大学普通物理课件第4章-功和能.ppt

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1、第四章第四章 功功 和和 能能Work and Energy本章主要内容本章主要内容 4-14-14-14-1 功功 4-24-24-24-2 动能定理动能定理 4-34-34-34-3 势能势能 4-44-44-44-4 引力势能引力势能 4-54-54-54-5 由势能求保守力由势能求保守力 4-64-64-64-6 机械能守恒定律机械能守恒定律 4-74-74-74-7 守恒定律的意义守恒定律的意义 4-84-84-84-8 碰撞碰撞*4-94-94-94-9 两体问题两体问题*4-14-14-14-10 0 0 0 流体的稳定流动流体的稳定流动*4-14-14-14-11 1 1 1

2、伯努力方程伯努力方程第四章第四章 功和能功和能质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会改变；如果质点有空间位置的变化，则力对位移量会改变；如果质点有空间位置的变化，则力对位移的累积（的累积（功功功功）会使质点的能量（）会使质点的能量（动能和势能动能和势能动能和势能动能和势能）发生变）发生变化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。与机械运动相联系的能量守恒定律（与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定机械能守恒定机械能守恒定机械能守恒定律律律律），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。）

3、，是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。第四章 功和能4-1 4-1 功功Work功功功功力在位移方向上的分量与位移大小的乘积力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。1.1.功的定义功的定义设质点受力为设质点受力为 ，它的空间位置发生一无限小的位移，它的空间位置发生一无限小的位移位移元位移元 ，则该力做功，则该力做功 表示为表示为 注意注意：功是一个：功是一个标量标量。有正有负：有正有负：当当 时，时，；当当 时，时，。质点沿曲线质点沿曲线 从从 到到 ，整个路径整个路径上的上的功为元功之和：功为元功之和：元功元功元功元功线积分线积分4-1 功结论结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。

4、合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力的功：的功：3.3.合力的功合力的功2.2.特例：特例：质点沿直线运动，受到的恒力质点沿直线运动，受到的恒力F与速度方向成与速度方向成 角，角，力力F做的功：做的功：功的单位：功的单位：J(Nm)4-1 功4.4.保守力与非保守力保守力与非保守力（1 1）重力重力重力重力做功做功 一滑雪运动员质量为一滑雪运动员质量为m，沿滑，沿滑雪道从雪道从A点滑到点滑到B点的过程中，重力点的过程中，重力对他做了多少功？对他做了多少功？AhhABhB结论结论结论结论：重力的功

5、与质点运动的路径无关，只决定于质点重力的功与质点运动的路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置（以高度表示）。初、终态的相对位置（以高度表示）。（2 2）弹簧的）弹簧的弹性力弹性力弹性力弹性力做功做功考虑一劲度系数为考虑一劲度系数为k 的的弹簧系着弹簧系着一质点一质点 m，弹簧一端固定于，弹簧一端固定于O点，弹点，弹性力性力 的功：的功：为弹簧的伸长量为弹簧的伸长量结论结论结论结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）（决定了弹簧伸长量）。4-3 保守力（3 3）摩擦力摩擦力摩擦

6、力摩擦力的功的功 设在水平面上质点分别沿两条不设在水平面上质点分别沿两条不同的路径半圆同的路径半圆 和直径和直径 由由 a 运运动到动到 b，则滑动摩擦力做了多少功？，则滑动摩擦力做了多少功？ab路径路径 ：路径为半圆路径为半圆 ：结论结论结论结论：摩擦力对质点做的功不仅与质点的始末位置有关，：摩擦力对质点做的功不仅与质点的始末位置有关，而且与路径有关。而且与路径有关。（4 4）保守力和非保守力）保守力和非保守力 做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置，具有这种性质的力称为态的相对位置，具有这种性质的力称为保守力，保守力，保

7、守力，保守力，如重力和如重力和如重力和如重力和弹力弹力弹力弹力。反之，做功与相对路径有关的力称为反之，做功与相对路径有关的力称为非保守力非保守力非保守力非保守力，如，如摩擦力。摩擦力。与之等价的另一种定义与之等价的另一种定义：当物体沿闭合路径运动一周时，作用在它上面的力做功当物体沿闭合路径运动一周时，作用在它上面的力做功为零，则该力就是保守力。为零，则该力就是保守力。4-3 保守力4-2 4-2 动能定理动能定理Theorem of Kinetic Energy力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？力对空间的积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？引入引入动能动能动能动能 E Ek k

