基本立体及其表面交线的投影.ppt

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1、第三章基本立体及其表面交线的投影 本章主要学习、本章主要学习、理解立体的投理解立体的投影图，能够绘制立体的投影及表面影图，能够绘制立体的投影及表面交线交线。第三章第三章 基本立体及其表面交线的投影基本立体及其表面交线的投影第三章基本立体及其表面交线的投影本章学习目的本章学习目的1.掌握平面立体和曲面立体的投影。掌握平面立体和曲面立体的投影。2.掌握立体表面上的点和线的投影及作图。掌握立体表面上的点和线的投影及作图。3.掌握平面立体的截交线。掌握平面立体的截交线。4.掌握回转体的截交线。掌握回转体的截交线。5.掌握回转体的相贯线。掌握回转体的相贯线。6.掌握相贯线的特殊情况。掌握相贯线的特殊情况

2、。第三章基本立体及其表面交线的投影3.1 平面立体的投影平面立体的投影3.4 回转体的截交线回转体的截交线3.5 回转体的相贯线回转体的相贯线3.2 曲面立体的投影曲面立体的投影3.3 平面立体的截交线平面立体的截交线第三章基本立体及其表面交线的投影概述概述基本立体平面立体平面立体 曲面立体曲面立体棱柱体棱锥体圆柱体圆锥体圆环体圆球体物体的组成物体的组成基本立体基本立体表面表面线线点点第三章基本立体及其表面交线的投影 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环圆环平面平面+平面平面曲面曲面+平面平面曲面曲面+曲面曲面第三章基本立体及

3、其表面交线的投影围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。围成立体的各类表面相交形成不同的表面交线。2)相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。相贯线：立体与立体表面相交所形成的交线。立体表面上的交线可分为两大类：立体表面上的交线可分为两大类：1)截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；截交线：平面与立体表面相交后形成的交线；规定规定：可见可见的轮廓线画的轮廓线画粗实粗实线，线，不可见不可见的轮廓线画的轮廓线画细虚细虚线。线。第三章基本立体及其表面交线的投影3.1 平面立体的投影平面立体的投影 平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合-由由直线段组成的直

4、线段组成的封闭图形封闭图形。平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线。棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体基本知识：平面立体基本知识：棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。第三章基本立体及其表面交线的投影一、棱柱的投影一、棱柱的投影 将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到将三棱柱分别向三个投影面作正投射，得到H、V、W三三个投影。个投影。再按规定方向，将再按规定方向，将H、W面展开到与面展开到与V面重合的位面重合的位置上，便得三棱柱的三个投影图。置上，便得三棱柱的三个投影图

5、。XZOYWYHacba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()后后后后前前前前上上上上下下下下上上上上下下下下左左左左 右右右右左左左左 右右右右左左左左 右右右右第三章基本立体及其表面交线的投影三个投影图之间存在着下列投影规律：三个投影图之间存在着下列投影规律：1)投影图之间的度量关系投影图之间的度量关系 V投影与投影与H投影沿投影沿OX轴方向的坐标相等；轴方向的坐标相等；V投影与投影与W投影沿投影沿OZ轴方向的坐标相等；轴方向的坐标相等；H投影与投影与W投影沿投影沿OY轴方向的坐标相等。轴方向的坐标相等。XZOYWYHacba1b1c1()acba1b1c1c

6、 c1()a a1()b b1()后后后后前前前前上上上上下下下下上上上上下下下下左左左左 右右右右左左左左 右右右右左左左左 右右右右第三章基本立体及其表面交线的投影2)投影图之间的位置关系投影图之间的位置关系 H投影反映物体前、后和左、右的位置关系；投影反映物体前、后和左、右的位置关系；V投影反映物体上、下和左、右的位置关系；投影反映物体上、下和左、右的位置关系；W投影反映物体上、下和前、后的位置关系。投影反映物体上、下和前、后的位置关系。投影规律适用于所有物体的投影XZOYWYHacba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()后后后后前前前前上上上上下下下下上

7、上上上下下下下左左左左 右右右右左左左左 右右右右左左左左 右右右右第三章基本立体及其表面交线的投影平面立体投影的可见性判别：平面立体投影的可见性判别：1)外形轮廓线都是可见的。外形轮廓线都是可见的。XZOYWYHacba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()2)外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。外形轮廓线内的相交直线，可利用重影点来判别可见性。3)若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均若外形轮廓线内的多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均 可见，否则均不可见。可见，否则均不可见。4)若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为

