地球流体动力学.ppt

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1、地球物理流体动力学地球物理流体动力学Geophysical Fluid Dynamics南京信息工程大学大气科学学院王 文Geophysical Fluid Dynamics地球物理流体动力学地球物理流体动力学余志豪 杨大升 等参考文献：1J.Pedlosky，地球物理流体动力学导论2A.E.Gill，大气-海洋动力学3S.Friedlander，地球物理流体动力学数学理论导论4刘式适，刘式达，大气动力学5小仓义光，大气动力学原理6杨大升，动力气象学7郭晓岚，大气动力学8J.R.Holton，动力气象学引论9刘式适，刘式达，地球流体力学中的数学问题10巢纪平，厄尔尼诺和南方涛动动力学11朱抱真

2、等，大气和海洋的非线性动力学概论动力气象在流体力学的基础上研究地球大气的运动规律，它与一般的流体力学有所不同，它具有自身的特点，这些特点是由地球大气运动的固有特征决定的。首先，气象上有重要意义的运动具有相当大的尺度，其水平尺度从百公里到数千公里，甚至达到地球半径的大小。对于这些运动，地球的旋转具有重要影响。地球上的物体都受到地球旋转的作用，赤道地区的物体具有量级为400m/s的相对于地球轴的旋转线速度，远大于大气中的典型风速10m/s。同时，地球旋转产生的涡度与大气中典型的大尺度运动产生的涡度相比，也是非常大的。因此，对于气象上具有重要意义的大尺度运动，地球旋转的影响必须考虑。其次，大气受到地

3、球重力场的作用，使大气质量向地表集中，造成大气密度随高度递减。此外，太阳辐射引起的地面非均匀加热，也造成大气密度的显著变化，这种大气密度的不均匀分布，使大气具有层结特征。对于大尺度大气运动，密度向上递减的大气层结，使大气运动几乎总是重力稳定的，其结果是使平行于局地重力方向的运动受到抑制，这就有助于产生准水平的大尺度运动。同时，稳定层结还使大气大尺度运动具有另一重要特性，即运动的水平尺度远大于其垂直尺度，也就是说，大尺度大气运动发生在非常薄的大气层内，对于这种运动，静力近似高度精确成立。第三，大气运动过程中凝结潜热的释放是大气运动的一个重要能量源，造成大气运动的发展，增加大气运动的复杂性。此外，

4、大气的斜压性、准不可压缩性也是大气的重要特性，对大气运动也产生重要影响。第一章 引论在本章中，将对地球物理流体及地球物理流体动力学的内涵作初步的框定，并对它的物理特性及最基本的动力学特征作简单的介绍，其中亦涉及一些准备知识和基础知识。1.1 地球物理流体人类活动赖以生存的地球环境，主要是覆盖在整个地球上的大气圈以及约占地球表面积 70%的海洋。大气和海洋都属流体，它们的运动都应遵循流体力学的一般规律。由于它们各自的特征及种种历史原因，从19世纪开始出现了海洋动力学，到了20世纪初才开始形成大气动力学。对于大尺度海洋和大气运动的长期研究，人们发现这两者的运动规律具有多方面的共同特征。它们都是受热

5、力、重力及地球旋转等三种基本因素支配，在动力学基本特征方面有着很多相同之处。于是本世纪70年代J.Charney(1972)及J.Pedlosky(1979)等人从大尺度运动规律角度出发，把地球大气和海洋概括成“地球物理流体”或“地球流体”这个统一的概念，从此就诞生了“地球物理流体动力学”或“地球流体力学”这门新型的学科。显然，地球流体不同于一般的抽象流体，它具有地球的固有特征，但它又不是具体的大气和海洋，它是大气和海洋从大尺度运动方面得出的共性抽象。所以，具体说来地球流体力学就是在重力场、柯氏力场和加地球流体力学就是在重力场、柯氏力场和加热作用下，旋转层结流体的大尺度动力学，即大气和热作用下

6、，旋转层结流体的大尺度动力学，即大气和海洋大尺度动力学的共性部份。海洋大尺度动力学的共性部份。就大气和海洋这两种流体介质而言，它们的物理特性是有着明显的差异的。例如，大气的流动一般要比海流快100倍。尽管如此，它们的大尺度动力学特征却是有着多方面的共性。例如，第二章将要介绍的大气和海洋的大尺度运动的一阶近似（Ro=10-1）都是地转流，或者它们的流动基本特性都是地转的。因此把两种物理特性不同的流体介质即大气和海洋，概括成统一的地球流体来探索研究，这无论对大气或海洋环流的认识都是一个深刻的发展。可是，在热力性质方面，大气和海洋是不同的。水的比热(cp)比空气大4倍，更由于水的密度比空气大1000