8、：考虑合外力的功：考虑合外力的功：即即过程量过程量状态量状态量 在在B点的取值点的取值状态量状态量 在在A点的取值点的取值动能定理动能定理动能定理动能定理：合外力合外力合外力合外力对质点对质点所做的功等于质点动能的增量。所做的功等于质点动能的增量。功是能量传递或转化的量度。功是能量传递或转化的量度。1.1.质点的动能定理质点的动能定理4-2 动能定理考虑两个质点构成的质点系：考虑两个质点构成的质点系：即即2.2.质点系的动能定理质点系的动能定理对对m1质点质点：对对m2质点质点：相加，得相加，得可推广到多质点的质点系。可推广到多质点的质点系。定理定理定理定理：质点系：质点系外力功和内力功的总和

9、等于总动能的增量。外力功和内力功的总和等于总动能的增量。4-2 动能定理注意：注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理：（积分形式）（积分形式）微分形式：微分形式：或或 例例1 一个质量为一个质量为 m 珠子系在线的一端，线的另一端绑珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为在墙上的钉子上，线长为 l。先拉动珠子使线保持水平静止，先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落。求线摆致然后松手使珠子下落。求线摆致 角时这个珠子的速率。角时这个珠子的速率。（利用

10、动能定理求解）（利用动能定理求解）解：根据动能定理：解：根据动能定理：4-3 4-3 势能势能Potential Energy1.1.势能势能引入引入势能势能的概念：质点系从状态的概念：质点系从状态A(初态初态)变为状态变为状态B(末态末态)，保守力做功等于保守力做功等于势能势能势能势能增量的负值。增量的负值。4-4 引力势能与弹性势能说明：保守力做正功，质点系势能减小；反之亦然。说明：保守力做正功，质点系势能减小；反之亦然。上上一一关关系系式式只只定定义义了了势势能能差差，要要具具体体确确定定质质点点系系的的势势能能，必须选定某一状态为势能零点。必须选定某一状态为势能零点。若选状态若选状态B

11、 B为零势能点，则为零势能点，则状态状态A的势能为：的势能为：即质点系在状态即质点系在状态A势能的量值，等于系统由状态势能的量值，等于系统由状态A变为状态变为状态B(势能零点势能零点)的过程中，保守内力做的功。的过程中，保守内力做的功。势能是相对的，势能差是绝对的。势能是相对的，势能差是绝对的。势能是相对的，势能差是绝对的。势能是相对的，势能差是绝对的。即：即：*1)一般选零势能点为弹簧处于原长一般选零势能点为弹簧处于原长(即伸长量为即伸长量为0)的状态，则伸长量为的状态，则伸长量为 s sA A 的的 弹簧的弹性势能为弹簧的弹性势能为：不同的保守力引入的势能也不同。不同的保守力引入的势能也不

12、同。重力势能重力势能重力势能重力势能：势能属于有保守力相互作用的势能属于有保守力相互作用的质点系质点系质点系质点系。说明：说明：弹性势能弹性势能弹性势能弹性势能：*对于重力势能，一般选地面为对于重力势能，一般选地面为零势能点，零势能点，h为距离零势能点的高度。为距离零势能点的高度。*2)如果以伸长量为如果以伸长量为 sB 为弹性势能零点，则任伸长量为为弹性势能零点，则任伸长量为 s sA A的弹簧的弹性势能为：的弹簧的弹性势能为：4-4 引力势能与弹性势能 例例1 1 设平衡时弹簧以有一伸长量设平衡时弹簧以有一伸长量 。若以物体的平衡位置为。若以物体的平衡位置为x x轴的原点，轴的原点，且平衡

13、点处为弹性势能和重力势能的零点。讨论物体位置为且平衡点处为弹性势能和重力势能的零点。讨论物体位置为x x时，弹性势能时，弹性势能和重力势能之和是多少？和重力势能之和是多少？平衡点平衡点自然长自然长解：在平衡点位置有：解：在平衡点位置有：当物体再下降一端距离当物体再下降一端距离x时，以时，以o点为点为弹性势能零点，则此时的弹性势能为弹性势能零点，则此时的弹性势能为同样以同样以o点为重力势能零点，则此时的重力势能为：点为重力势能零点，则此时的重力势能为：此时的势能为弹性势能和重力势能之和：此时的势能为弹性势能和重力势能之和：例例2 一劲度系数为一劲度系数为k的轻弹簧竖直静止在桌面上。的轻弹簧竖直静

14、止在桌面上。今在其上端轻轻地放置一质量为今在其上端轻轻地放置一质量为m的砝码后松手。的砝码后松手。（1）求此后砝码下降的最大距离）求此后砝码下降的最大距离ymax。（2）求砝码下降）求砝码下降ymax/2 时的速度时的速度v。解解 (1)(1)下降过程中重力做的功为下降过程中重力做的功为对砝码用动能定理，有对砝码用动能定理，有又又所以所以，解得，解得，(2)课课后后练练习习以地面为势能零点以地面为势能零点弹力做的功为弹力做的功为（以弹簧原长为势能零点）（以弹簧原长为势能零点）4-4 4-4 引力势能引力势能Gravitational Potential Energy考虑有两个质点考虑有两个质点