8、可见。若外形轮廓线内的两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。两不可见表面的交线为不可见。第三章基本立体及其表面交线的投影acba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()XZOYWYH 由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距离由于物体投影图的形状和大小，与物体对投影面的距离无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，通常无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，通常去掉投影去掉投影轴轴。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。但它们之间的投影关系，仍应严格遵守。第三章基本立体及其表面交线的投影acba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1(

9、)b b1()例例1.在三棱柱表面上有点在三棱柱表面上有点K，已知点，已知点K的的V投影投影k，求作它，求作它的另外两投影的另外两投影k、k。分析：分析：1）由于点由于点K的的V投影投影k是可见的，所以点是可见的，所以点K位于侧表面位于侧表面AA1BB1上；上；HVWkABCA1B1C12）侧表面侧表面AA1BB1是铅垂面，其是铅垂面，其H投影积聚为直线段，所以点投影积聚为直线段，所以点K的的H投影投影k 必在该直线段上；必在该直线段上；aa1bb1kK第三章基本立体及其表面交线的投影例例1.在三棱柱表面上有点在三棱柱表面上有点K，已知点，已知点K的的V投影投影k，求作，求作它的另外两投影它的

10、另外两投影k、k。acba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()分析：分析：3）根据点的投影规律，先求出点根据点的投影规律，先求出点K的的H投影投影k，然后由，然后由k、k求出求出其其W投影投影k；4）因侧表面因侧表面AA1BB1的的W投影为可见，故投影为可见，故k也为可见。也为可见。kABCA1B1C1aa1bb1kkY2Y2kHVWK第三章基本立体及其表面交线的投影acba1b1c1()acba1b1c1c c1()a a1()b b1()例例2 在三棱柱表面上有点在三棱柱表面上有点M，已知点，已知点M 的的H 投影投影m，求作，求作它的另外两投影它的另外两投

11、影m、m。分析：分析：1）由于点由于点M的的H投影投影m是可见的，所以点是可见的，所以点M位于顶面位于顶面ABC内；内；HVWmABCA1B1C12）顶面顶面ABC为水平面，其为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，投影均积聚为直线段，Mabcacbmm可由点可由点M的的H投影投影m，利用点的投影规律，求出其，利用点的投影规律，求出其V、W投影投影m、m。mY3Y3m第三章基本立体及其表面交线的投影二、棱锥二、棱锥特点：棱锥各棱相交于锥顶。特点：棱锥各棱相交于锥顶。babacbcss（）abcsHVWABCScabcsabcs分析：分析：侧表面侧表面SAB及及SBC为一般位置平面，侧表面为一般位

12、置平面，侧表面SAC为侧垂面，底面为侧垂面，底面ABC为水平面；三条棱线中为水平面；三条棱线中SA和和SC为一为一般位置直线，而般位置直线，而SB为侧平线。为侧平线。第三章基本立体及其表面交线的投影babacbcss（）abcs例例3.在三棱锥表面上有点在三棱锥表面上有点N，已知点，已知点N 的的H 投影投影n，求作，求作它的另外两投影它的另外两投影n、n。分析：分析：1）由于点由于点N的的H投影投影n是不可见的，所以点是不可见的，所以点N位于底面位于底面ABC内；内；2）底面）底面ABC为水平面，其为水平面，其V、W投影均积聚为直线段，投影均积聚为直线段，可由点可由点N的的H投影投影n，利用

13、点的投影规律，求出其，利用点的投影规律，求出其V、W投影投影n、n。(n)nYnYHVWABCScabcsabcsN第三章基本立体及其表面交线的投影dbabacbcss（）abcsHVWABCScabcsabcs例例4.在三棱锥表面上有点在三棱锥表面上有点K，已知点，已知点K 的的V 投影投影k，求作，求作K的另外两投影的另外两投影k、k。分析：分析：1）由于点由于点K的的V投影投影k为可见，所以点为可见，所以点K在一般位置平面在一般位置平面SAB内；内；2）过点过点K作辅助直线作辅助直线SD，其，其V投影投影sd必通过必通过k；求出辅助线求出辅助线SD的的H、W投影投影sd、sd，则点，则点

14、的的H、W投影投影k、k必在必在sd、sd上。上。YYKDddYkYkkkk辅助线法辅助线法1第三章基本立体及其表面交线的投影babacbcss（）abcsHVWABCScabcsabcs例例4 在三棱锥表面上有点在三棱锥表面上有点K，已知点，已知点K 的的V 投影投影k，求作，求作K的另外两投影的另外两投影k、k。KYkYkkk辅助线法辅助线法22)求出求出EF的的H、W投影投影ef、ef，则点，则点K的的H、W投影投影k、k必在必在ef、ef上。上。1)通过点通过点K作水平辅助线作水平辅助线EFAB，则，则ef通过通过k且且ab；efefkEF第三章基本立体及其表面交线的投影3.2 曲面立

