函数概念课件高中数学必修1北师大版.ppt

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1、 2.1 函数概念1.1.理解函数的概念理解函数的概念,明确函数的定义域、对应关系及值域明确函数的定义域、对应关系及值域.2.2.能正确使用区间表示数集能正确使用区间表示数集.3.3.会求一些简单函数的定义域会求一些简单函数的定义域.1.1.本课重点是函数的概念及定义域的求法本课重点是函数的概念及定义域的求法.2.2.本课难点是函数的概念及符号本课难点是函数的概念及符号y=f(x)y=f(x)的理解的理解.1.1.函数的有关概念函数的有关概念(1)(1)定义定义任何一个数任何一个数x x非空数集非空数集唯一唯一确定的数确定的数f(x)f(x)对应关系对应关系f f(2)(2)相关名称相关名称自

2、变量是自变量是_；函数的定义域是函数的定义域是_；函数的值域是集合函数的值域是集合_._.(3)(3)函数的记法函数的记法集合集合A A上的函数可记作：上的函数可记作：_或或_._.x x集合集合A Af(x)|xAf(x)|xAf f：ABABy=f(x),xAy=f(x),xA2.2.区间的有关概念区间的有关概念(1)(1)区间的定义区间的定义设设a a、b b是两个实数，且是两个实数，且abab，请结合区间的定义找到正确的对，请结合区间的定义找到正确的对应关系并用线连起来应关系并用线连起来.定义定义名称名称符号符号几何表示几何表示x|axx|axbbx|axx|axbbx|ax|ax x

3、bbx|ax|ax xbb闭区间闭区间左闭右开区间左闭右开区间左开右闭区间左开右闭区间开区间开区间a,b)a,b)（a,b)a,b)a,ba,b(a,b(a,b(2)(2)无穷大的概念无穷大的概念实数集实数集R R用区间表示为用区间表示为_._.与符号与符号“”“”有关的读法有关的读法符号符号“”“”有关的集合表示有关的集合表示把满足把满足xa,xxa,xa,xb,xa,xb,xb b的实数的实数x x的集合分别表示为的集合分别表示为_,_,_,_._,_,_,_.(,+),+)符号符号-+读作读作_无穷大无穷大负无穷大负无穷大正无穷大正无穷大a,+)a,+)(a,+)(a,+)(-,b(-,

4、b(-,b)(-,b)1.1.任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？提示：提示：不是，只有非空数集之间，才有可能建立函数关系不是，只有非空数集之间，才有可能建立函数关系.2.2.区间可以表示数集区间可以表示数集,数集一定可以用区间表示吗数集一定可以用区间表示吗?提示：提示：数集不一定可以用区间表示数集不一定可以用区间表示,如如1,2,31,2,3、整数集、自、整数集、自然数集等都不能用区间表示然数集等都不能用区间表示.3.3.下列四个图像中，是函数图像的序号有下列四个图像中，是函数图像的序号有_._.【解析解析】利用函数的概念可知，只要满足任意一个利用函数

5、的概念可知，只要满足任意一个x x都有唯一都有唯一一个一个y y值与之对应，就符合函数的概念值与之对应，就符合函数的概念.答案：答案：(1)(3)(4)(1)(3)(4)4.x|x14.x|x1用区间表示为用区间表示为_._.【解析解析】结合区间的定义可知，结合区间的定义可知，x|x1x|x1用区间表示为用区间表示为1 1，+).+).答案：答案：1 1，+)+)1.1.对函数概念的理解对函数概念的理解(1)(1)数集要求：函数是非空数集到非空数集上的一种对应数集要求：函数是非空数集到非空数集上的一种对应.(2)(2)三要素：符号三要素：符号“f:AB”f:AB”表示表示A A到到B B的一个

6、函数，它有三个的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.(3)(3)唯一性：集合唯一性：集合A A中数的任意性，集合中数的任意性，集合B B中数的唯一性中数的唯一性.(4)“f”(4)“f”的含义：的含义：f f表示对应关系，在不同的函数中，表示对应关系，在不同的函数中，f f的具体的具体含义不一样含义不一样.(5)f(x)(5)f(x)的含义：的含义：f(x)f(x)是一个符号，绝对不能理解为是一个符号，绝对不能理解为f f与与x x的乘的乘积积.2.2.区间和数集的关系区间和数集的关系(1)(1)联系：区间实际上是一类特殊的数