15、m1 1和和m2 2的质点系。的质点系。以以m1 1所在处为原点，当所在处为原点，当m2由由A点移动到点移动到B B点时，万有引力做的功为：点时，万有引力做的功为：结论：结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置。质点初、终态的相对位置。万有引力为保守力。万有引力为保守力。1.1.万有引力万有引力是保守力是保守力4-3 保守力 势能零点具有相对意义。势能零点具有相对意义。对于万有引力定义对于万有引力定义引力势能引力势能引力势能引力势能为为：2.2.引力势能引力势能 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线：当：当 时，时，。

16、即，当两质点相。即，当两质点相 距无穷远时，势能为距无穷远时，势能为零零。一般引力势能的零点取质点相距无穷远，一般引力势能的零点取质点相距无穷远，4-4 引力势能与弹性势能重力势能重力势能重力势能重力势能是在地球表是在地球表面小区域内的引力势能：面小区域内的引力势能：RE h3.3.重力势能和引力势能的关系重力势能和引力势能的关系注意：重力势能和引力势能的势能零点在选取上是不同的。注意：重力势能和引力势能的势能零点在选取上是不同的。4-4 引力势能与弹性势能 例例 一颗质量为一颗质量为m的陨石从天外（可认为距离地球无限远）的陨石从天外（可认为距离地球无限远）落到地球上，它和地球间的引力做功为多

17、少？落到地球上，它和地球间的引力做功为多少？解解结论：结论：运用势能公式求保守力的功运用势能公式求保守力的功，可以不用沿路径积分，可以不用沿路径积分，简化了计算。简化了计算。例例2：已知地球的半径为已知地球的半径为R，质量为，质量为M。现有一个质量为。现有一个质量为m的的物体，在离地面高度为物体，在离地面高度为2R处。以地球和物体为系统，若取地处。以地球和物体为系统，若取地面为零势能点，则系统的引力势能为（面为零势能点，则系统的引力势能为（）；若取无穷）；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为（远处为势能零点，则系统的引力势能为（）。）。提示：（以r0处为系统势能零点）4-5 4-5 由势

18、能求保守力由势能求保守力How to Find a Conservative Force from Potential Energy保守力保守力势势 能能积分积分微分微分保守力及其势能都是空间分布的函数保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数）（力场，势函数）AB式中式中 为力为力 F 在在 l 方向的分量。方向的分量。即即：保守力沿某一给定的保守力沿某一给定的 方向的分量方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿等于与此保守力相应的势能函数沿 方向的空间变化率的负值。方向的空间变化率的负值。4-5 由势能求保守力保守力等于相联系的势能的保守力等于相联系的势能的梯度梯度的负值，即的负值，即

19、梯度算符梯度算符“grad”：一般，一般，Ep 是位置坐标是位置坐标(x,y,z)函数。函数。上式中的上式中的 方向可以取方向可以取 x,y 和和 z 轴的轴的方向，从而得到保守力的分量为：方向，从而得到保守力的分量为：4-5 由势能求保守力例：万有引力势能函数为：例：万有引力势能函数为：则万有引力为：则万有引力为：4-6 4-6 机械能守恒定律机械能守恒定律Law of Conservation of Mechanical Energy 引入引入机械能机械能机械能机械能：考虑质点系的动能定理：考虑质点系的动能定理：内力内力保守力保守力非保守力非保守力质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和

20、质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和等于机械能的增量。等于机械能的增量。4-6 机械能守恒定律说明说明：机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系惯性系中适用。中适用。如果如果 ，则，则 常量。常量。机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，在只有保守性内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。质点系的机械能保持不变。能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经在封闭系统中，无论其内部经历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持

21、不变。机械能守恒定律是普遍的机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律能量守恒定律在机械运动在机械运动中的特例。中的特例。机械能机械能 其他形式的能量其他形式的能量守恒守恒4-6 机械能守恒定律 例例 求第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。求第一宇宙速度、第二宇宙速度和第三宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度物体能够绕地球运行的最小发射速度；物体能够绕地球运行的最小发射速度；第二宇宙速度第二宇宙速度物体脱离地球引力的最小发射速度；物体脱离地球引力的最小发射速度；第三宇宙速度第三宇宙速度物体脱离太阳系的最小发射速度。物体脱离太阳系的最小发射速度。解：（解：（1 1）第一宇宙速度）第一宇宙速度设物体绕

