离散时间信号与系统的z域分析【精品】课件.ppt

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1、7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.1 7.1 离散信号的离散信号的Z Z变换变换7.4 Z7.4 Z变换与拉普拉斯变换变换与拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换的关系的关系7.3 Z7.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理7.2 Z7.2 Z反变换反变换7.5 7.5 序列的序列的傅里叶变换傅里叶变换的定义和性质的定义和性质7.6 7.6 利用利用Z Z变换求解差分方程变换求解差分方程7.7 7.7 离散系统的系统函数和频率响应离散系统的系统函数和频率响应7.8 7.8 离散系统的信号的流图离散

2、系统的信号的流图7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.1 7.1 离散信号的离散信号的Z Z变换变换7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析x(n)的单边的单边z z 变换变换:7.1.1 z 7.1.1 z 变换的定义变换的定义x(n)x(n)的的双边双边z z 变换变换:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.1.2 Z变换的收敛域变换的收敛域1预备知识1)收敛条件:X(z)收敛的充要条件是绝对可和。绝对可和。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统

3、的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析同样,对于级数 ,满足 的z,级数必绝对收敛。R为最小收敛半径。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1).有限长序列2 不同序列的收敛域7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为|z|;第二项为z的负幂次级数,由阿贝尔定理可知,其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|z|时,这是无穷递缩等比级数,收敛。收敛域:*收敛域一

4、定在模最小的极点所在的圆内。4)4)反向指数序列反向指数序列7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析5)斜变序列 x x n n 0 0n n7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析已知已知:两边同时乘以两边同时乘以z z-1-1,可得可得 7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.2 Z7.2 Z反变换反变换7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 因此因此,X(z),X(z)可以展成以下部分分式形式可以展成以下部分分式

5、形式其中其中,MN,MN时时,才存在才存在B Bn n;Z;Zn n为为X(z)X(z)的各单极点的各单极点,Z Z0 0为为X(z)X(z)的一个的一个r r阶极点。而系数阶极点。而系数A An n,C,Cn n分别为分别为:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析解:的z反变换。例例 利用部分分式法,求7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析例例 试用长除法求 收敛域为环状,极点z=1/4对应因果序列,极点

6、z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.2.37.2.3留数法留数法 由留数定理可知:为c内的第n个极点,为c外的第m个极点,Res 表示极点处

7、的留数。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数:留数的求法:1、当Zr为一阶极点时的留数:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.3 Z7.3 Z变换的基本性质和定理变换的基本性质和定理7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1 1线性性质线性性质ROC:ROC:一般情况下一般情况下,取二者的重叠部分取二者的重叠部分线性组合中某些零点与极点相抵消线性组合中某些零点与极点相抵消,则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域

8、分析例例 已知 求其z变换。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2 2 时移性质时移性质(1)(1)双边双边z z 变换变换若若 Z Z则则Z ZZ Z原序列不变原序列不变,只影响在时间轴上的位置。只影响在时间轴上的位置。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析(2)(2)单边单边z z变换变换若若x x(n n)为双边序列，其单边为双边序列，其单边z z变换为变换为7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 1 1)左移位左移位 若若x x(n n)是双边序列是双边序列,7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与

9、系统的Z Z域分析域分析 1 1)右移位右移位 若若x x(n n)是双边序列是双边序列,7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3 3)若若x x n n 是因果序列是因果序列,右移序列的单边右移序列的单边z z变换为变换为 左移序列的单边左移序列的单边z z变换不变变换不变,仍为仍为 Z Z7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析例例 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3.3.尺度变换尺度变换(乘以指数序列乘以指数序列)如果,则证明证明:7 7 离散时间信号与

10、系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析4.4.序列的线性加权序列的线性加权(Z(Z域求导数域求导数)如果,则证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析如果,则证明:5.共轭序列 7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析6.翻褶序列如果,则证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.7.初值定理初值定理证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析8.终值定理证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点,

11、故因子(z-1)将抵消这一极点,因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析9.9.有限项累加特性有限项累加特性证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析10.序列的卷积和(时域卷积定理)7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析例例:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析其中,C是在变量V平面上,X(

12、z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。(证明从略)11.序列相乘(Z域卷积定)7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析例例:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析如果则有:12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理 其中“*”表示复共轭,闭合积分围线C在公共收敛域内。(证明从略)7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.4 Z7.4 Z变换变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换傅里叶变换的关系7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z

13、 Z域分析域分析7.4.1Z7.4.1Z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为连续信号,为其理想抽样信号,则7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 序列x(n)的z变换为 考虑到 ,显然,当 时,序列x(n)的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系)S平面用直角坐标表示为:Z平面用极坐标表示为:又由于 所以有:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析因此,;这就是说,Z的模只与S的实部相

14、对应,Z的相角只与S虚部相对应。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆;0,即S的左半平面 r0,即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外。j00(1).r与的关系7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析=0,S=0,S平面的实轴平面的实轴,=0,Z=0,Z平面正实轴平面正实轴;=0 0(常数常数),S:),S:平行实轴的直线平行实轴的直线,=,=0 0T,Z:T,Z:始于始于 原点的射线原点的射线;S:S:宽宽 的水平条带的水平条带,整个整个z z平面平面.(2).与的关系(=T)jImZReZ0

