差分方程讲解老师优秀PPT.ppt

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1、差分方程讲解老师你现在浏览的是第一页，共69页一.数列的概念二.数列差分的概念三.差分表的性质1 数列的差分你现在浏览的是第二页，共69页一.数列的概念一个数列数列就是实数的任何(有限或无限的)有序集.这些数称为数列的项项或元素元素.用an来表示数列的第n项,称之为数列的通项通项.1 数列的差分定义定义1.1 一个数列数列是一个函数,其定义域为全体正整数(有时,为方便计,是全体非负整数集合),其值域包含在全体实数集中.你现在浏览的是第三页，共69页数列的表示:1.列举法:1 数列的差分你现在浏览的是第四页，共69页数列的表示:2.通项法:1 数列的差分你现在浏览的是第五页，共69页数列的表示:

2、1 数列的差分3.图象法:序列的项通过标出点(n,an)图示.直观,具有可视化的效果.4.描述法:你现在浏览的是第六页，共69页数列的一些例子1.假如你开了一个10000元的银行帐户,银行每月付给2%的利息.假如你既不加进存款也不取钱,那么每个月后的存款余额就构成一个数列.1 数列的差分你现在浏览的是第七页，共69页1 数列的差分2.兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄).假如养了初生的小兔一对,则每个月小兔的对数也构成一个数列(假设生下的小兔都不死)斐波那契斐波那契(Fibonacci意大利 约1170-1250本名Leonardo)1,1,2,3,5,8,13,

3、21,34,你现在浏览的是第八页，共69页二.数列差分的概念数列相邻项的差,称为数列的差分差分差分差分.1 数列的差分定义定义定义定义1.21.2 对任何数列A a1,a2,其差分算子差分算子(读作delta)定义如下:a1 a2 a1,a2 a3 a2,a3 a4 a3,一般地,对任何n有 an an1 an,你现在浏览的是第九页，共69页应用这个算子,从原来的数列A构成一个新的数列A,从数列A可得到数列2A 2an,这里 2an (an)an1 an an2 an1 an1 an an2 2an1 an,称之为数列A的二阶差分二阶差分,二阶差分2an的差分3an称为三阶差分三阶差分三阶差分

4、三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分高阶差分高阶差分高阶差分,而称an为一阶差分一阶差分.1 数列的差分你现在浏览的是第十页，共69页差分的物理和几何意义差分的物理和几何意义差分的物理和几何意义差分的物理和几何意义:在物理方面,一阶差分表示物体运动的平均速度,二阶差分表示平均加速度.在几何方面,一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率.1 数列的差分例例例例.外出汽车旅行,每小时记录下里程表的读数.设A an 22322,22352,22401,22456,22479,22511,A an 30,49,55,23,32,你现在浏览的是第十一页，共69页例例.假设我们有数列an 3n 5,

5、并考虑由表给出的关于n 1,2,3,的数列.我们按函数值列表,并考虑相邻项的差.1 数列的差分3333333-21471013161912345678n你现在浏览的是第十二页，共69页1 数列的差分你现在浏览的是第十三页，共69页定理定理1.1 若c和b为常数且对所有n 1,2,3,有 an cn b,则:1.对所有n,数列an的差分为常数;2.当画an关于n的图形时,这些点都落在 一条直线上.1 数列的差分定理定理定理定理1.21.2 若an c,其中c是一个与n无关的常数,则有一个an的线性函数(即存在常数b使 an cn b).你现在浏览的是第十四页，共69页1 数列的差分例例.对二次多

6、项式数列 ,当 时造差分表.n12345633591523024682222你现在浏览的是第十五页，共69页定理定理定理定理1.31.3 若数列an由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,2an c.1 数列的差分定理定理定理定理1.41.4 若数列an具有性质:对一切n有2an c,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注注:一般地,由k次多项式定义的数列的k1阶差分为零,反之,若数列an的k1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.你现在浏览的是第十六页，共69页例例 考虑数列an 1,3,6,10,15,21,则有an

7、2,3,4,5,6,以及 2an 1,1,1,1,1,.令 an An2 Bn C,1 数列的差分你现在浏览的是第十七页，共69页例例 求数列an n2 12,22,32,42,52,62,前n项和Sn,即n个正整数平方和.由于Sn(n1)222,32,42,52,2Sn 2n3 5,7,9,11,以及 3Sn 2,2,2,2,令 Sn An3 Bn2 Cn D.1 数列的差分你现在浏览的是第十八页，共69页由S1 1,S2 5,S3 14,S4 30得 A B C D 1,8A 4B 2C D 5(23 A 22 B 2C D 5),27A 9B 3C D 14(33A 32B 3C D 1