22、地球以半径设物体绕地球以半径 r 做圆周运动做圆周运动。时，时，有最小值有最小值（3 3）第三宇宙速度）第三宇宙速度 使物体使物体脱离太阳系所需的最小发射速率脱离太阳系所需的最小发射速率 。（2 2）第二宇宙速度第二宇宙速度地球和物体构成一个保守系统。物体离开地球飞去时，地球和物体构成一个保守系统。物体离开地球飞去时，无外力做功。系统的机械能守恒。无外力做功。系统的机械能守恒。V2 要为最小值，则要为最小值，则例例例例2 2：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了：用一个轻弹簧把一个金

23、属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了 。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘h h30cm30cm处处处处由静止下落到盘上，求此盘向下运动的最大距离由静止下落到盘上，求此盘向下运动的最大距离由静止下落到盘上，求此盘向下运动的最大距离由静止下落到盘上，求此盘向下运动的最大距离解：解：解：解：1 1）球自由下落过程，落到盘上的速度）球自由下落过程，落到盘上的速度）球自由下落过程，落到盘上的速度）球自由下落过程，落到盘上的速度 为：为：为：为：2 2）球和盘发生碰撞。此过程动量守恒（因为内力）球和盘发生碰撞。此

24、过程动量守恒（因为内力）球和盘发生碰撞。此过程动量守恒（因为内力）球和盘发生碰撞。此过程动量守恒（因为内力 远远大于它们受到的重力和拉力）远远大于它们受到的重力和拉力）远远大于它们受到的重力和拉力）远远大于它们受到的重力和拉力）3 3）球和盘共同以速度）球和盘共同以速度）球和盘共同以速度）球和盘共同以速度V V下降。此过程机械能守恒下降。此过程机械能守恒下降。此过程机械能守恒下降。此过程机械能守恒（以弹簧，小球，盘和地球为一封闭的保守系统）（以弹簧，小球，盘和地球为一封闭的保守系统）（以弹簧，小球，盘和地球为一封闭的保守系统）（以弹簧，小球，盘和地球为一封闭的保守系统）最初有：最初有：最初有：

25、最初有：（取正解）（取正解）（取正解）（取正解）1）劲度系数为）劲度系数为k的轻弹簧在质量为的轻弹簧在质量为m的木块和外力作用下，处的木块和外力作用下，处于被压缩状态，其压缩量为于被压缩状态，其压缩量为x，当撤去外力后弹簧被释放，木块，当撤去外力后弹簧被释放，木块沿光滑斜面弹出，最后落到地面上沿光滑斜面弹出，最后落到地面上 A)在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒D)木块落地点的水平距离随木块落地点的水平距离随 的不同而的不同而 异，异，越大，越大，落地点越远。落地点越远。C)木块落地时的速度木块落地时的速度v满足满足B)木块到达最高点时，满足木块到

26、达最高点时，满足补充题：补充题：4-7 4-7 守恒定律与对称性守恒定律与对称性Laws of Conservationand Symmetries其他守恒量与对称性：其他守恒量与对称性：动量动量动量动量角动量角动量角动量角动量能量能量能量能量守恒量守恒量对称性对称性时空性质时空性质空间平移空间平移空间平移空间平移空间转动空间转动空间转动空间转动时间平移时间平移时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性时间均匀性时间均匀性宇称宇称宇称宇称守恒守恒守恒守恒 空间反演对称性空间反演对称性空间反演对称性空间反演对称性4

27、-7 守恒定律与对称性4-8 4-8 碰碰 撞撞Collisions 碰撞的特点碰撞的特点物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。碰撞中总动量和总机械能碰撞中总动量和总机械能特点特点特点特点：持续时间短、作用力大持续时间短、作用力大 物体运动状态变化明显物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）（有动量、能量传递）动量动量 不变不变，动量守恒动量守恒。减少减少（形变部分恢复）（形变部分恢复）非弹性碰撞非弹性碰撞不变不变（形变完全恢复）（形变完全恢复）弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞弹性碰撞减少最严重减少最严重（形变无恢复）（形变无恢复）完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞机械能机械能4-8 碰撞 碰撞问题的求解碰撞问题的求解设有两个质点发生碰撞。设有两个质点发生碰撞。碰撞前动量为碰撞前动量为 ，碰撞后动量为碰撞后动量为 ，例：完全非弹性碰撞（三维）：例：完全非弹性碰撞（三维）：弹性碰撞弹性碰撞 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 （形变无恢复）（形变无恢复）4-8 碰撞讨论：讨论：设设 例：完全弹性碰撞（一维）：例：完全弹性碰撞（一维）：4-8 碰撞本章结束本章结束The End of This Chapter