圆锥曲线与性质.pptx

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1、第1页/共48页第2页/共48页第3页/共48页热点考向1 圆锥曲线的方程与性质【例1】(1)(2011陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是()(A)y2=-8x (B)y2=8x (C)y2=-4x (D)y2=4x(2)(2011福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线C的离心率等于()第4页/共48页【解题指导】(1)由准线确定抛物线的位置和开口方向是解题的关键；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由离心率的定义即可求解【规范解答】(1)选B.由准线方

2、程x=-2得 且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴)，所以y2=2px=8x(2)选A.当曲线为椭圆时，当曲线为双曲线时，第5页/共48页1.圆锥曲线的定义重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等的转化；椭圆和双曲线的定义中的定值是求标准方程的基础,在已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.第6页/共48页2.求圆锥曲线方程常用的方法常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成(mn0),这样可以避免对参数的讨论.3.圆锥曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a、b

3、、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求 的值；在双曲线中由于 故双曲线的渐近线与离心率密切相关.第7页/共48页1.若椭圆 (ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()第8页/共48页【解析】选D.依题可知 而抛物线y2=2bx的焦点 且a2=5b2,又b2=a2-c2,a2=5(a2-c2),4a2=5c2,第9页/共48页2.已知双曲线 (a0)的左焦点在抛物线y2=16x的准线上，则a=_.【解析】依题设知：双曲线 (a0)的左焦点为抛物线y2=16x的准线方程为x=-4,答案：第10页/共48页热点考向2 圆锥曲

4、线中的存在性问题【例2】(2011揭阳模拟)已知：向量 O为坐标原点，动点M满足：(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)已知直线l1、l2都过点B(0，1)，且l1l2，l1、l2与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线，使得BDE是等腰直角三角形.若存在，请指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方程)；若不存在，请说明理由.第11页/共48页【解题指导】(1)注意 的几何意义.(2)可先假设存在，设其斜率为k、由等腰直角三角形满足的条件求出其值，或其值不存在，从而得出结论.【规范解答】(1)方法一：设 则动点M的轨迹为以A、A为焦点，长轴长为4的椭圆.由动点M 的轨迹C的方程为第12

5、页/共48页方法二：设点M(x,y)，则 点 M 的轨迹C是以 为焦点，长轴长为4的椭圆动点M的轨迹C的方程为第13页/共48页(2)由(1)知，轨迹C是椭圆点B(0,1)是它的上顶点，设满足条件的直线l1、l2存在，直线l1的方程为y=kx+1(k0)则直线l2的方程为 将代入椭圆方程并整理得：(1+4k2)x2+8kx=0，可得第14页/共48页 将代入椭圆方程并整理得：(4+k2)x2-8kx=0，可得则由BDE是等腰直角三角形得：|BD|=|BE|第15页/共48页k3+4k=1+4k2k3-1=4k2-4k(k-1)(k2+k+1)=4k(k-1)k=1或k2-3k+1=0 方程的根

6、的判别式=50，即方程有两个不相等的实根，且不为1.方程有三个互不相等的实根.即满足条件的直线l1、l2存在，共有3组第16页/共48页1.解决存在性问题应注意以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.第17页/共48页2.解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).第二步：解此方程(组)或不等式(组)，

7、若有解则存在，若无解则不存在.第三步：得出结论.第18页/共48页已知椭圆C：(ab0)的离心率为 其左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上一点，且|OP|=1(O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)过点 且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.第19页/共48页【解析】(1)因为PF1PF2又|OP|=1c=1 b=1.因此所求椭圆的方程为：第20页/共48页(2)动直线l的方程为：由设A(x1,y1),B(x2,y2).则假设在y轴上存在定点M(0，m)，满足题设，则第21页/共48页

8、由假设得对于任意的kR，恒成立，第22页/共48页即 解得：m=1.因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为(0，1).第23页/共48页热点考向3 曲线中的证明问题【例3】(16分)(2011江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.第24页/共48页(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意k0，求证：PAPB.【解题指导】(1)注意PA过线段M