7、集联系：区间实际上是一类特殊的数集(连续的连续的)的符号表示，的符号表示，是集合的另一种表达形式是集合的另一种表达形式.(2)(2)区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集，自然数区别：不连续的数集不能用区间表示，如整数集，自然数集等集等.(3)(3)注意点：注意点：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆在用区间表示集合时，开和闭不能混淆;用用“”“”作为区间端点时，要用开区间符号作为区间端点时，要用开区间符号.函数的判断函数的判断【技法点拨技法点拨】判断一个对应关系是否为函数的两个条件判断一个对应关系是否为函数的两个条件【典例训练典例训练】1.1.下列图形中，不可能是函数图像的是下列图形中，不

8、可能是函数图像的是()()2.2.判断下列对应是否为函数：判断下列对应是否为函数：(1)x x0,xR(1)x x0,xR；(2)xy(2)xy，这里，这里y y2 2=x,xN,yR.=x,xN,yR.【解析解析】1.1.选选A.A.由函数定义可知，任意作一条直线由函数定义可知，任意作一条直线x xa a，则与，则与函数的图像至多有一个交点，结合四个选项可知函数的图像至多有一个交点，结合四个选项可知A A中图像不表中图像不表示示y y是是x x的函数的函数.2.(1)2.(1)是函数是函数.因为任取一个非零实数因为任取一个非零实数x x，都有唯一确定的，都有唯一确定的 与与之对应，符合函数的

9、概念之对应，符合函数的概念.(2)(2)不是函数不是函数.当当x=1x=1时，时，y=y=1 1，即一个非零自然数，即一个非零自然数x x，对应两，对应两个个y y值，不符合函数的概念值，不符合函数的概念.【想一想想一想】(1)(1)定义在非空数集定义在非空数集A A到到B B的函数的函数f(x)f(x)，是否集合，是否集合B B中中的元素都有的元素都有x x与之对应？与之对应？(2)(2)直线直线x=ax=a与函数图像的交点个数是多少？与函数图像的交点个数是多少？提示：提示：(1)(1)不一定不一定.如把题如把题2(2)2(2)改为改为“xy,yxy,y2 2=x,xN,y0=x,xN,y0

10、”便知便知.(2)(2)结合函数的概念可知，直线结合函数的概念可知，直线x=ax=a与函数与函数f(x)f(x)的图像至多一个的图像至多一个交点交点.求函数的定义域求函数的定义域【技法点拨技法点拨】1.1.确定函数定义域的方法确定函数定义域的方法(1)(1)如果如果f(x)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集是整式，那么函数的定义域是实数集R.R.(2)(2)如果如果f(x)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合实数的集合.(3)(3)如果如果f(x)f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式是偶次根式，那么函数的定义

11、域是使根号内的式子不小于零的实数的集合子不小于零的实数的集合.(4)(4)如果如果f(x)f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有即使每个部分有意义的实数的集合的交集意义的实数的集合的交集).).(5)(5)如果如果f(x)f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.2.2.求函数定义域的步骤求函数定义域的步骤列不等列不等式

12、式(组组)根据解析是有意义的条件，根据解析是有意义的条件，列出关于列出关于x x的不等式的不等式(组组)分别解出每个不等式分别解出每个不等式的解，然后求出交集的解，然后求出交集把不等式把不等式(组组)的解集表的解集表示成集合或区间的形式示成集合或区间的形式解不等解不等式式(组组)得定得定义域义域【典例训练典例训练】1.(20121.(2012广东高考广东高考)函数函数 的定义域为的定义域为_._.1.(20121.(2012曲靖高一检测曲靖高一检测)函数函数 的定义域为的定义域为()()(A)x|x-3 (B)x|x(A)x|x-3 (B)x|x-3-3(C)x|x-3 (D)x|x(C)x|

