多元函数取得极值的条.ppt

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1、必要条件必要条件若若函函数数f(x,y)在在点点P(x0,y0)存存在在两两个个偏偏导导数数，且且 P(x0,y0)是函数是函数f(x,y)的极值点，则的极值点，则驻点驻点充分条件充分条件若函数若函数z=f(x,y)在点在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一的某邻域内连续且存在一阶及二阶偏导数，又阶及二阶偏导数，又令令则则时具有极值，且当时具有极值，且当A0时有极小值。时有极小值。0），），x是否是局部最优解与这些非起作是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。用约束无关。序列序列可行可行方向：方向：序列可行方向的性质序列可行方向的性质设设ci(x)在在x处可微，处可微，则则证明证明性性质质

2、1同样可证性质同样可证性质2设设fi(x)在在x*处可微，且取得局部极小值，则处可微，且取得局部极小值，则必要条件必要条件说明说明Lagrane函数函数KT条件等条件等价于价于i称为称为Lagrange乘子乘子Lagrange乘子法乘子法x*称为称为KT点点一阶条件一阶条件证明证明首先证明集合非空首先证明集合非空由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解考察方程组考察方程组是是SFD(x*,X)的子集的子集而而SFD(x*,X)是闭集，所以是闭集，所以S*的闭包的闭包cl(S*)SFD(x*,X)，即，即下面下面证明证明

3、下面证明下面证明dcl(S*)于是于是所以所以定理得证定理得证一阶充分条件一阶充分条件证明证明二阶条件二阶条件线性化零约束方向集线性化零约束方向集设设x*是是KT点，点，是相应的是相应的Lagrange乘子，乘子，dRn。如果。如果则称则称d是在是在x*处的线性化零约束方向。在处的线性化零约束方向。在x*处的所有线性化零约束处的所有线性化零约束方向的集合记为方向的集合记为G(x*,)序列零约束方向集序列零约束方向集设设x*是是KT点，点，是相应的是相应的Lagrange乘子。如果存在序列乘子。如果存在序列dkRn和和k0(k=1,2,)使得使得则称则称d是在是在x*处的序列零约束方向。在处的序

4、列零约束方向。在x*处的所有序列零约束方向处的所有序列零约束方向的集合记为的集合记为S(x*,)。可证可证S(x*,)G(x*,)二阶必要条件二阶必要条件设设x*是问题（是问题（1）的局部极小点，）的局部极小点，是相应的是相应的Lagrange乘子。则必有乘子。则必有证明证明则存在序列则存在序列dkRn和和k0(k=1,2,)使得使得因此因此由于由于x*是问题（是问题（1）的局部极小点，对充分大的）的局部极小点，对充分大的k有有充分条件充分条件设设x*是是KT点，点，是相应的是相应的Lagrange乘子。如果乘子。如果则则x*是问题（是问题（1）的局部严格极小点。）的局部严格极小点。证明证明定理成立定理成立推论推论设设x*是是KT点，点，是相应的是相应的Lagrange乘子。如果乘子。如果解解 作辅助函数作辅助函数 得唯一解得唯一解 KT点点x*=(0,0,1)和和Lagrange乘子乘子=2注注