15、7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.4.2 Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓其频谱产生周期延拓,即即 我们知道我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jS=j的特例的特例,因而映射到因而映射到Z Z平面上为单位圆。因此平面上为单位圆。因此,这就是说这就是说,(,(抽样抽样)序列在单位圆上的序列在单位圆上的Z Z变换变换,就等就等 于理想抽样信号傅氏变换。于理想抽样信号傅氏变换。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析用数字频率用数字频率作为作为Z Z平面的单位圆

16、的参数平面的单位圆的参数,表示表示Z Z平面的辐角平面的辐角,且且 。所以,序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.5 7.5 序列的序列的傅里叶变换傅里叶变换的定义和性质7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.5.1序列的傅氏变换的定义正变换:反变换:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析(1)(1)周期性周期性1)1)周期性周期性由序列的傅立叶变换公式由序列的傅立叶变换公式:其中的其中的M M为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周为整数。因此序列的傅立叶变换是频

17、率的周期函数。期函数。7.5.2序列傅氏变换的性质7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析(2)DTFT(2)DTFT的线性的线性设设那么那么式中式中a a和和b b为常数。为常数。(3)DTFT(3)DTFT 的时移和频移特性的时移和频移特性7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析(4)(4)对称性对称性共轭对称序列 设一复序列,如果满足 则称序列为共轭对称序列。设一复序列,如果满足 则称序列为共轭反对称序列7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和7 7 离散时间信号

18、与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和其中,7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3.序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部证明:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析4.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j证明:7 7 离散时间信号

19、与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析(5)(5)时域卷积定理时域卷积定理设设则则(6)(6)频域卷积定理频域卷积定理设设则则7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1 1周期序列的傅里叶级数周期序列的傅里叶级数7.5.3周期序列的离散傅里叶级数和傅里叶变换表示式7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析因 是离散的,所以 应是周期的。,代入而且,其周期为 ,因此 应是N点的周期序列。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 又由于又由于 所以求和可以在一个周期内进行所以求和可以在一个周期内进行,即即 这就是说

20、这就是说,当在当在n=0,1,.,N-1n=0,1,.,N-1求和与求和与在在n=N,.,2N-1n=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的。求和所得的结果是一致的。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 的表达式的表达式 将式将式 的两端乘的两端乘 ,然后从然后从 n=0 n=0到到N-1N-1求和求和,则则:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析的DFS7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析通常将定标因子通常将定标因子1/N1/N移到移到 表

21、示式中。表示式中。即即:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.6 7.6 利用利用Z Z变换求解差分方程变换求解差分方程7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1 零输入响应的Z域求解对方程做Z变换7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 例例:已知某线性时不变系统数学模型如下已知某线性时不变系统数学模型如下:初始状态初始状态y(-1)=4,y(-2)=1y(-1)=4,y(-2)=1,求零输入响求零输入响y(ny(n)。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2 零状态响应的Z域求解

22、n阶线性时不变离散系统的差分方程:对方程做Z变换7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 例例:已知某线性时不变系统数学模型如下已知某线性时不变系统数学模型如下:且且 求求零输入零输入y(ny(n)7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3全响应的Z域求解n阶线性时不变离散系统的差分方程:对方程做Z变换7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析则方程两边取单边则方程两边取单边Z Z变换变换:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.7 7.7 离散系统的系统函数和离散系统的系统函数和频率响

23、应频率响应7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析系统函数系统函数H H(z)(z)与单位样值响应与单位样值响应h(n)h(n)是一对是一对z z变换。变换。对上式取对上式取z z逆变换逆变换:7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.7.1因果稳定系统对于稳定系统对于稳定系统,只要输入是有界的只要输入是有界的,输出必定是有界的。输出必定是有界的。时域稳定性判据时域稳定性判据:稳定性定义稳定性定义:离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件:单位样值响应绝对可单位样值响应绝对可和。和。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z

24、域分析域分析离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件:H H(z z)的收敛域必须包的收敛域必须包含单位圆。含单位圆。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析对于因果系统对于因果系统,系统稳定的充要条件为系统稳定的充要条件为:H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内括单位圆在内:。z域域:收敛域在圆外收敛域在圆外 系统因果性系统因果性的判断方法的判断方法7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析因果稳定系因果稳定系统统的系统函数收敛域为 1|z|,也就是说,其全部极点必须在

25、单位圆内。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述,一般一般形式为形式为 上式两边取上式两边取z z变换得变换得7.7.27.7.2系统函数与差分方程的关系系统函数与差分方程的关系若若x x(n n)为因果信号为因果信号,且系统处于零状态且系统处于零状态7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7.7.37.7.3系统的频率响应系统的频率响应 系统的单位抽样响应系统的单位抽样响应h(n)h(n)的

26、傅氏变换也即单位上的傅氏变换也即单位上的变换的变换 称作系统频率响应。称作系统频率响应。对于线性移不变系统:系统的频率响应特性系统的频率响应特性 是系统函数在单位圆上的是系统函数在单位圆上的z变换，即变换，即7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析 7.8 7.8 离散系统的信号的流图离散系统的信号的流图7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析线性时不变离散系统输入和输出的差分方程线性时不变离散系统输入和输出的差分方程7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析用用表示相加器表示相加器;用用 表示乘法器表示乘法器;用用 表示一位延时单元。表示一位延时单元。7 7 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析x(n)b0-a1y(n-1)y(n)-a1y(n-1)b0 x(n)-a1y(n-1)b0 x(n)例例:差分方程 表示的系统结构为: