缝宽 a 和入射波波长和入射波波长 间满足间满足 a sin 1=P P 1 1xa电子电子 Pxz1.7 不确定关系不确定关系28 x 方向动量的不确定范围方向动量的不确定范围:可由电子能到达可由电子能到达 屏上的位置来估算屏上的位置来估算 px p sin 1 x px h对坐标对坐标 x 测量得越精确（测量得越精确（x 越小），越小），动量不确定性动量不确定性 px 就越大就越大(衍射越厉害衍射越厉害)。得得 x 坐标不确定范围：坐标不确定范围：x a狭缝处的电子狭缝处的电子单缝衍射：单缝衍射：as

23、in 1 x px /2/2 y py /2/2 z pz /2/2严格的理论给出严格的理论给出坐标与坐标与动量的不确定关系为：动量的不确定关系为：29例例1 1 给您一个全新概念给您一个全新概念:若电子若电子E Ek k=10eV =10eV 则则原子线度原子线度 r 10-10 m由不确定关系有由不确定关系有二二.用不确定关系作粗略估算用不确定关系作粗略估算所以原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念所以原子中电子的运动必须抛弃轨道的概念,而用而用电子云电子云图象（说明电子在空间的概率分布）图象（说明电子在空间的概率分布）电子的速度与速度的不确定度数量级相当，电子的速度与速度的不确定度数量级相当

24、，波动性十分显著。波动性十分显著。原子中电子运动不存在原子中电子运动不存在“轨道轨道”。分析分析:30即即 x x=0.0001 m=0.0001 m加速电压加速电压U=102V 电子准直直径为电子准直直径为0.1mmxv电子射线电子射线0.1mm什么条件下可以使用轨道的概念？什么条件下可以使用轨道的概念？如电子在示波管中的运动：如电子在示波管中的运动：例例2 2 给您以启示给您以启示:31宏观现象中宏观现象中可看成经典粒子可看成经典粒子 从而可使用轨道概念从而可使用轨道概念分析分析:由由 h h如例如例2 2所示的电子在示波管中的运动所示的电子在示波管中的运动故这时将电子看做经典粒子故这时将

25、电子看做经典粒子2)2)微观粒子的力学量的不确定性微观粒子的力学量的不确定性 意味着物理量与其不确定量的数量级相意味着物理量与其不确定量的数量级相 同同 即即P P与与 P P量级相同量级相同 r r与与 r r量级相同量级相同 如例如例1 1所示的原子中运动的电子所示的原子中运动的电子讨论讨论33判断电子不是原子核的基本成分判断电子不是原子核的基本成分 (电子不可能稳定在原子核内电子不可能稳定在原子核内)由不确定关系由不确定关系例例3 3 不确定关系在理论上的一个历史作用不确定关系在理论上的一个历史作用分析分析:原子核线度原子核线度这样的动量对应的电子能量有多大？这样的动量对应的电子能量有多

26、大？34 什么样的核可以把它束缚住呢？什么样的核可以把它束缚住呢？目前最稳定核的能量目前最稳定核的能量(最大的能量最大的能量)是是这就是说这就是说 目前还没有能量是目前还没有能量是2020MeVMeV的核的核结论：结论：电子不是原子核的组成部分电子不是原子核的组成部分35 tE /2例例.能级寿命和能级宽度的不确定关系：能级寿命和能级宽度的不确定关系：设原子处于某能级状态的寿命为设原子处于某能级状态的寿命为 ，E /2则测得的该能级能量，必有不确定度则测得的该能级能量，必有不确定度 E，E 称为称为该能级的自然宽度。该能级的自然宽度。满足关系满足关系所以，只有所以，只有基态能级的自然宽度才为零

27、。基态能级的自然宽度才为零。（推导见书（推导见书P35）（在（在 时间内测量能量，它都处于该能级状态）时间内测量能量，它都处于该能级状态）相对论改变了我们的时空观；相对论改变了我们的时空观；量子论告诉我们，不能做绝对确定性的断言，量子论告诉我们，不能做绝对确定性的断言，只能做具有某种可能性的断言。只能做具有某种可能性的断言。三、三、时间与能量的不确定关系时间与能量的不确定关系36 E=6 10-8电子伏，试估算原子处于第一激发态的电子伏，试估算原子处于第一激发态的寿命寿命 t。解解:根据时间与能量的不确定关系，有根据时间与能量的不确定关系，有:例题例题:某原子的第一激发态的能级宽度为某原子的第

28、一激发态的能级宽度为37分析分析:根据时间与能量的不确定关系有根据时间与能量的不确定关系有:思考思考:为什么原子光谱具有一定的自然宽度？为什么原子光谱具有一定的自然宽度？由于电子在任一激发态中都有一定的停留时间由于电子在任一激发态中都有一定的停留时间 t，电电子所处的能级就会有一定的宽度，所以相应的光谱就子所处的能级就会有一定的宽度，所以相应的光谱就具有一定的宽度：具有一定的宽度：E=h=hc/38 不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基不确定关系是建立在波粒二象性基础上的一条基本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波本客观规律，它是波粒二象性的深刻反应，也是对波粒二象性的进一步描述

29、。粒二象性的进一步描述。不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，不确定关系是由物质本身固有的特性所决定的，而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测而不是由于仪器或测量方法的缺陷所造成的。不论测量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确量仪器的精度有多高，我们认识一个物理体系的精确度也要受到限制。度也要受到限制。不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。不确定关系说明经典描述手段对微观粒子不再适用。不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。不确定关系指明了宏观物理与微观物理的分界线。在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，在某个具体问题中，粒子是否可作为经典粒子来处理，起关健作用的是普朗克恒量起关健作用的是普朗克恒量h的大小。的大小。4.4.不确定关系的意义不确定关系的意义