大学高等数学ppt课件第一章2极限.ppt

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1、 极限 第二节学习重点学习重点利用两个重要极限计算极限利用两个重要极限计算极限无穷小的概念及其比较无穷小的概念及其比较理解极限的概念，掌握极限的运算法则理解极限的概念，掌握极限的运算法则极限思想极限思想一尺之棰，日取其半，万世不竭 剩余长度依次为剩余长度依次为 1，不为零，但无限接近零不为零，但无限接近零1/2，1/4，1/8，1/16，,1/32，我国战国时期（公元前我国战国时期（公元前4世纪）名家公孙龙等人提出命题：世纪）名家公孙龙等人提出命题：在中国古代的萌芽和应用在中国古代的萌芽和应用刘徽刘徽割圆术割圆术 割之弥细，所失弥少，割之又割，以致于不可割，则与圆周合体而无所失矣数列的概念数列

2、数列 就是指按自然数编了号的一列数就是指按自然数编了号的一列数记为记为 an,其中其中 an 称为该数列的称为该数列的通项通项。2，4，8，.,2n，.,几个数列的例子几个数列的例子:0.000990.010000.019600.025000.032250.100000.999011.010000.980401.025000.967750.900010009950393010数列的极限随着项数随着项数 n 的增大，的增大，an 越来越接近越来越接近 A（不够确切）（不够确切）n充分大时，充分大时，an 的值可以无限逼近的值可以无限逼近A（定性描述）（定性描述）（精确定义）（精确定义）（精确定义

3、）（精确定义）存在存在 Exist任意任意 Arbitrary下面逐步给出极限的定义下面逐步给出极限的定义 设有数列设有数列 an 和常数和常数 A，如果对任意给定的正数，如果对任意给定的正数，总存，总存在一个正整数在一个正整数 N，使得对于，使得对于 n N 时的一切时的一切 an，总有总有成立，则称常数成立，则称常数 A是数列是数列an 的的极限极限，或称数列，或称数列an 收敛收敛于于A或或 如果数列如果数列没有极限没有极限，就称数列是，就称数列是发散发散的。的。记作记作数列极限的定义数列极限的定义数列极限举例数列极限举例求下列极限：求下列极限：类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程

4、中，对类似于数列极限，如果在自变量的某个变化过程中，对应的应的函数值可以函数值可以无限接近于某个无限接近于某个确定的常数确定的常数，那么这个确定，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的的常数就叫做函数在该变化过程中的极限。极限。对于数列极限对于数列极限故故很自然地很自然地函数的极限又如：当又如：当时，时，记作，记作相似地相似地相似地，可定义单侧情形：相似地，可定义单侧情形：自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限yxO-MM即即yxoy=arctan x观察观察 y=arctan x 的图像的图像从图像容易看出结果从图像容易看出结果xyoy=1/x所以所以 yxoyxo

5、考虑函数考虑函数 f(x)=ax,分分 a1,0a1两种情形下，两种情形下，分别求分别求 x +,x，x 时时 f(x)的极限。的极限。所以，所以，都不存在。都不存在。由题设知，分子必须是由题设知，分子必须是 x 的零次多项式的零次多项式解解答答邻域（邻域（neighborhood）的概念）的概念自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限即即注意事项注意事项：（1）定义中定义中 xa的过程中的过程中,xa 成立。成立。xOy函数极限的几何解释函数极限的几何解释（3）极限值）极限值 与函数值与函数值 无关。无关。（2）左极限左

6、极限 left-hand limit 右极限右极限 right-hand limitx 仅从仅从 a 的左侧趋于的左侧趋于a，记作记作或或x 仅从仅从 a 的右侧趋于的右侧趋于a，记作记作或或左极限与右极限考虑符号函数考虑符号函数现在考虑现在考虑 x 从左右两个方向趋于从左右两个方向趋于0时时 f(x)的极限的极限右极限右极限左极限左极限yxo1-1从右边趋于从右边趋于0从左边趋于从左边趋于0 左右极限不相等左右极限不相等例例 题题yxo函数极限的性质局部保号性局部保号性局部有界性局部有界性设设（1）若）若（或（或 ），则，则，使得，使得有有（或（或 ）（2）若存在点）若存在点的去心的去心 邻