7、倍，因而使得整层大气(单位面积)升高温度1K 所需的热量107J，只能使得25m厚海洋（单位面积）升高温度lK。由此可见，海洋相对于大气而言是一个巨大的热库，海洋潜热是一个很重要的量。在热带地区只要每天蒸发4mm的海水，就足以使得那里的整层大气每天升温1K，这相当于热带地区辐射冷却的量级。海洋相对于大气是一个巨大热库的特征，虽不能构成它们在地球流体力学的共性部分，但却在海-气相互作用、调节大气气候变化等方面 起着重要作用。近年来，年际短期气候变化异常已成为一个热门课题。而人们在寻求和探索解决这个热门课题时，经常把大气和海洋相合起来当作一个完整系统来处理，认为短期气候变化应是海气相互作用的结果。

8、其最突出的表现，就是从动力学角度来研究短期气候变化，或者欲作出短期气候变化的数值预报，都需要依赖海-气耦合的数值模式。而对地球流体力学的研究，无疑对于建立合理的海-气耦合模式，较好地解决短期气候变化问题将会有很多帮助。诚然，地球流体力学的意义和用途远不止于此，而且它自身还正处在蓬勃发展中。1.2 大尺度大气和海洋流动的基本观测事实覆盖整个地球的大气，质量为5.31015吨左右，约占地球总质量百万分之一。由于地心引力的作用，大气质量90%聚集在离地表面15km高度以下的大气层内，99.99%在48km以内。而与人类活动最密切有关的约在812km以下的对流层内。全球海洋总面积约占地表面积的71%，

9、相当于陆地25倍。全球海洋平均深度约为3.8km，总质量为13.71017吨左右。平均说来，按海水的温度或密度可将海洋分成三层：季节变层，即上混合层（050或100m）。表面风混合层、季节性跃层和周日跃层，都出现在这一层中。主跃层(50或1001000m)，是温度、密度和盐度等海洋状态参量具有阶跃变化(例如海水温度垂直变化达到或超过每0.2/m)的水层，有时称作温度跃层、密度跃层和盐度跃层，而密度跃层大体上和温度跃层是一致的。下均匀层(10003700m)，是海洋水层的主体，其中海水的温度近乎均匀状态。此外，大尺度海流可分为表层风漂流和盐热环流(整层海洋)。表层海流水平速度从几个cm/s到30

10、0cm/s，海洋深处的水平流速则在10cm/s以下。铅直流速很小，从几个cm/d到几十个cm/h。所以，表层海流主要是风漂流，尚有小部分盐热流，下均匀层是很微弱的盐热流。地球上的大气和海洋，从根本上讲接受太阳辐射加热，犹如一部“热机”在不息地流动着。由于探测技术和手段的飞跃发展，尤其是卫星探测技术的应用，使人们对全球大气和海洋的运动观测事实有了进一步的认识。从长年平均大气的海平面气压和风场分布可以看出，7月北半球为三大地面气压系统，即太平洋和大西洋的副热带高压，及控制欧亚大陆的南亚热低压；南半球为呈纬向带状系统，即副热带高压带及其四个中心，和中高纬度的西风带。1月北半球欧亚大陆为冷高压所盘据，

11、另有冰岛和阿留申两大低压中心；南半球除澳大利亚和南非出现低压中心外，其他形势类同于7月，基本上仍是纬向型的。从风场上看，主要特征是沿大洋副热带高压南侧常年维持着偏东信风，以及欧亚大陆1月和7月由于高低压中心的更迭所引起的季风环流。海洋表面主要海流的特征与大气底层风场非常一致，基本上为风漂流，沿赤道为向西的南、北两支赤道流，与偏东信风相一致，它们之间夹有赤道回流，还有中高纬度与西风带相一致的向东洋流。在太平洋和大西洋，不论是南半球还是北半球，其海流基本上都与副热带高压大气环流相一致，并且在大洋西部都对应着一支自南向北的强化暖流，如太平洋的黑潮和大西洋的湾流。1.3 流体的密度和状态方程海水的密度

