方向导数和梯度优秀PPT.ppt

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1、方向导数和梯度你现在浏览的是第一页，共26页例子：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的答案：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行一一 问题的提出问题的提出你现在浏览的是第二页，共26页0 xy方向导数图示 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题你现在浏览的是第三页，共26页ABC你现在浏览的是第四页，共26页中xOyz.P0Pl沿方向的方向导数.你现在浏览的是第五页，共

2、26页二、方向导数的定义二、方向导数的定义 设函数在内有定义。若点 沿射线 l 趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿 l 方向的方向导数。记为你现在浏览的是第六页，共26页或你现在浏览的是第七页，共26页 利用直线方程可将方向导数的定义表示为:射线 l 的方程为则故你现在浏览的是第八页，共26页比较方向导数与偏导数的概念比较方向导数与偏导数的概念在方向导数中，分母；在偏导数中，分母、可正、可负。即使 l 的方向与 x 轴,y 轴的正方向一致时，方向导数与偏导数的概念也是不同的。方向导数与偏导数是两个不同的概念 想一想，为什么？想一想，为什么？你现在浏览的是第九页，共26页 怎么计算方向

3、导数？怎么计算方向导数？你现在浏览的是第十页，共26页看看三维空间的情形你现在浏览的是第十一页，共26页定理定理(方向导数导计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中,各导数均为在点处的值.你现在浏览的是第十二页，共26页运用向量的数量积，可将方向导数计算公式表示为：其中，称为梯度你现在浏览的是第十三页，共26页在中在中可统一表示为你现在浏览的是第十四页，共26页设,求函数在点沿方向的方向导数。解例例你现在浏览的是第十五页，共26页由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在，但它在该点沿任何方向的方向导数均存在，且方向导数值都等于1：想一想，该

4、例给你什么启示想一想，该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数存在时，偏导数不一定存在。例例你现在浏览的是第十六页，共26页一个问题：一个问题：在给定点沿什么方向增加得最快？该问题仅在不同时为零才有意义。可微函数三、三、梯度梯度你现在浏览的是第十七页，共26页由前面的推导，有现在正式给出现在正式给出的定义grad u由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？方向导数等于梯度在此方向上的投影你现在浏览的是第十八页，共26页定义定义设则称向量为函数在点处的梯度，记为或你现在浏览的是第十九页，共26页 梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方

5、向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。梯度的方向与取得最大方向导数导方向一致，而它的模就是函数在该点的方向导数的最大值。以上结论可以推广到二元和三元以上的函数中。你现在浏览的是第二十页，共26页在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量你现在浏览的是第二十一页，共26页类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数你现在浏览的是第二十二页，共26页你现在浏览的是第二十三页，共26页设求并求在点处方向导数的最大(小)值。解从而例例1你现在浏览的是第二十四页，共26页解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故你现在浏览的是第二十五页，共26页1 1、方向导数的概念、方向导数的概念2 2、梯度的概念、梯度的概念3 3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）三、小结你现在浏览的是第二十六页，共26页