15、体的投影曲面立体的投影本节介绍常见的回转曲面立体，简称本节介绍常见的回转曲面立体，简称回转体回转体。回转曲面回转曲面由由母线母线绕定轴线作回转运动生成。绕定轴线作回转运动生成。直母线直母线直线回转面直线回转面圆柱面、圆锥面圆柱面、圆锥面曲母线曲母线曲线回转面曲线回转面圆球面、圆环面圆球面、圆环面 轴线轴线母线母线素线素线 母线在任何一个母线在任何一个母线在任何一个母线在任何一个位置称为素线，素位置称为素线，素位置称为素线，素位置称为素线，素线有无穷多条，而线有无穷多条，而线有无穷多条，而线有无穷多条，而母线只有一条。母线只有一条。母线只有一条。母线只有一条。第三章基本立体及其表面交线的投影一、

16、圆柱一、圆柱1.圆柱的投影圆柱的投影(1)圆柱体表面的组成：圆柱面圆柱体表面的组成：圆柱面+上底面上底面+下底面。下底面。(2)圆柱面的形成：可看成是由一条直母线圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它平，绕与它平行的轴线行的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。AA1OO1上底面上底面下底面下底面圆柱面圆柱面圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。第三章基本立体及其表面交线的投影HVW一、圆柱一、圆柱1.圆柱的投影圆柱的投影(1)圆柱的组成：圆柱面圆柱的组成：圆柱面+上底面上底面+下底

17、面。下底面。(2)圆柱面的形成：可看成是由一条直母线圆柱面的形成：可看成是由一条直母线AA1，绕与它平，绕与它平行的轴线行的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。如一圆柱直立，则：如一圆柱直立，则：1)上、下底面是水平面，在上、下底面是水平面，在H面上面上投影反映底的实形；投影反映底的实形；在在V、W上投影积聚为一直线；上投影积聚为一直线；2)圆柱的轴线垂直于圆柱的轴线垂直于H面，圆柱面面，圆柱面在在H面上投影积聚为圆周；面上投影积聚为圆周；在在V、W上投影收缩为一矩形线框。上投影收缩为一矩形线框。AA1O1BC1DD1CB1O圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长

18、。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。圆柱面上任意位置的素线，均平行等长。第三章基本立体及其表面交线的投影H V WAA1O1BC1DD1CB1O(3)注意：注意：界限素线界限素线是回转曲面是回转曲面对投影面可见和不可见对投影面可见和不可见部分的部分的分界线分界线。aaa a1 1 bbb b1 1 cc1dd1如如AA1、BB1、CC1、DD1。第三章基本立体及其表面交线的投影aa1bb1cc1dd1HVWAA1O1BC1DD1CB1Oaa1bb1cc1dd1（4）圆柱的投影图）圆柱的投影图1）V、W面投影，必须用点画线画出回转轴线；面投影，必须用点画线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对

19、称中心线。面投影，必须画出对称中心线。注意：注意：第三章基本立体及其表面交线的投影2.圆柱面上的点圆柱面上的点p（k）p pd例例5.圆柱面上有两点圆柱面上有两点P和和K，已知其，已知其V投影投影p和和k，求另外两，求另外两投影投影p、p和和k、k。分析：分析：1）由于由于p点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两投影点位于圆柱面最左边界限素线上，其另外两投影p、p可直接求出。可直接求出。2）点点K须利用圆柱面有须利用圆柱面有积聚性的积聚性的H投影，先求出点投影，先求出点K的的H投影投影k，再求出，再求出k；kp pk kYkYk 3）点点K的可见性判别：的可见性判别：由于点由于点K位于圆柱面的

20、前面右半位于圆柱面的前面右半部分，其部分，其W投影投影k不可见。不可见。第三章基本立体及其表面交线的投影P3.圆柱面上的曲线圆柱面上的曲线 求圆柱面上的曲线时，通常采用取点的方法。求圆柱面上的曲线时，通常采用取点的方法。求特殊点求特殊点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其它对作图有意义的点其它对作图有意义的点（如椭圆长短轴的端点）（如椭圆长短轴的端点）最左最左最右最右最高最高最低最低最前最前最后最后第三章基本立体及其表面交线的投影例例6.已知圆柱表面上的曲线已知圆柱表面上的曲线AE的的V投影投影ae，试求其另外两投，试求其另外两投影。影。分析：