8、4),64A 16B 4C D 30(43A 42 B 4C D 30),1 数列的差分解关于A,B,C和D的方程组可得 A 1/3,B 1/2,C 1/6,D 0,则你现在浏览的是第十九页，共69页三.差分表的性质和应用1 数列的差分定义定义定义定义1.31.3 数列A an在第k项处是增的增的,若 ak ak1(或用算子记号,ak 0).数列A在第k项处是减的减的,若ak ak1(或ak 0).数列A在第k项处达到相对极大相对极大,若ak ak1而ak ak1(或用算子记号,ak1 0而ak 0).数列A在第k项处达到相对极小相对极小,若ak ak1而ak ak1(或ak1 0而ak 0)

9、.你现在浏览的是第二十页，共69页1 数列的差分数列A在第k项处上凹上凹,若ak ak1(或用二阶差分的算子记号,2ak1 0).数列A在第k项处下凹下凹,若ak ak1(或2ak1 0).注意注意:在k1处的二阶差分决定了k项处的凹性.决定凹性的另一种看法是:当一阶差分增加时数列上凹,而当一阶差分减小时数列下凹.定义定义定义定义1.41.4 数列A在第k项处有一个拐点拐点,倘若2ak和2ak1有不同的正负号.你现在浏览的是第二十一页，共69页1 数列的差分你现在浏览的是第二十二页，共69页1 数列的差分例例 讨论数列 n2 4n 3的性质 构造an n2 4n 3的前7个数列值的差分表,并用

10、该表确定数列在何处增加、减少,达到相对极大或极小,上凹、下凹以及是否有拐点.n101221123032435258726159724你现在浏览的是第二十三页，共69页1 数列的差分你现在浏览的是第二十四页，共69页一.差分方程的基本概念二.齐次线性差分方程的解析解2 一阶线性差分方程你现在浏览的是第二十五页，共69页一.差分方程的基本概念2 一阶线性差分方程定义定义定义定义2.12.1 差分方程差分方程是一种方程,该方程表明数列中的任意项如何用前一项或几项来计算.初始初始初始初始条件条件是该数列的第一项.出现在差分方程中的项的最大下标减去最小下标得到的数称为差分差分方程的阶方程的阶.你现在浏览

11、的是第二十六页，共69页2 一阶线性差分方程定义定义2.2 如果差分方程中包含数列变量(即包含an)的项不包含数列变量的乘积,不包含数列变量的幂,也不包含数列变量的诸如指数,对数或三角函数在内的函数,那么我们称该差分方程是线性的线性的.否则差分方程就是非线性的非线性的.注意这种限制只适用于包含数列变量的项,而不能用于不包含数列变量的其它项.线性的非线性的你现在浏览的是第二十七页，共69页2 一阶线性差分方程定义定义2.3 线性差分方程称为齐次的齐次的,如果它只包含数列变量的项.如果略掉非齐次方程中不包含数列变量的项,就得到一个齐次方程,称之为与原方程相应的相应的齐次方程齐次方程.齐次的你现在浏

12、览的是第二十八页，共69页2 一阶线性差分方程对于差分方程的研究主要是差分方程的求解(当可以求解的时候)以及讨论解的性质.能够给出解析解的差分方程是为数很少的一部分,大多数差分方程是不能给出解析解的,此时,只能对其解的性质给出一定的讨论,讨论解的性质(解的变化趋势,是周期的还是非周期的或混沌的)有两种方法:一是数值计算方法,二是定性或定性定量结合的方法.你现在浏览的是第二十九页，共69页2 一阶线性差分方程差分方程的解具有不同的形式:数值,图形,公式定义定义2.4 数值解数值解是从一个或多个初值出发迭代差分方程得到的一张数值表.你现在浏览的是第三十页，共69页2 一阶线性差分方程例如,在银行帐