12、要比大气密度大得多。大气密度是随温度、压力和湿度而变，地面大气密度的典型值约1.2 1.3kgm-3，而海水表面的密度是它的800多倍，足见两者相差之巨。海水密度除随温、压变化外，还随海水盐度变化。海水与大气间的巨大密度差意味着海洋质量比大气质量多得多(约270倍)，单位面积大气柱质量近于104kgm-2，以及重力加速度约为10ms-2，所以单位面积整个大气柱(约50km厚)的重量或压力为103hPa=105Pa105Nm-21bar而海洋仅仅只要l0m厚的单位面积水柱就可以具有上述相同的重量和压力。因此，在海洋中每10m就增加lbar的压力，海洋学家常以分巴(dbar)作为海水压力单位，即l

13、dbar=1m厚单位面积海水柱重量。仅管如此，由于海洋和大气密度随深(或高)度变化的共同特征，或者具有层结的共性，因而仍然可将海洋和大气概括成层结流体。表层海水密度最小1.02 gcm-3，海底最大1.07gcm-3，故顶底密度差/5%。而大气底面密度最大1.22510-3g cm-3，大气顶(约50km处)10-6gcm-3，即顶底差/99.9%。其中还由于流体的压缩性依赖于流速与声速之比，当流速低于声速时可当作准无辐散或准不可压缩流体，因此大气流动的压缩性并不比海水显著。在大气中引人虚温后，其密度仅与温度T和压力p有关，海洋密度还依赖盐度s，故地球流体的状态方程，其一般形式为 =(T,p,

14、s)(1.1)对理想气体(如大气)，上述状态方程为 p=RT (1.2)对于海水的状态方程，其理论式较复杂，常取便于应用的经验式。取具有绝热温度递减率和静力平衡的理想海洋作为基本状态，其物理量用下标0表示。用表示这个基本状态的偏差值，则(1.1)式可近似地改写成 (1.3)或 (1.4)其中m为某一个密度值。并且，或 (1.5)式中=1/为比容，称作流体热膨胀系数。在一个大气压及s=3.5%的条件下，海水=80l0-6K-1(T=273K时)，及=31010-6K(T=303K时)。对于理想气体由(1.2)式知=1/T。以及，（1.6）称作流体压缩性系数。海水的约为4.510-5 4.010-

15、3bar-1。对于理想气体，=1/p。显然，（1.7）为流体密度随盐度的改变率，其中盐度公式可取为s=1.80655Cl (1.8)式中Cl称作氯度。盐度的单位为g/103g，即103g海水中含盐的克数。全球海洋平均盐度为34.7。定义实用盐度为盐度的103倍，故全球海洋平均实用盐度为34.7。外海的海水盐度较高，可达3536，近海或河口区域海水盐度低于30。在海洋中为了表示密度，习惯上使用所谓实用密度或现场条件密度，即(1)103 (1.9)于是，海水状态方程亦可简化(1964)为=28.1520.0735T0.00469T2+(0.8020.002T)(s35)(1.10)由此可见温度对密

16、度的影响()要大于盐度的影响(r)。倘若忽略地球流体的某些物理特性，但保留了对多数地球物理问题有意义的流体层结特征，则地球流体的状态方程可视作密度与温度成线性关系，即 (1.11)这显然为较简单的地球流体状态方程。若地球流体为均质的，则=常数。关于海水温度，其表层水温主要取决于太阳辐射，因而低纬度海区水温高，高纬度海区水温低，高低之差可达30。海温一般随深度的增加而降低，在深1km处的水温为45，3km处为12。占大洋总体积75%的海水，温度在06之间，全球海洋平均温度为35。1.4 旋转效应将大尺度海洋和大气的共性概括成地球流体力学，主要在于这两种流体介质在旋转性和层结性等方面具有共同的特征

17、。本节先介绍地球流体的旋转效应，下节再讨论其层结效应。1.柯氏参数f和Rossby数海洋和大气都是在随着地球一同旋转的参考系中被观察其运动的流体，是受旋转影响的流体，称作旋转流体。在小尺度流动中，旋转效应很微弱，几乎是非旋转流体(即惯性流体)。在大尺度流动中，旋转流体跟惯性流体相比，具有本质不同的动力学特征。用来表征旋转效应的参数，有柯氏参数f，Rossby数和参数等。由于在旋转参考系中，运动方程含有反映旋转作用的项，称作柯氏力(Coriolis force)项，即柯氏力项=(f=2sin)(1.12)式中V为流速矢，k为铅直坐标单位矢，为地球转动角速度和为纬度。柯氏参数随纬度的变化率，用表示