7、域，使得邻域，使得，有，有（或（或 ），则，则如果如果存在，则函数存在，则函数 在点在点 的的某个去心邻域内某个去心邻域内有界。有界。计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化计算初等函数在定义区间内某一点的极限，都可转化为该点函数值的计算。为该点函数值的计算。初等函数的极限性质 如果函数如果函数 f(x)在某个极限过程中的极限为零，在某个极限过程中的极限为零，那么就称那么就称 f(x)是此极限过程的是此极限过程的无穷小（量）无穷小（量）无穷小举例无穷小举例 无穷小是以零为极限的变量（函数）无穷小是以零为极限的变量（函数），不是绝对值很小的固，不是绝对值很小的固 定数定数。都是无穷小量都是

8、无穷小量是无穷小量是无穷小量是无穷小量是无穷小量与与与与无 穷 小 无穷小与自变量的变化过程有关，如无穷小与自变量的变化过程有关，如 时时 是是 无穷小，但无穷小，但 时，则时，则 不是无穷小。不是无穷小。推论：推论：（1）有限个有限个无穷小之和仍是无穷小；无穷小之和仍是无穷小；（2）常数与无穷小的乘积是无穷小；）常数与无穷小的乘积是无穷小；（3）有限个有限个无穷小的乘积仍是无穷小。无穷小的乘积仍是无穷小。例如例如，因为，因为所以所以有界函数有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。即与无穷小的乘积仍是无穷小。即同理同理即即其中其中极限与无穷小的关系两个无穷小的和或差，仍是无穷小。两个无穷小的和或差，

9、仍是无穷小。无穷小的性质 如果函数如果函数 f(x)在某个极限过程中，对应的在某个极限过程中，对应的函数值的绝对值函数值的绝对值可以无限增大，可以无限增大，那么就称那么就称 f(x)是此极限过程的是此极限过程的无穷大（量）无穷大（量）。只有一种趋势只有一种趋势包括两种趋势包括两种趋势 如如无 穷 大观察函数观察函数 y=1/x 的图像的图像 再考察函数再考察函数 y=ln x 注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的注意：无穷大不是很大的数，而是表示函数的绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。绝对值可以无限增大，反映函数值的一种变化趋势。xyoy=1/xyxoy=lnx无穷小和无穷大的

10、关系 在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。转化。无穷小和无穷大的运算法则无穷小和无穷大的运算法则 以下以下A A 表示有极限的函数，表示有极限的函数，K K 表示有界函数，表示有界函数，C C 代表常数代表常数结果不定，称为结果不定，称为未定式未定式极限的四则运算法则复合函数的极限运算法则幂指函数的极限运算法则 因式分解因式分解消除零因子消除零因子有理化有理化消除零因子消除零因子消除零因子消除零因子夹逼准则夹逼准则单调有界原理单调有界原理极限存在准则两个重要极限两个重要极限单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.对于其

11、它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则对于其它趋势的极限，以及数列有类似的夹逼准则利用这两个准则可以利用这两个准则可以分别证明这两个公式分别证明这两个公式由由 x0 得得 3x0 即即 u0重要极限重要极限的应用举例的应用举例重要极限重要极限重要极限重要极限的应用举例的应用举例公式特点：公式特点：定义无穷小的比较比较下列两个无穷小比较下列两个无穷小低阶低阶高阶高阶同阶同阶 无无穷穷小小的的阶阶揭揭示示了了无无穷穷小小趋趋向向于于零零的的速速度度快快慢慢程程度度：高高阶阶的的较较快快，低低阶阶的的较较慢慢；同同阶阶的的相相当当；等等价价的的同同步步。求两个无穷小之比的极限时，分子分求两个无穷小之比的极限时，分子分 母都母都 可用可用等价无穷小来替换。适当替换可以简化等价无穷小来替换。适当替换可以简化 极限的计算。极限的计算。等价无穷小替换定理证明证明常用等价无穷小求极限求极限解解 原式原式注意：注意：如果如果，则，则，但是，但是不等价。不等价。