多自由度体系自由振动分析.ppt

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1、第第10 10 章章多自由度体系无阻尼自由振动分多自由度体系无阻尼自由振动分析析 结构动力特性分析特征值问题的性质结构无阻尼自由振动结构无阻尼自由振动方程方程将将简谐运动简谐运动代入上式可得代入上式可得（10-1）（10-2）（10-3）方程（103）为特征值问题。对特征方程分析可得一个动力系统的固有频率以及振型。1、固有频率 从方程（103）可知：要获得a非零解，必须要求矩阵系数行列式为零：（10-4）式（104）称为系统的频率方程，对其进行行列式展开可以获得一个关于2的n次（自由度数）的代数方程，它的n个根 表示系统可能的n个振型的频率。结构动力特性分析特征值问题的性质2、振型(10-5)

2、(10-5)由频率方程式（104）求得系统n个固有频率 后，可以将任一个固有频率 回代入特征方程（103），以获得对应的振幅向量a：式中：式中：(10-6b)(10-6b)(10-(10-6a)6a)上式中，由于系数矩阵 的行列式为零，因此是不定方程。对振幅向量除以a1，并记 以及 ，式(105)可以拆分为两个独立的系列：将（105）式振幅向量除以a1后，可以按以下红线将系数矩阵k和振幅向量划分为子矩阵表示：由于式（106b）对应方程组是确定的，可以从中解得n-1个未知量：a2/a1、a3/a1、an/a1，因此可以得到对应方程（105）的一组振幅向量 ，称为关于固有频率 的振型向量。式（10

3、-6a）是一个多余方程，通常可以由于校核解的正确性。所有n个标准振型向量构成了一个方阵:称为振型矩阵。振型矩阵：标准振型：通常固有频率 对应的振幅向量（振型）用其无量纲形式给出，将a中各分量均除以它的最大分量，即得到第k 标准振型：式中：ik表示第k振型曲线中第 i 自由度对应的无量纲化位移。多自由度体系动力特性分析（举例）如图所示结构，E=2.6x107kN/m2，各柱尺寸0.6x0.6m.求自振频率和振型。EI=EI=m2=40tm1=60t4m6m解：用刚度法得k22k12k21k111121则质量阵和刚度阵为由频率方程解得：频率方程为：1.00.8871.00.751振型1（令 ）：振

4、型2（令 ）：Betti定理：若一结构分别受两种荷载体系作用并引起了相应的位移，则荷载体系1在荷载体系2对应位移上所作的功等于荷载体系2在荷载体系1对应位移上所作的功。荷载a:荷载b:情况1（先加载荷载a，然后加载荷载b）：加荷载b：加荷载a：总功为：情况2（先加载荷载b，然后加载荷载a）：加荷载a：加荷载b：总功为：由于结构变形与加载次序无关，因此在两种情况下荷载作功应相等：振型正交性（1）Betti定理振型正交性（2）利用Betti定理证明振型正交性振型“n”:振型“m”:如将自由振动看作由惯性力引起的变形，将两个振型对应的惯性力作为施加荷载，振型即为惯性力荷载作用引起的位移（如右图所示）

5、。对此体系应用Betti定理：由于惯性力向量可表达为：将此代入式(I)，并注意m对称性，得：(I)或写为由于 ，则上式给出：质量阵正交性：将运动方程改写为：上式两边同乘 ：刚度阵正交性：归一化振型显然，归一化振型可以由标准振型显然，归一化振型可以由标准振型获得：获得：在结构动力分析中，常用到正交归一化振型。一个振型如满足以下条件则称为归一化振型，用记号 表示：对于刚度阵，有：（1）如果m和k都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一 定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果m正定，并且k为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。从数学角度理解特征系统的基本特性从数学角度理解特征系统的基本特性上述

6、方程即为线性代数理论特征值问题，其中特征值对应系统的固有频率2，特征向量为系统的标准振型。将多自由度体系无阻尼自由振动运动方程：将多自由度体系无阻尼自由振动运动方程：改写为：改写为：（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵m和刚度矩阵m正交，即：一个特征系统具有以下特性：特征系统的基本特性（续）特征系统的基本特性（续）(3)(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质商和特征值的极大极小性质 定义：定义：可以证明，对于任意可以证明，对于任意 x x 有有:得到第得到第i 阶特征值阶特征值:由振型正交性可得，当由振型正交性可得，当xx为系统的某阶特征向量时，则有为系统的某阶特征向量时，则有:注

7、意！对于任意向量x，R(x)的最小值是最小特征值1。如果对x 施加约束，即选定向量v，在满足xTv=0（即两个向量正交）的约束下选择x，则在计算Ralyeigh商的极小值时，选取不同的v可得到不同的极小值。当v为系统的第一阶特征向量时，这些最小值集合的最大值是系统的第二特征值。依此类推，如果使Ralyeigh商收敛到第i阶特征值，则需要i-1个约束。通过极小和极大化过程，可以得到第i阶特征值。或写为：上式称为特征值的极大极小性质。利用特征值的极大极小性质，可以求取结构的任意特征值。特征系统的基本特性（续）特征系统的基本特性（续）(4)(4)特征值的移轴性质特征值的移轴性质或写为：或写为：式中：

8、式中：式（式（10-710-7）和标准特征值方程有相）和标准特征值方程有相同的特征向量，但特征值相差同的特征向量，但特征值相差，即：，即：将特征值方程将特征值方程 两边分别减去两边分别减去 ，则有另，则有另一等价形式：一等价形式：(10-7)(5)(5)特征值的分隔性质特征值的分隔性质作移轴作移轴，并将，并将作作三角分解。三角分解。则对角矩阵则对角矩阵D D 中有中有i 个负元素。个负元素。如果有如果有(6)(6)位移展开定理位移展开定理 对于对于n 维空间中的任意向量维空间中的任意向量xx都可以按模态矩阵都可以按模态矩阵 展开：展开：系数系数q q可按右式确定：可按右式确定：以以上上讨讨论论的的是是广广义义特特征征值值问问题题的的一一些些基基本本特特性性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。特征系统的基本特性（续）特征系统的基本特性（续）