18、成 (1.13)式中a为地球半径，y为指向北为正的笛卡氏坐标。在往后贯穿本书的内容中，将会发现地球流体的所有动力学特征都跟参数f、和等有关，受到旋转效应的影响，使得跟惯性流体的动力学特征绝然不同。难怪有人认为：对大尺度海洋和大气运动的研究，一旦包含了参数f等，将可能出现一系列难以捉摸令人吃惊的动力现象。另一个表征旋转作用的重要参数是Rossby数，它可用符号或Ro表示，并定义为 或 （局地）(1.14)式中L和U分别为流动的特征长度和速度。Rossby数具有广泛物理涵义，它至少可表示成如下特征物理量之间的比，即 惯性力(U2/L)/柯氏力(fU)；旋转时间尺度(f-1)/平流时间尺度(L/U)

19、；相对涡度(U/L)/牵连涡度(f)；涡度梯度(U/L2)/牵连涡度梯度(=f/L)；相对速度(U)/牵连速度(fL)；。(1.15)式中任一对相比的特征量，都含有一个反映旋转效应的特征量。它表明了各种动力学特征量与其相应的旋转作用的比较，所以Rossby数是一个表明旋转作用相对重要性及具有多种动力学特征涵义的参量，它不但重要且有广泛的用途。2.地转流作为旋转流体具有跟惯性流体不同的奇突特征，这里举地转流为例以资说明。在惯性流体运动中，例如水总是从高处向低处流动，即流体总是顺着压力梯度力()，从高压侧向低压侧流动的。但是，在大尺度或旋转流体运动中，其Rossby数的量级O()10-1，在旋转流

20、体水平运动方程中若略去O(10-1)以上的量，则得到其一阶近似式为 (1.16)此式表明旋转流体运动基本上（即在一阶近似上）不是沿压力梯度()方向流动的，而是与压力梯度()相垂直沿着等压线流动的，并且顺着流动方向高压保持在右侧(北半球)。或者对于高（低）压中心沿等压线是顺（逆）时针方向流动的。此类流动，称作地转流。地转流动时，水不是从高处向四周流散开去，而是绕着高中心顺时针流动。这对刚开始接触地球流体运动或旋转流体运动的读者而言，乍一看确实令人吃惊和费解！3.旋转刚性和Proudman-Taylor定理Taylor(1921，1922)在盛液容器中，做了著名的Taylor柱实验。他在容器底置一

21、短截固体柱，并使其平移。于是在容器不高于固体柱的高度处观测到了绕圆柱流动。但在固体柱以上的高度处，不复存在绕圆柱流动，观测到的是平直流。当容器旋转后，再重复做相同试验，则不仅在不高于固体柱的高度处观测到绕圆柱流，在固体柱以上的高度处以令人诧异地观测到同样的圆柱绕流，尽管此高度处已不存在固体柱。这是由于旋转以后，短截固体柱平移时，其上部会形成一相应的流体柱，称作Taylor柱，并且该流体柱具有旋转刚性，会跟其下部短截固体柱一齐挺直地移动，结果容器旋转后可观测到高于固体柱的圆柱绕流，这是很奇特的现象。其实早在做Taylor柱实验之前，Proudman(1916)和Taylor(1917)已从理论上

22、证明了在一定条件下，尤其是在强旋转条件下，旋转流体具有二维化的趋势，即流场上下一致使得/z=0。或者在科氏力作用下，旋转流体具有反抗形变的倾向，即存在着克服使流体柱弯曲形变的外力，就象旋转陀螺具有克服使之倾倒的外力，能保持定向旋转一样,这称之谓流体的旋转刚性。因此，Proudman-Taylor定理从理论上预言具有旋转刚性的流体柱的存在。在该定理获证后的几年，Taylor柱的实验无非验证了定理的预言。以下给出定理，并予以简单证明。Proudman-Taylor定理：在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢地运动，其速度在沿的方向上将不改变。或者换一种提法：均质或正压旋转流体，准定常和缓慢地运动

23、，其速度将独立于旋转轴的方向，即运动将趋于两维化。由1.3知，对于准定常缓慢流动，Rossby数O()10-1，相当于强旋转条件，运动是地转的，即 (1.17)式中Vh为水平流速矢。对(1.17)式取旋度运算后，有 (1.18)利用均质或正压条件及 ，上式化简为 (1.19)若矢指向z轴，即=|k，则 Vh/z=0 (1.20)于是定理得证。以上是由地转流动推证Proudman-Taylor定理，而实际上根据定理所给的条件，由地球流体运动方程亦可化简成地转流关系，即(1.17)式，所以这两者是等价的。根据定理的结论式(1.20)，即流场不随高度变化，如在I高度上观测到的是圆柱绕流，则在II高度

24、上必定亦是圆柱绕流。这样由定理解释了Taylor实验，反之也是实验验证了定理。而且，利用 的条件，将(1.18)式改写成 (1.21)这表明斜压流体即 ，定理不成立，流场将随高度变化。这就是热成风关系，或者流场随高度变化的基本原因，是流体的斜压性。4.位势涡度及其守恒律在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性较强的组合物理量，称作位势涡度，且定义为 (1.22)式中 为相对涡度，2 为牵连涡度，为流体密度，为守恒量，经常取作位温。由地球流体的控制方程组(见1.7)，即绝对涡度方程、质量连续方程和热流量方程等，在一定条 件下可导得位势涡度守恒方程为d/dt=0 (1.23)此即是Erte

25、l定理：对旋转、层结流体中的绝热过程，位势涡度守恒。如果流体是不可压缩的且又是绝热过程(流体加热率 )，则位势涡度守恒律改写成 (1.24)倘若过程是非绝热的，即 ，则位势涡度随时间的变化为 (1.25)如运动还受到耗散力F的作用，位势涡度方程为 (1.26)此式乃是地球流体运动时需要遵循的普适方程。地球流体运动的众多动力学基本特征，均是由它的位势涡度守恒律派生出来的。在一定的意义上讲，地球流体动力学可简单地认为是位势涡度守恒动力学，这是旋转效应最根本的反映。1.5 层结效应地球流体除受旋转作用为旋转流体外，它还是具有层结结构的层结流体。最简单的层结流体就是上、下密度为不同常数即上下的两层流体

26、。倘若流体上轻下重(上下)，则两层流体受扰后，将会发生剧烈翻腾，两层流体不能回复到受扰前的状态，这种上重下轻的层结结构称作不稳定层结。实际地球流体中的密度是随高度z连续变化分布的，亦即实际流体是由无数层密度不等的流体层连续分布重叠构成的，显然它的层结稳定与否依赖于密度随高度的分布即d/dz值。而且d/dz自身又可随高度z变化的。因而一般情况下地球流体的各层或各高度上，其层结稳定与否的状态是不同的。同时，判定流体的层结稳定与否，还决定于受扰流体元移动过程中的密度变化。以下将从流体密度分布状况与受扰流体元移动过程的密度变化等两者关系，引入表征流体层结的参数。然后，再介绍流体移动过程中，密度变化的准

27、不可压缩性。1.Brunt-Vaisala 频率通常，要导出层结稳定度的判据，需要引入受扰抬升流体元。当该流体元上升(下沉)时，其密度按一定的规律随高度z变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度z变化的。当上升(下沉)到新高度时，若受扰流体的密度大（小）于环境流体的密度，它就要回复到受扰前原先的位置，则流体是层结稳定或静力稳定的。否则，为不稳定。依此可导出惯用的稳定度判据，即Brant-Vasala频率。如流体元A从z高度出发上升移到z+z新高度，设移动过程足够地慢(例如移速小于局部声速)以使流体元A的压力不断调整到与环境相同的压力，同时又设移动充分地 快到足以忽略位移过程中的热力耗散和加

28、热作用，即绝热地位移到新高度。这意味着位温 (1.27)在位移过程中守恒。由理想气体状态方程(1.2)，上式可写成(1.28)式中=cp/cv是空气定压比热和定容比热之比，它近于1.4。因此在z+z的高度上，流体元A由于绝热位移过程的压力变化而产生的密度改变量为(1.29)在z+z高度上，流体元A的密度值成为(1.30)另一方面，在z高度上流体元A与环境流体相一致，环境流体密度亦是A。在z+z高度，环境流体密度为B按层结分布对A(z)展开，可有(1.31)于是，在z+z处流体元A与环境的密度差为(1.32)与此相应的由重力加速度引起的单位质量流体元所受的作用力大小为(1.33)当d/dz0时，