13、户上以7%的利息积累起来的钱数是由差分方程 an1 an 0.07an来确定,其中an表示n个月后银行中的存款数.月本金利息nan0$1000.000$70.000011070.000 74.900021144.900 80.143031225.043 85.753041310.796 91.755751402.552 98.178661500.730 105.0510716.5.781 112.405081718.186 120.273091838.459 128.6920101967.151137.7010你现在浏览的是第三十一页，共69页2 一阶线性差分方程定义定义定义定义2.52.5

14、差分方程的一个解析解解析解是一个函数,当把它代入差分方程时就得到一个恒等式,而且还满足任何给定的初始条件.差分方程 an1 an 0.07an若把函数ak (0.07)kc,其中c为任意常数,代入差分方程就得到一个恒等式:你现在浏览的是第三十二页，共69页2 一阶线性差分方程定义定义2.6 差分方程的一个通解通解是一个函数,当代入特定值后就得到相应于不同初值的特解.ak (0.07)kc称为差分方程an1 an 0.07an的通解,因为代入c的特定值就给出与不同的初值a0相应的特解.你现在浏览的是第三十三页，共69页2 一阶线性差分方程数值解与解析解的比较数值解与解析解的比较:在求银行模型的数

15、值解时只需要一个差分方程和一个初值.这是数值解的一个强有力的性质求数值解时无须要求差分方程具有特殊的性质.只要从一个或多个初值开始进行迭代计算就行了.另一方面,因为没有第k项的一个一般的公式,每一项必须从前一项或几项算得.从一个数值解来预测解的长期性态可能是困难的.你现在浏览的是第三十四页，共69页2 一阶线性差分方程解析解给出了一个我们可以直接计算数列中任何特定项的函数.解析解的另一个优点是,当我们求得一个解析解时,通常也同时得到了通解.相比之下,用迭代计算求得的解只从属于某个初始条件.你现在浏览的是第三十五页，共69页二.齐次线性差分方程的解析解2 一阶线性差分方程定理定理定理定理2.12

16、.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为an bn c,若r 1.若r 1.你现在浏览的是第三十六页，共69页1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长差分方程模型差分方程模型你现在浏览的是第三十七页，共69页1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格

17、下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡你现在浏览的是第三十八页，共69页蛛 网 模 型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 你现在浏览的是第三十九页，共69页x

18、y0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 你现在浏览的是第四十页，共69页在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致你现在浏览的是第四十一页，共69页 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对

19、需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经济稳定经济稳定结果解释结果解释你现在浏览的是第四十二页，共69页经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平

20、供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直你现在浏览的是第四十三页，共69页模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时段的生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件你现在浏览的是第四十四页，共69页方程通解方程通解(c1,c2由初始条件确定由初始条件确定)1,2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 平衡点稳定，即平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件:平衡

21、点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了模型的推广模型的推广你现在浏览的是第四十五页，共69页2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重

22、指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.你现在浏览的是第四十六页，共69页模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；有关；4）为了安

23、全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，千克，每周吸收热量不要小于每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。你现在浏览的是第四十七页，共69页某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增

24、加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。你现在浏览的是第四十八页，共69页 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡

25、千卡 w=100千克不变千克不变你现在浏览的是第四十九页，共69页 第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千千卡卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划你现在浏览的是第五十页，共69页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型你现在浏览的是第五十一页，共69页 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,

26、w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。你现在浏览的是第五十二页，共69页运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型你现

27、在浏览的是第五十三页，共69页3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)你现在浏览的是第五十四页，共69页3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1

28、,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点你现在浏览的是第五十五页，共69页离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡的平衡点点你现在浏览的是第五十六页，共69页(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和

29、(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性你现在浏览的是第五十七页，共69页01的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定你现在浏览的是第五十八页，共69页01/2101的平衡点及其稳定性你现在浏览的是第五十九页，共69页初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 3.57,不存在任何收敛子序列不存在任何收敛子序列混沌现象混沌现象4倍周期收敛倍周期收敛你现在浏览的是第六十三页，共69页的收敛、分岔及混沌现象的收敛、分岔及混沌

30、现象b你现在浏览的是第六十四页，共69页7.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死

31、亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di你现在浏览的是第六十五页，共69页假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)你现在浏览的是第六十六页，共69页稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则 P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且解

32、解释释L对角化对角化你现在浏览的是第六十七页，共69页稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变你现在浏览的是第六十八页，共69页 1个个体在整个存活期个个体在整个存活期内的繁殖数量为内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较）3）=1时时你现在浏览的是第六十九页，共69页