定积分的几何意义.pptx

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1、1、求曲边梯形面积分割-近似代替-求和-取极限2、定积分定义3、定积分几何意义4、定积分计算性质第1页/共21页1.求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)近似代替:任取x xi xi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(x xi)而宽为D Dx的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。(4)取极限:所求曲边梯形的面积S为 (3)求和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1x xi (1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x第2页/共21页2.2

2、.定积分的定义定积分的定义 如果如果当当n n时，时，S S 无限接近某个无限接近某个常数常数，这个常数叫做函，这个常数叫做函数数f(x)在区间在区间a,b上的定积分，上的定积分，记作记作分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限 说明说明:定积分是一个数值定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即而与积分变量的记法无关，即第3页/共21页定积分的定义：定积分的定义：被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限积分号a,b叫做积分区间第4页/共21页 的实质的实质 （1 1）当）当f f(x x)在区间在区间a a,b b上上

3、大于大于0 0时，时，表示表示 由由 ，这也是定积分的几何意义，这也是定积分的几何意义.（2 2）当）当f f(x x)在区间在区间a a,b b上上小于小于0 0时，时，表示表示 .直线x x=a a,x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线y y=f f(x x)所围成的曲边梯形的面积由直线x x=a a，x x=b b(a ab b),),y y=0=0和曲线y y=f f(x x)所围成的曲边梯形的面积的相反数3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义：第5页/共21页3 3、定积分的几何意义、定积分的几何意义：Ox yab yf(x)x a、x b与 x轴所围成的曲边

4、梯形的面积。第6页/共21页 当f(x)0时，由y f(x)、x a、x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，x yO-ab y f(x)y-f(x)-S上述曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：定积分的几何意义：-S第7页/共21页根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?ab yf(x)Ox y定积分的几何意义：定积分的几何意义：第8页/共21页 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性性质性质3 34.4.定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1 1性质性质2 2ab y=f(x)cOx y(a(ac cb)b)第9页/

5、共21页S-SS S表示以表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积ababxxyy00SS2.2.如果如果f(x)在在a,b上时正，时负，如下图上时正，时负，如下图abxyy=f(x)0-几何意义第10页/共21页0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例例1.用定积分表示图中四个用定积分表示图中四个阴影部分面积阴影部分面积变式变式:用定积分表示下列用定积分表示下列阴影部分面积。阴影部分面积。（1）（2）0 0 1 12 2 x xy y1 11 1-1-10 0y yx x第11页/共21页例例2.2.解：

6、xyf(x)=sinx1-1变式变式:1 1）2 2）例例3.3.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。1 1）2 2）第12页/共21页变式变式1.1.变式变式2.2.变式：变式：求右图阴影部分的面积。求右图阴影部分的面积。0 0 x x1 1y y第13页/共21页 解：由定积分几何意义可知1 10 0 x xy yy=xy=x-465OxyAB变式1.第14页/共21页变式2.x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的第15页/共21页 例例5.5.分析：如图所示分析：如图所示0 01 12 2y yx x第16页/共21页 变式变式.求下图阴影部分的面积。解：由定积分几何意义知 0 0 x x1 1y y第17页/共21页解 如图所示，阴影部分面积0 01 12 2y yx x第18页/共21页四、能力提升四、能力提升解解 如图所示，阴影部分面积如图所示，阴影部分面积0 01 12 2y yx x第19页/共21页 变式练习变式练习 计算 解解 由函数的性质与定积分的几何意义可知由函数的性质与定积分的几何意义可知0 01 1x xy y第20页/共21页谢谢大家观赏！第21页/共21页