29、该作用力向下。这是由于流体元A的密度绝热上升减少要小于环境流体按层结分布其密度向上的减少，于是流体元A上升(z0)到新高度要比环境流体重，受到向下的作用力。作用力与位移反向，称作恢复力。反之，流体元下沉(z0时将受到向上的恢复力。因此，流体元在z高度上下作振荡，又称浮力振荡，其频率为(1.34)称作Brunt-Vaisala频率。显然，N或者/z是度量流体层结的一个参数。/z0是层结稳定，/z0)将受到净浮力(Tg0)而产生热对流，盐度减少(s0)，这两者结合起来在海水中可视作盐-热对流或环流。压缩(p0)流体元，将使它受到下沉(pg0)的作用。定义地球流体的标高(scale height)H

30、s为(1.42)由(1.37)式，考虑密度仅仅因压力所引起的变化，即 ，则有(1.43)其中压缩系数为(1.44)上式中c=(p/)1/2=(p/)1/2=300ms-1为大气中声速。因此，(1.45)而海洋和大气的垂直尺度H分别为(1.46)及(1.47)由(1.43)式知，流体标高Hs与压缩性呈反比，Hs越大压缩性越小。所以按照(1.47)式，在一般情况下海洋的压缩性可以不计，而大气的压缩性仍须保留，即(1.37)式化简为(1.48)对于盐度很小的海水及浅层大气(H/Hs1)，上式统一为(1.49)即状态方程中密度的变化主要由温度变化所引起。对于连续方程，即可写成(1.50)取L和U分别为

31、水平尺度和特征速度，于是有如下特征量关系：，和式中为特征时间尺度。因此(1.51)这表明只有当运动速度接近声速时，连续方程中的密度变化才是重要的。对于地球流体大尺度运动，通常都是亚声速流动，故(1.50)式可化简为或(1.52)对于浅层流体，上式可统一成(1.53)这就是不可压缩流体的连续方程。归纳以上分析，一种流体如果在质量守恒方程中可以略去密度个别变化，而在动量守恒方程中，在与重力相联系的项中，又保留密度变化的重力效应，这样的流体称作准不可压缩的。如果质量守恒方程进一步取(1.53)所示的无辐散形式，而与重力相联系的密度变化如(1.49)式所示只考虑热膨胀效应而略去压缩性影响，这种流体称作

32、Boussinesq流体。对于大气，只有对浅层流动才可取Boussinesq流体，所以在大气中Boussinesq假设又可称作浅水假设。而在海洋中，几乎不受浅水近似假设的限制，故Boussinesq流体就是准不可压缩流体。而在大气中，这两种流体是有区别的。下面给出Boussinesq流体的方程组，即上列方程组的最后一个方程乃是热力学方程或热量方程。因为在Boussinesq流体中，如(1.49)式所示只考虑温度(T)对密度()的影响，而不计压力(p)对它的作用，故在热力学方程中加热仅仅引起流体的温度变化。在这里又仅仅考虑流体内部热传输(K)的加热。还须指出，平衡态流体被认为是静止的，所以上列方

33、程组中V=V。1.6 地球流体的动力学等价性前两节介绍了地球流体的旋转特性和层结特性，这是两种截然不同的流体物理特性。但是，在某些条件下这两种物理特性在动力学中所起的作用有可能是等价的。例如，在一定的条件下非旋转的层结流体动力学问题可以等价于旋转均质(无层结)流体的动力学问题。此外，均质流体中，地形作用与作用在一定条件下也可以是等价的。1.旋转与层结间的动力学等价性为什么层结流体中的一些典型性质，可以与旋转流体中的一些现象相等价？这是因为在这两种流体中，分别具有类似的约束作用力。旋转流体中有科氏力，层结流体中有重力。在某些条件下，这种类似性可表现为它们具有相同的数学形式。例如，前述的柯氏力和重

34、力，可分别当作旋转流体和层结流体扰动平衡的恢复力，因而对这两种情况都可以产生波动，其相应的数学形式都为双曲型的。旋转流体与层结流体的这种等价性，首先是由Rayliegh于1916年指出的。考虑近似处理的层结流体，即Boussinesq流体，于是可取上节最后的方程组。如计及粘性(0)，则相应的无量纲线性方程组为(1.53)(1.54)(1.55)上列方程组在进行无量纲化处理时，已取时间尺度为-1，空间尺度L，特征压力LU以及特征温度为U/g。当Boussinesq流体中密度变化只考虑热膨胀效应时，无量纲Brunt-Vaisala频率为以及显然(1.54)式就是运动方程(1.41)计及粘性及净浮力

35、只与温度T有关的线性无量纲形式；(1.55)式为热力学方程。若令平衡温度场T0与重力势gz成正比，于是在无量纲坐标系中有 。考虑非旋转的层结流体，不再有特征速度L，因而需要用密度梯度的特征量对各参数进行尺度分析。这样在方程组(1.53)-(1.55)式中，无柯氏项作用，且化简为(1.53)(1.56)(1.57)式中(1.58)由k(1.56)式，得(1.59)由(1.57)式解出w并代入(1.59)式，有(1.60)再由 (1.56)，并考虑到(1.53)式，得(1.61)于是，将(1.60)对z求偏导数，并利用(1.61)，最后可得(1.62)式中 为水平拉普拉斯算符。(1.62)式是非旋

36、转层结流体中，其压力p所需满足的控制方程。对于旋转均质(无层结)流体，亦可得到类似的流体压力p的控制方程。首先在旋转均质流体中，(1.56)式不含层结影响项Tk，故无需引入热量方程(1.57)式。其次在(1.56)式中应计及旋转所引起的柯氏力项。于是，其控制方程组为(1.53)(1.63)取k(1.63)，得(1.64)其实这就是垂直运动方程。再取k(1.63)，可得垂直涡度方程为(1.65)合并(1.60)和(1.65)两式，得(1.66)对(1.63)式取散度，有(1.67)这就是地转涡度表示式。再将(1.67)代入(1.66)式后,得(1.68)上式是旋转均质流体运动时，压力场p所满足的

37、普遍形式的线性方程。比较非旋层结流体的(1.62)式和旋转均质流体的(1.68)式,可以发现在二维运动(/y=0)中,层结流体和旋转流体于下述两种情况下在动力学上是等价的：在定常、线性运动中；在Prandtl数Pr=1的流动中。在这两种条件下，方程(1.62)与(1.68)是等价的，所不同的是将与旋转有关的参数E/2L2转换成与层结有关的参数R/(gL3/0)1/2，以及x坐标转换成z坐标。在下一章旋转流体的浅水理论中，将会介绍到旋转流体的许多性质都是由位涡方程(1.68)式导出的。所以，可以期望由层结流体方程(1.62)也能导出类似的结果。以下几个例子，表明了旋转和层结在动力学上的等价性。(

38、1)跟Taylor流体柱对应的，层结流体中存在着阻塞(Blocking)现象。(2)层结流体中的内重力波，等价于旋转流体中的惯性波。(3)在二维层结流体中，在x=(0，1)处有Ekman层等价的垂直边界层；在z=(0，1)处有与 Stewartson等价的水平边界层。(4)旋转流体中的旋转加强过程，可等价于层结流体中的热加强过程。(5)两圆柱面间旋转流体的不稳定性导致产生Taylor涡，在层结流体中相等价的现象就是Benard对流。在三维流动问题中，旋转流体与层结流体之间不再具有动力学上的等价性。主要原因是，旋转效应本身使流体趋向于“水平的”二维运动，即旋转使流动两维化。而三维流动不受限制的层

39、结流体作二维运动时并不存在占优势的“水平方向”。因此，本书第五章将仍需介绍旋转层结流体的有关动力学问题。2.地形与作用的动力学等价性在均质流体的浅水理论中，由于流体亦是旋转的，因而存在着柯氏参数f=2sin的作用。倘若完全不考虑地球的球面性，把地球表面近似看成是平面，即假定柯氏参数不随纬度变化而当作一个常数。这样的近似称作f-平面近似。如果部分考虑地球球面性，即把地球表面仍近似当作平面，但又考虑柯氏参数随纬度的变化即=f/y 0，这种近似称作平面近似：f f0+y。在下一章中，将要推得斜底浅水模式中的位涡表示式为(1.69)式中D为静止浅水厚度，是相对于静止水面的扰动高度，hB是底面地形高度及