9、N的中点及原点，从而可求得斜率;(2)先求P点坐标，再求AB的方程(AC的方程)，用点到直线的距离公式即可求解；(3)可证两直线的斜率之积为-1.第25页/共48页【规范解答】(1)依题意得M(-2，0)，N(0，),MN的中点坐标为 4分(2)由 6分 直线AC的方程为 8分所以点P到直线AB的距离 10分第26页/共48页(3)由题意设P(x0,y0)，B(x1,y1)，则A(-x0,-y0)，C(x0,0)，A、C、B三点共线，12分又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：14分 PAPB.16分第27页/共48页1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤第一步：设方程及点的坐标.第二步：联立

10、直线方程与曲线方程得方程组，消元得出方程.(注意二次项系数是否为零)第三步：应用根与系数的关系及判别式.第四步：结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.第29页/共48页 当二次项系数为零时，抛物线、双曲线都有特殊情况，一定要注意.第30页/共48页2.有关弦的中点问题的求解策略(1)通法即根与系数关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式建立等式求解.第31页/共48页(2)点差法点差法是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率.点差法的步骤：第一步：将两交点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程.第二步：作差消去常数

11、项得到关于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的关系式.第三步：应用斜率公式及中点坐标公式求解.一定要注意验证所求得的直线与圆锥曲线是否相交.第32页/共48页椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 并与直线y=x+2相切.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过圆D：x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线m,n 求证：mn第33页/共48页【解析】(1)由 知a2=3b2椭圆方程可设为直线y=x+2与椭圆相切，代入方程后得4x2+12x+12-3b2=0满足=0.由此得b2=1.故椭圆C的方程为第34页/共48页(2)设P(x0,y0).当 时，有一条切线斜率不存在，此时，刚

12、好y0=1，可见，另一条切线平行于x轴，mn；设 则两条切线斜率存在.设直线m的斜率为k，则其方程为y-y0=k(x-x0)即y=kx+y0-kx0，代入并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0.由=0可得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0注意直线n的斜率也适合这个关系，所以m,n的斜率k1,k2就是上述方程的两根，第35页/共48页由根与系数的关系得，由于点P在圆D：x2+y2=4上，3-x02=-(1-y02)，所以k1k2=-1.这就证明了mn.综上所述，过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m,n，总有mn.第36页/共48页第3

13、7页/共48页分类讨论思想解析几何中含参数问题 解析几何中含参数问题类型：(1)求直线的方程时，对直线斜率的讨论；(2)求直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论；(3)求线段长度、图形面积的最值时，对解析式中含有的参数进行讨论；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等.第38页/共48页 求解时注意的问题：(1)含参数的问题在求解时要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，在分类时要本着最简原则，做到分类合理、不重不漏.(2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集.第39页/共48页【典例】(14分)(2011广东高

14、考)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPO=AOP(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知T(1,-1)，设H是E上的动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1,-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围 第40页/共48页【解题指导】(1)依题设应对动点M所处的位置进行讨论；(2)由(1)得到的轨迹分别求解，注意各曲线的性质；(3)可根据直线的斜率，讨论直线与曲线E有且只有两个交点的情况.【规范解答】(1)连接OM，则|

15、PM|=|OM|MPO=AOP，动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设M(x,y)2分第41页/共48页当MPl时，|MP|=|x+2|，化简得y2=4x+4(x-1)4分当M在x的负半轴上时，y=0(x-1)综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x-1)或y=0(x-1)6分(2)由(1)知M的轨迹是顶点为(-1,0)，焦点为原点的抛物线和x的负半轴 y=0(x-1)7分第42页/共48页若H是抛物线上的动点，过H作HNl于N由于l是抛物线的准线，根据抛物线的定义有|HO|=|HN|,则|HO|+|HT|=|HN|+|HT|当N，H，T三点共线时，|HN|+|HT|有最小值|TN|=

16、3，求得此时H的坐标为 9分若H是x的负半轴y=0(x-1)上的动点显然有|HO|+|HT|3综上所述，|HO|+|HT|的最小值为3，此时点H的坐标为第43页/共48页(3)如图，设抛物线顶点A(-1，0)，则直线AT的斜率点T(1，-1)在抛物线内部过点T且不平行于x,y轴的直线l1必与抛物线有两个交点则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：当 时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点；11分当 k0时，直线l1与轨迹E有且只有三个不同的交点；12分第44页/共48页当k=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点；当k0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点.13分综上所述，直线l1的斜率k的取值范围是14分第45页/共48页第46页/共48页第47页/共48页感谢您的观看！第48页/共48页