13、x-3 (D)x|x-3-32.2.函数函数 的定义域是的定义域是_3.3.设一个矩形的周长为设一个矩形的周长为8080，其中一边长为，其中一边长为x x，求它的面积，求它的面积S S关于关于x x的函数的解析式，并写出定义域的函数的解析式，并写出定义域.【解析解析】1.1.由由 得函数的定义域为得函数的定义域为x|x-1,x|x-1,且且x0.x0.答案：答案：x|x-1,x|x-1,且且x0 x01.1.选选A.A.由题意可知，由题意可知，x+30,x-3.x+30,x-3.2.2.要使函数有意义，要使函数有意义，需满足需满足 答案：答案：(，1)(1)(1 1，)3.3.由题意知，另一边

14、长为由题意知，另一边长为 且边长为正数，所以且边长为正数，所以所以函数的定义域为所以函数的定义域为x|0 x|0 x x4040.【总结总结】解答题解答题2 2的失分点及解答题的失分点及解答题3 3的注意点的注意点.提示：提示：(1)(1)解答题解答题2 2时，常常因想不到时，常常因想不到x+10 x+10而出错而出错.(2)(2)在实际问题中求定义域时，要确保每一个关系式都有意在实际问题中求定义域时，要确保每一个关系式都有意义，且都符合实际情形，题义，且都符合实际情形，题3 3要注意要注意x x0 0及及 0.0.同一函数的判断同一函数的判断【技法点拨技法点拨】判断函数是否为同一函数的两个步

15、骤判断函数是否为同一函数的两个步骤【典例训练典例训练】1.(20121.(2012福建四地六校高一联考福建四地六校高一联考)下列四组函数中，下列四组函数中，f(x)f(x)与与g(x)g(x)是同一函数的一组是是同一函数的一组是()()(A)f(x)=|x|,g(x)=(A)f(x)=|x|,g(x)=(B)f(x)=x,g(x)=(B)f(x)=x,g(x)=(C)(C)(D)f(x)=x,g(x)=x(D)f(x)=x,g(x)=x0 02.2.试判断以下各组函数是否表示同一函数：试判断以下各组函数是否表示同一函数：(1)(1)(2)(2)(3)f(x)=x(3)f(x)=x2 2-2x-

16、1,g(t)=t-2x-1,g(t)=t2 2-2t-1.-2t-1.【解析解析】1.1.选选A.=|x|A.=|x|，A A选项符合题意选项符合题意.B.B、C C、D D选选项中两函数的定义域均不同项中两函数的定义域均不同.2.(1)2.(1)由于由于 =|x|,=|x|,故它们的对应关系不相故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数同，所以它们不表示同一函数.(2)(2)由于函数由于函数 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，而，而 的的定义域为定义域为x|xR,x|xR,它们的定义域不同，所以它们不表示同一它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数函数.(3)(3)两个函数的定义域

17、和对应关系都相同，所以它们表示同一两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数函数.【思考思考】(1)(1)定义域和值域相同的函数是同一函数吗？定义域和值域相同的函数是同一函数吗？(2)(2)同一函数与变量的形式有关吗？同一函数与变量的形式有关吗？提示：提示：(1)(1)定义域和值域都分别相同的两个函数定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定它们也不一定是同一函数是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系应关系,如如y=xy=x与与y=2xy=2x的定义域和值域都为的定义域和值域都为R,R,但它们的对应关系但它们的对应

18、关系不同不同,所以它们不是同一函数所以它们不是同一函数.(2)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关而与表示自变量和函数值的字母无关.函数的值域或函数值的求法函数的值域或函数值的求法 【技法点拨技法点拨】1.1.函数的值域求法函数的值域求法(1)(1)求函数的值域的总原则求函数的值域的总原则:先确定相应的定义域；先确定相应的定义域；再根据函数的具体形式及运算确定其值域再根据函数的具体形式及运算确定其值域.(2)(2)常用的方式有：常用的方式有：“直接法直接法”:当所给函数较简单时当所给函数较

19、简单时(如定义域是如定义域是a,b,c)a,b,c)可根可根据它们的定义域及对应关系得到值域据它们的定义域及对应关系得到值域.“图像法图像法”:如果已知函数是一次函数、二次函数等较简单如果已知函数是一次函数、二次函数等较简单的函数时可借助数形结合思想利用它们的图像得到值域的函数时可借助数形结合思想利用它们的图像得到值域.2.f(a)2.f(a)的求法的求法自变量自变量x x在定义域中任取一个确定的值在定义域中任取一个确定的值a a时，对应的函数值用符时，对应的函数值用符号号f(a)f(a)来表示来表示.例如，函数例如，函数f(x)f(x)x x2 23x3x1 1，当，当x x2 2时的函数时