40、是相对涡度。下一章还要推得相应的浅水Rossby波频率方程为(1.70)式中k为x向波数，K为总波数及R为Rossby形变半径。并且(1.71)因此，f-平面上的地形Rossby波，相当于-平面上等深流体的Rossby波。这就使得用转盘做大气环流模型实验成为可能，只要转盘底面是倾斜的，在动力学上就相当于引入了作用，或者部分地考虑了球面性。其实，从(1.69)式的位涡表示式的右端第二项即(y+fhB/D)可知，-作用与地形(hB0)作用在动力学上是等价的。在浅水理论中，只要从位涡守恒方程出发取得的结论，都具有这种动力学等价性。1.7 基本方程组前已指出大尺度地球流体，将会受到地球旋转的影响。这是

41、由于旋转地球具有如下特征数据：(1.72)因此赤道地区的流体相对于地球转轴的旋转线速度之量级为4104cms-1，此种速度称作牵连线速度。它比之大气中的典型风速大得多(例如，台风最大风速的量级是104cms-1)。同时，由于地球旋转产生的涡度比起海洋和大气中典型的大尺度运动涡度也是非常大的，因而，当水平长度尺度可与地球半径相比时，必须考虑地球旋转的影响。在随地球一起转动的相对坐标系中，当考虑粘性时，由动量守恒定理得到的流体运动方程为 (1.73)式中V为流速矢，为地球角速度矢，p和分别为流体的压力和密度，而=gz为有效重力位势，g是重力加速度。算子 (1.74)在直角坐标中的标量式为 (1.7

42、5)在柱坐标系中的标量形式为 (1.76)在球坐标系中的标量形式为 (1.77)在以上各式中u，v和w分别为速度矢V沿坐标系的分量。为经度，为纬度，如果研究的(运动)现象的厚度远小于地球半径a，则在(1.77)式右端二、三项中的变量r可用常量a近似代替。由质量守恒定理，可得流体的连续方程为 (1.78)如果 (1.79)则称流体为不可压缩的，相应地有 (1.53)即不可压缩流体是三维无辐散的。在另一方面，当温度T、压力p和盐度s为流体的热力学状态函数时，状态方程的一般形式为 (1.80)对理想气体则有 (1.81)式中R为气体常数。当流体为含盐份的海水时，单位质量热力学的吉布斯函数可以推广成

43、(1.82)式中I为内能，为熵，为化学势。当s=0时，它和另外一些通常的热力学函数之间的关系为：自由能 (1.83)内能 (1.84)焓 (1.85)考虑到热力学第一定律 (1.86)式中1/为比容，由此得 (1.87)一些有关的热力学参量与G的关系为 (1.88)这些热力学参量的变化，如熵为 (1.89)这是由于 (1.90)如定义 (1.91)为定压比热，以及 (1.92)再考虑到 (1.93)因此 (1.5)前已指出这是流体的热膨胀系数，并且对于理想气体=1/T。类似地有关系式 (1.4)(1.94)式中 (1.95)前已指出是流体压缩性系数，并且对理想气体=1/p，注意到(1.88)式

44、后，有 (1.96)另外 (1.97)称作绝热声速，容易求得 (1.98)式中是流体绝热压缩性系数，T=是(等温)压缩性系数，并且 (1.99)式中定容比热cv定义为 (1.100)可以推得 (1.101)取理想气体时 (1.102)对于等熵过程，或可逆绝热过程有 (1.103)如盐度亦守恒，即 (1.104)于是绝热方程(1.89)式化简为 (1.105)考虑到 (1.106)绝热方程也可以写成另一种形式 (1.107)这样，对于绝热过程的地球流体运动，由(1.73)，(1.78)，(1.80)，(1.105)或(1.107)以及(1.104)式组成了对变量V、p、T和s的闭合方程组。如取L，-1和U分别为地球流体运动的特征长度、特征时间和特征相对速度，则相应的特征压力为UL，于是(1.73)式可写成无量纲形式为 (1.73)式中和E如前所述，分别为Rossby数和Ekman数，即在许多地球流体运动问题中，特征无量纲数和E都很小。小Rossby数表示流体几乎与地球一起作刚性旋转，其偏差不大，且科氏力在大部分区域远比非线性项重要。因此，本书大部分内容就是以此构成了准地转动力学框架。小Ekman数则意味着柯氏力比粘性力大得多，后者一般可略去不计。除非在本书第三章，主要讨论刚壁附近以及大气与海洋界面附近的边界层内,在那里Ekman数不是很小，需要考虑流体的粘性。