21、分析：此圆柱面的轴线垂直于此圆柱面的轴线垂直于W面，故其面，故其W投影积聚为圆。曲线投影积聚为圆。曲线AE在圆在圆柱面上，其上的点必然也在这个圆上。柱面上，其上的点必然也在这个圆上。作图步骤：作图步骤：1）在）在ae上选取若干点，如上选取若干点，如a、b、c、d、e（其中（其中A、C 为为特殊点）；特殊点）；2）利用积聚性，先求出各个点的）利用积聚性，先求出各个点的W投影：投影：a、b、c、d、e；aeeaeabcdbcd第三章基本立体及其表面交线的投影例例6.已知圆柱表面上的曲线已知圆柱表面上的曲线AE的的V 投影投影ae，试求其另外两，试求其另外两投影。投影。作图步骤：作图步骤：3）由各点

22、的）由各点的V、W投影，求各个点的投影，求各个点的H投影：投影：a、b、c、d、e；4）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影；由于）用曲线板依次光滑连接各点的同面投影；由于AC在圆柱表面之上半部，在圆柱表面之上半部，而而CE在下半部，在下半部，c是曲线是曲线H投影可见性的分界点投影可见性的分界点(水平投影界限素线上的水平投影界限素线上的点点)，故其，故其H投影投影abc为为可见可见，画，画粗实线粗实线，cde为为不可见不可见，画，画细虚线细虚线。aeeaeabcdbcdabcde第三章基本立体及其表面交线的投影二、圆锥二、圆锥1.圆锥的投影圆锥的投影(1)圆锥体表面的组成：圆锥面圆锥体表面的组成

23、：圆锥面+底面（圆形）底面（圆形）。(2)圆锥面的形成：可看成是由一条直母线圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相，绕与它相交的轴线交的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点S。SAOO1底面底面圆锥面圆锥面第三章基本立体及其表面交线的投影HVW二、圆锥二、圆锥1.圆锥的投影圆锥的投影(1)圆锥的组成：圆锥面圆锥的组成：圆锥面+底面（圆形）。底面（圆形）。(2)圆锥面的形成：可看成是由一条直母线圆锥面的形成：可看成是由一条直母线SA，绕与它相，绕与它相交的轴线交的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。圆锥面上任意位置的素

24、线，均交于锥顶点圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点S。如一圆锥直立，则：如一圆锥直立，则：1)底面是水平面，在底面是水平面，在H面上投影反映面上投影反映底的实形；底的实形；在在V、W上投影积聚为一直线；上投影积聚为一直线；2)圆锥的轴线垂直于圆锥的轴线垂直于H面，圆锥面面，圆锥面在在H面上投影收缩为平面圆；面上投影收缩为平面圆；在在V、W上投影收缩为一等腰三角形线框。上投影收缩为一等腰三角形线框。S第三章基本立体及其表面交线的投影H V W(3)注意：注意：界限素线界限素线是回转曲面是回转曲面对投影面可见和不可见对投影面可见和不可见部分的部分的分界线分界线。aabbcd如如:SA、SB、SC

25、、SD。S SA AB BC CD Ds ss第三章基本立体及其表面交线的投影abcd（4）圆）圆锥锥的投影图的投影图1）V、W面投影，必须用点面投影，必须用点画画线画出回转轴线；线画出回转轴线；2）H面投影，必须画出对称中心线。面投影，必须画出对称中心线。注意：注意：H VWaabbcdS SA AB BC CD Ds ss第三章基本立体及其表面交线的投影2.圆锥面上的点圆锥面上的点m（k）mmd例例7.圆锥面上有两点圆锥面上有两点M和和K，已知其，已知其V投影投影m和和k，求另外两，求另外两投影投影m、m和和k、k。分析：分析：1）由于由于m点位于圆锥面最左边界限素线上，其另外两投影点位于

26、圆锥面最左边界限素线上，其另外两投影m、m可直接求出。可直接求出。2）点点K 投影投影k 须用作辅助线的须用作辅助线的方法，过方法，过K 作作SA(过过k作作sa)有积聚性有积聚性的的H投影，先求出点投影，先求出点K的的H 投影投影k，再，再求出求出k；kmmk k 3）点点K 的可见性判别：由的可见性判别：由于点于点K 位于圆锥面的前面右半部位于圆锥面的前面右半部分，其分，其W 投影投影k不可见。不可见。a as ssa第三章基本立体及其表面交线的投影（k）sks ss求点求点K的投影的投影k方法二方法二作辅助圆的方法作辅助圆的方法：2）画纬线圆的水平投影；）画纬线圆的水平投影；为实形为实形