20、的函数值是值是f(2)f(2)2 22 232321 111.11.【备选典例备选典例】1.1.已知两个函数已知两个函数f(x)f(x)和和g(x)g(x)的定义域和值域都是集合的定义域和值域都是集合11，2 2，33，其定义如下表，其定义如下表.则则g(f(1)g(f(1)、g(f(2)g(f(2)、g(f(3)g(f(3)的值依次为的值依次为_._.2.2.求下列函数的值域求下列函数的值域.(1)y=1-2x (xR)(1)y=1-2x (xR)(2)y=|x|-1 x-2,-1,0,1,2(2)y=|x|-1 x-2,-1,0,1,2(3)y=x(3)y=x2 2+4x+3 (-3x1)

21、+4x+3 (-3x1)x x1 12 23 3f(x)f(x)2 23 31 1g(x)g(x)1 13 32 2【解析解析】1.1.由表格所知由表格所知f(1)=2f(1)=2，g(f(1)=g(2)=3.g(f(1)=g(2)=3.同理可求同理可求g(f(2)=g(3)=2.g(f(2)=g(3)=2.g(f(3)=g(1)=1.g(f(3)=g(1)=1.答案：答案：3 2 13 2 12.(1)2.(1)结合一次函数的图像可知，当结合一次函数的图像可知，当xRxR时，时，yR.yR.(2)(2)当当x x取取-2-2，1,0,1,21,0,1,2时，时，y=1y=1，0 0，1,0,

22、11,0,1，故函数值域为故函数值域为11，0 0，11(3)(3)解题流程：解题流程：【总结总结】f(a)f(a)与与f(x)f(x)异同点及二次函数异同点及二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的值域同开口方向的关系的值域同开口方向的关系.提示：提示：(1)f(a)(1)f(a)是常量，是常量，f(x)f(x)是变量，是变量，f(a)f(a)是函数是函数f(x)f(x)中当自中当自变量变量x=ax=a时的函数值时的函数值.(2)(2)二次函数二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的定义域是的定义域是R R，当，

23、当a a0 0时，时，值域是值域是B=f(x)|;B=f(x)|;当当a a0 0时，值域是时，值域是B=f(x)|B=f(x)|，它使得，它使得R R中的任意一个数中的任意一个数x x与与B B中的中的数数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)对应对应.形如形如f(g(x)f(g(x)的函数定义域的求法的函数定义域的求法【技法点拨技法点拨】形如形如f(g(x)f(g(x)的函数定义域的求法的函数定义域的求法(1)(1)已知已知f(x)f(x)的定义域为的定义域为(a,b)(a,b)，求，求f(g(x)f(g(x)的定义域的方法：的定义域的方法：由由axbaxb

24、，知，知ag(x)bag(x)b，解得的，解得的x x的取值范围即是的取值范围即是f(g(x)f(g(x)的定的定义域；义域；(2)(2)已知已知f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为(a,b)(a,b)，求，求f(x)f(x)的定义域的方法：的定义域的方法：由由axbaxb，得，得g(x)g(x)的取值范围即是的取值范围即是f(x)f(x)的定义域的定义域.【备选典例备选典例】1.1.已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1,2)-1,2)，则，则f(x-1)f(x-1)的定义域为的定义域为()()(A)(A)-1,2)(B)-1,2)(B)-2-2，0)0)(C)(C

25、)0,3)(D)0,3)(D)-2,1)-2,1)2.2.若函数若函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是0,10,1，求函数，求函数f(2x)f(2x)f(xf(x )的的定义域定义域【解析解析】1.1.选选C.C.由函数由函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-1-1，2)2)可知可知f(x-1)f(x-1)中中-1x-1-1x-12,2,解得解得0 x0 x3.3.2.2.由由【规范解答规范解答】函数定义域及函数值的求法函数定义域及函数值的求法【典例典例】(12(12分分)已知函数已知函数(1)(1)求函数的定义域求函数的定义域(用区间表示用区间表示)；(2)(2)求求f(f(3),f

26、()3),f()的值；的值；(3)(3)当当a a0 0时，求时，求f(a),f(af(a),f(a1)1)的值的值.【解题指导解题指导】【规范解答规范解答】(1)(1)要使函数有意义，只需要使函数有意义，只需2 2分分即即x-3,x-2.x-3,x-2.函数的定义域为函数的定义域为-3,-2)(-2,+)-3,-2)(-2,+).4 4分分(2)f(-3)=-1,(2)f(-3)=-1,8 8分分(3)(3)当当a a0 0时，时，又又a-1(-1,+)a-1(-1,+),所以所以 1212分分【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示及解通过阅卷后分析，对解答本题的失分警

27、示及解题启示总结如下：题启示总结如下：(注：此处的注：此处的见规范解答过程见规范解答过程)失失分分警警示示如果对函数定义域的求法不熟，就建立不起如如果对函数定义域的求法不熟，就建立不起如处处 所示的不等式组，在实际考试中所示的不等式组，在实际考试中该问不得分该问不得分.如果对如果对处处-3,-2)(-2,+)-3,-2)(-2,+)区间表示不区间表示不熟，即使不等式组求解正确，在实际考试中该熟，即使不等式组求解正确，在实际考试中该问得分不会超过问得分不会超过3 3分分.假如不写假如不写处处a-1(-1,+)a-1(-1,+)的式子，即使整的式子，即使整个题目的结果均无误，在实际考试中得分不超个

28、题目的结果均无误，在实际考试中得分不超过过1111分，因为此处是代入表达式求值的前提条件分，因为此处是代入表达式求值的前提条件.解解题题启启示示(1)(1)求函数定义域的关键是建立完备的不等式组，并取其求函数定义域的关键是建立完备的不等式组，并取其交集交集.(2)f(a)(2)f(a)是函数是函数f(x)f(x)在在x=ax=a处的函数值处的函数值.【规范训练规范训练】(12(12分分)已知已知 (xR(xR且且x-1),x-1),g(x)=xg(x)=x2 2+2(xR).+2(xR).(1)(1)求求f(2),g(2)f(2),g(2)的值的值;(2)(2)求求f(g(3)f(g(3)的值

29、的值.【解题设问解题设问】(1)f(g(3)=f(3)(1)f(g(3)=f(3)g(3)g(3)正确吗？正确吗？_;(2)(2)计算计算f(g(3)f(g(3)首先要求首先要求_的值的值.不正确不正确g(3)g(3)【规范答题规范答题】(1)(1)3 3分分又又g(x)=xg(x)=x2 2+2,+2,g(2)=2g(2)=22 2+2=6.+2=6.6 6分分(2)g(3)=3(2)g(3)=32 2+2=11+2=11，8 8分分f(g(3)=f(11)=f(g(3)=f(11)=1212分分1.1.若若 则则f(3)=()f(3)=()(A)2 (B)2 (C)2 (D)2(A)2 (

30、B)2 (C)2 (D)2【解析解析】选选A.A.2.2.函数函数 的定义域是的定义域是()()(A)R (B)x|x0(A)R (B)x|x0(C)x|x(C)x|x0 (D)x|x00 (D)x|x0【解析解析】选选C.C.由题意可知，当由题意可知，当x x0 0时函数时函数 有意义，有意义，故选故选C.C.3.3.若若a,3a-1a,3a-1为一确定区间，则为一确定区间，则a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意由题意3a-13a-1a,a,则则a a .答案：答案：(,+)(,+)4.4.若集合若集合A=x|,B=y|y=xA=x|,B=y|y=x2 2,则则AB=_.(AB=_.(用用区间表示区间表示)【解析解析】集合集合A A表示函数的定义域，集合表示函数的定义域，集合B B表示函数的值域表示函数的值域,A=x|x1,B=y|y0,A=x|x1,B=y|y0,AB=AB=1,+).1,+).答案：答案：1,+)1,+)5.5.已知函数已知函数 xR.xR.(1)(1)求求f(x)+f()f(x)+f()的值的值;(2)(2)计算：计算：f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+【解析解析】(1)(1)由由 (2)(2)原式原式