27、圆圆，半径为半径为R;R3）求）求k、k；由由k向下引垂线与纬线圆交于点向下引垂线与纬线圆交于点k，再由，再由k及及k求出求出k。1）过）过k作水平线作水平线;过过K作在锥面上作一水平辅助圆。作在锥面上作一水平辅助圆。该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。该圆所在的平面与圆锥的轴线垂直，此圆称为纬线圆。点点K 的各投影必在纬线圆的同面投影上。的各投影必在纬线圆的同面投影上。k k第三章基本立体及其表面交线的投影P3.圆锥面上的曲线圆锥面上的曲线 求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。求圆锥面上的曲线时，通常也采用取点的方法。求特殊点求特殊点求一般点求一般点顺序连接顺序连接步骤：步

28、骤：回转体回转体界限素线界限素线上的点上的点其它对作图有意义的点其它对作图有意义的点（如椭圆长短轴的端点）（如椭圆长短轴的端点）最右最右最高最高最后最后最左最左最低最低最前最前第三章基本立体及其表面交线的投影bea例例8.已知圆锥表面上的曲线已知圆锥表面上的曲线AE的的V投影投影ae，试求其另外两投，试求其另外两投影。影。分析：分析：此圆锥面的轴线垂直于此圆锥面的轴线垂直于H 面，故其面，故其H 投影积聚为圆。曲线投影积聚为圆。曲线AE在圆在圆锥面上，其上的点可通过作辅助线或锥面上，其上的点可通过作辅助线或辅助圆辅助圆的方法求得。的方法求得。1）在）在ae上选取若干点，上选取若干点，其中其中C

29、为特殊点，先求出为特殊点，先求出c，再求出，再求出c；2）利用纬线圆，先求出各个点的）利用纬线圆，先求出各个点的H 投影：投影：e(a、b、d)；bcdea3）再求出各个点的）再求出各个点的W 投影投影e(a、b、d)；ee作图步骤：作图步骤：aabcdd（）（）4）判断）判断可见性可见性；5）顺序连接。）顺序连接。e（）eaac第三章基本立体及其表面交线的投影三、圆球三、圆球1.圆球的投影圆球的投影(1)圆球的组成：圆球。圆球的组成：圆球。(2)圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。转形成的。圆球三个投影圆球三个投影圆球直径

30、相等的圆。圆球直径相等的圆。圆球面圆球面OO1第三章基本立体及其表面交线的投影HVW二、圆球二、圆球1.圆球的投影圆球的投影(1)圆球的组成：圆球。圆球的组成：圆球。(2)圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋圆球面的形成：由一圆作母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。转形成的。圆球三个投影圆球三个投影圆球直径相等的圆。圆球直径相等的圆。O正面最大圆正面最大圆V投影投影圆圆其其H、W投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线段直线段前半球可见，后半球不可见；前半球可见，后半球不可见；水平最大圆水平最大圆H投影投影圆圆其其V、W投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线段直线段上半球

31、可见，下半球不可见；上半球可见，下半球不可见；侧面最大圆侧面最大圆W投影投影圆圆其其H、V投影积聚在相应轴线上投影积聚在相应轴线上直线段直线段左半球可见，右半球不可见。左半球可见，右半球不可见。第三章基本立体及其表面交线的投影（3）圆球的投影图）圆球的投影图必须画出所有轴线和对称中心线。必须画出所有轴线和对称中心线。注意：注意：HVWO第三章基本立体及其表面交线的投影3）点点C为球面上一般点，可选水平纬为球面上一般点，可选水平纬线圆为辅助线：线圆为辅助线：2.圆球面上的点圆球面上的点例例9.已知已知圆球表面上的三个点圆球表面上的三个点A、B、C的的V投影，求投影，求A、B、C点的另外两个投影点

32、的另外两个投影。分析：分析：1）两点两点A、B 均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。均为界限素线上的点，可直接求出其另外两投影。2）点点C 是一般位置点，其投影是一般位置点，其投影c 需作水平纬线圆辅助求解。需作水平纬线圆辅助求解。a（b）c作图步骤：作图步骤：1）因因a位于正面最大圆的位于正面最大圆的V 投影上，故投影上，故a 在水平对称中心线上，在水平对称中心线上，a在垂直对称在垂直对称中心线上，因它位于左、上半球，所以中心线上，因它位于左、上半球，所以a 和和a均可见均可见;2）b位于垂直对称中心线上，且不可位于垂直对称中心线上，且不可见，故见，故b在侧面最大圆在侧面最大圆W投影

33、的左半投影的左半部分，可直接求出部分，可直接求出b，再求出，再求出b，点，点B在后、下半球上，故在后、下半球上，故b不可见；不可见；aab(b)过过c作水平线与圆交于点作水平线与圆交于点e、f；以以ef为直径，在为直径，在H投影上作水平圆，投影上作水平圆，c在此在此圆上；圆上；由由c、c求出求出c；点点C在右下半球上，在右下半球上，c、c不可见。不可见。ccef（）（）第三章基本立体及其表面交线的投影bda例例10.已知圆球表面上曲线已知圆球表面上曲线AD的的V投影投影ad，求其另两投影。，求其另两投影。分析：分析：在曲线在曲线AD上，选若干点上，选若干点A、B、C、D，其中点，其中点B和和C

34、为特殊点，点为特殊点，点B在侧面最大圆上，点在侧面最大圆上，点C在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲在水平最大圆上，其另外两投影可直接求出。曲线两端点线两端点A和和D为一般点，需作辅助线求解。为一般点，需作辅助线求解。1）求特殊点求特殊点B、C的的H、W投影；投影；2）过过a和和d分别作水平纬线圆，求出分别作水平纬线圆，求出a和和d；bc3）由由a、a及及d、d分别求出分别求出a及及d；作图步骤：作图步骤：d（）（）4）判断判断可见性：可见性：因因BD线段在球的线段在球的左半部，左半部，b是曲线是曲线W投影可见性分投影可见性分界点，故界点，故a不可见；不可见；因因AC线段在线段在球的上半

35、部，球的上半部，C是曲线是曲线H投影可见投影可见性分界点，故性分界点，故d为不可见；为不可见；5 5）顺序连接。）顺序连接。）顺序连接。）顺序连接。3.圆球面上的曲线圆球面上的曲线也采用取点的方法也采用取点的方法也采用取点的方法也采用取点的方法特殊点特殊点特殊点特殊点aadcbcdabc（）（）bc细虚线细虚线粗实线粗实线细虚线细虚线粗实线粗实线acbdad第三章基本立体及其表面交线的投影3.3 平面立体的截交线平面立体的截交线 截交线截交线截平面与立体表面的交线。截平面与立体表面的交线。1、平面立体的截交线、平面立体的截交线多边形的各边：截平面与立体表面上不同平面的交线。多边形的各边：截平面

36、与立体表面上不同平面的交线。截交线的性质：截交线的性质：是截平面与立体表面的共有线。是截平面与立体表面的共有线。平面立体截交线：平面立体截交线：由直线段围成的平面多边形。由直线段围成的平面多边形。截平面截平面截交线截交线多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；多边形的顶点：立体棱线与截平面的交点；第三章基本立体及其表面交线的投影求：平面立体的截交线求：平面立体的截交线方法一方法一线面交点法线面交点法：1)求平面立体棱线与截平面的交点；求平面立体棱线与截平面的交点；2）顺序连接各交点，即得截交线。）顺序连接各交点，即得截交线。方法二方法二面面交线法：面面交线法：1)求截平面与平面立体表面的交线。求

37、截平面与平面立体表面的交线。当截切平面与平面立体表面上的某个面平行时，当截切平面与平面立体表面上的某个面平行时，要要特别注意截交线与原有棱边的平行关系特别注意截交线与原有棱边的平行关系。注意注意 截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。截平面的位置可以是特殊位置，也可以是一般位置。本书主要本书主要以特殊位置截平面为例以特殊位置截平面为例说明求解平面立体截交说明求解平面立体截交线的方法和步骤。线的方法和步骤。第三章基本立体及其表面交线的投影PVcsa()b dssabdc例例11.四棱锥四棱锥SABCD被正垂面被正垂面P切割，求其截交线的投影。切割，求其截交线的投影。分析：分析：截平面截平

38、面P与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截与四棱锥的四个侧表面相交，截交线为四边形；由于截平面平面P是正垂面，其是正垂面，其V投影积聚为一直线，故截交线的投影积聚为一直线，故截交线的V投影为直线段，可投影为直线段，可直接求出；再由其直接求出；再由其V投影求出投影求出W投影，由投影，由V、W投影确定其投影确定其H投影。投影。作图步骤：作图步骤：1)标出标出1、2、3、4；2)求求1、2、3、4；求求1、2、3、4；4)顺序连接。顺序连接。db()a cSABCD12342 4()1333)判断可见性判断可见性 四棱锥的上部被四棱锥的上部被P平面切去，因平面切去，因而截交线的三个投影均可

39、见；注而截交线的三个投影均可见；注意棱线意棱线SC的的W投影为细虚线；投影为细虚线；1432421第三章基本立体及其表面交线的投影例例12.求求P、Q两平面与三棱锥两平面与三棱锥SABC截交线的投影截交线的投影。作图步骤：作图步骤：1)直接标出直接标出1、4及及2(3)；3)作作42ab，43ac，根据，根据V投影投影2(3)求出求出H投影点投影点2和和3；6)顺序连接。顺序连接。4)由由2、2求出求出2；由由3、3求出求出3；2)求出求出1、4和和1、4；12(3)4141234SABQVPVsab c（）sabc sabc142323分析：分析：正垂面正垂面P与三棱锥的两侧表面与三棱锥的两

40、侧表面SAB和和SAC相交于两段直线相交于两段直线12和和13。水平面水平面Q与两侧表面与两侧表面SAB和和SAC相交于水平线相交于水平线24和和34，它们分别与三棱锥，它们分别与三棱锥底面的边底面的边AB和和AC平行。平行。P、Q两截平面相交于直线两截平面相交于直线23。点。点1和点和点4位于位于SA棱线上，其棱线上，其V投影投影1和和4已知。已知。5)判断可见性判断可见性 P、Q两平面交线的两平面交线的H投影投影23为不可见，画成为不可见，画成细虚线；其它交线可见，画成粗实线细虚线；其它交线可见，画成粗实线第三章基本立体及其表面交线的投影例例13.已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其

41、已知开有燕尾槽的长方体被一正垂面截切，求其H投影。投影。作图步骤：作图步骤：1)截交线的截交线的H、W投影已知；投影已知；3)判断可见性判断可见性 燕尾槽在长方体底部，不可燕尾槽在长方体底部，不可见，画成细虚线；其它交线可见，见，画成细虚线；其它交线可见，画成粗实线；画成粗实线；2)根据根据V、W投影求出投影求出H投影；投影；分析：分析：物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成物体是由开有燕尾槽的长方体被一个正垂截切平面切割后而形成的，其交线的的，其交线的V投影有积聚性，可直接得知。截交线的投影有积聚性，可直接得知。截交线的W投影与立体的轮投影与立体的轮廓线重合，为已知。可以根

42、据截交线的廓线重合，为已知。可以根据截交线的V、W投影求得其投影求得其H投影投影 4)注意注意 俯视图左侧，因开燕尾槽，俯视图左侧，因开燕尾槽，应擦去线条。应擦去线条。Y1Y2Y1Y2第三章基本立体及其表面交线的投影3.4 回转体的截交线回转体的截交线 1、圆柱的截交线、圆柱的截交线回转体截交线：回转体截交线：由由曲线曲线或或曲线曲线+直线直线围成的平面多边形。围成的平面多边形。回转体截交线求解：回转体截交线求解：1）利用积聚性）利用积聚性 2）作辅助面）作辅助面 截平面与轴线截平面与轴线垂直垂直圆圆；圆圆柱柱面面的的截截交交线线截平面与轴线截平面与轴线平行平行矩形矩形；截平面与轴线截平面与轴

43、线倾斜倾斜椭圆椭圆。是截平面与回转立体表面的是截平面与回转立体表面的共有点共有点集合。集合。截平面：截平面：以特殊位置为例。以特殊位置为例。第三章基本立体及其表面交线的投影求平面与回转体截交线的一般步骤：求平面与回转体截交线的一般步骤：1.空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。置，以便确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影

44、，预见未知投影。预见未知投影。2.画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：*光滑连接各点，并判断截交线的可见性。光滑连接各点，并判断截交线的可见性。*先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。第三章基本立体及其表面交线的投影例例14.圆柱体被圆柱体被P、Q二平面截切，试完成其三个投影图。二平面截切，试完成其三个投影图。分析：分析：圆柱轴线圆柱轴线V面，被水平面面，被水平面P和侧平面和侧平面Q所截切；截平面所截切；截平面P圆柱圆柱的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线。截平面的轴线，与圆柱面的交线为两条侧垂线。截平面Q

45、垂直于圆柱的轴线，与垂直于圆柱的轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱面的交线为平行于W面的一段圆弧。平面面的一段圆弧。平面P和和Q的交线为正垂线。可的交线为正垂线。可利用截平面利用截平面P、Q和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。和圆柱面投影的积聚性，直接求圆柱截交线的投影。作图步骤：作图步骤：1)画出截平面画出截平面P、Q的的V投影投影PV、QV；2)找找出截平面出截平面P与圆柱面交线的与圆柱面交线的V投投影影ab、cd及及W投影投影a(b)、c(d)，求出两交线，求出两交线AB、CD的的H投投影影ab、cd；4)顺序连接。顺序连接。3)找找出截平面出截平面Q与圆柱面交线的与圆柱面交线的

46、W投影投影bed及及V投影投影bed，求出，求出H投影投影bed；ePQABEDCQVba（）cd（）badcPVeeac()d()b第三章基本立体及其表面交线的投影 由于由于P平面为正平面为正垂面，截交线在垂面，截交线在V投影面上有积聚性。投影面上有积聚性。例例15.圆柱体被正垂面截切，试完成其圆柱体被正垂面截切，试完成其H投影图。投影图。作图步骤：作图步骤：1)找找出特殊点出特殊点A、B、C、D的三面投影；的三面投影；2)确定若干一般点：求点确定若干一般点：求点E及其对及其对称的三点：在称的三点：在W投影上确定投影上确定e，由，由e在在V投影上求出投影上求出e，由，由e和和e求求出出H投影

47、上的点投影上的点e；方法二：先求出截交线在方法二：先求出截交线在H投投影面上的椭圆长短轴影面上的椭圆长短轴ab和和cd，再，再利用四心法画近似椭圆。利用四心法画近似椭圆。3)求出足够的一般点，然后顺序求出足够的一般点，然后顺序光滑连接起来，即得截交线的光滑连接起来，即得截交线的H投影。投影。d()aPVABCDbcdabcabcdeee 圆柱面的圆柱面的W投影具有积聚性，故投影具有积聚性，故截交线的截交线的W投影与圆柱面的投影与圆柱面的W投影重合。投影重合。由于由于P平面与平面与H面倾斜，所以截交面倾斜，所以截交线的线的H投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭圆。投影与其本身具有相仿性，一般仍为椭

48、圆。分析：分析：截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。截平面与圆柱的轴线倾斜相交，截交线为一椭圆。第三章基本立体及其表面交线的投影 截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线斜交，截交线随截平面与圆柱轴线夹角线夹角的变化而变化。的变化而变化。45时，时，截交线的截交线的H投影为圆投影为圆4545第三章基本立体及其表面交线的投影例例16.圆柱上部有一切口，若已知其圆柱上部有一切口，若已知其V投影，试求投影，试求H、W投影投影。分析：分析：圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平圆柱上部被左右对称的两个侧平面和一个水平面截切。两侧平面平行于圆柱轴线，与圆柱面的

49、交线为平行于圆柱轴线的铅垂线。水面平行于圆柱轴线，与圆柱面的交线为平行于圆柱轴线的铅垂线。水平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。平面垂直于圆柱轴线，与圆柱面的交线为水平的两段圆弧。第三章基本立体及其表面交线的投影例例17.空心空心圆柱上部有一切口，若已知其圆柱上部有一切口，若已知其V投影，求投影，求H、W投影投影。分析：分析：空心圆柱的上部被两个侧平面和一个水平面截切，形空心圆柱的上部被两个侧平面和一个水平面截切，形成一个长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，成一个长方槽。三个截平面与圆柱的内、外表面分别相交，和外表面交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内和外表面

50、交线的求法和上例相同。三个截平面和空心圆柱内表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。表面截交线的求法，与求外表面截交线相同。第三章基本立体及其表面交线的投影二、圆锥的截交线二、圆锥的截交线 当平面与圆锥表面相交时，随着截平面与圆锥轴线相对位当平面与圆锥表面相交时，随着截平面与圆锥轴线相对位置的不同，截交线的形状有五种：置的不同，截交线的形状有五种：截平面垂截平面垂直于圆锥轴直于圆锥轴线时，截交线时，截交线为圆。线为圆。截平面与圆锥截平面与圆锥轴线的夹角轴线的夹角/2时，截交线为椭时，截交线为椭圆。圆。截平面与圆锥截平面与圆锥轴线夹角轴线夹角/2时，时，截交线为抛物线截交线为抛物线加直线段。加直