应用多元统计分析课后习题答案高惠璇第六章习题解答.pptx

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1、1 第六章第六章 聚类分析聚类分析 6-1 证明下列结论:(1)(1)两个距离的和所组成的函数仍是距离;(2)(2)一个正常数乘上一个距离所组成的函数仍是距离;(3)(3)设d为一个距离,c0 0为常数,则仍是一个距离;(4)(4)两个距离的乘积所组成的函数不一定是距离;第1页/共38页2第六章第六章 聚类分析聚类分析(2)设d是距离,a 0为正常数.令d*=ad,显然有第2页/共38页3第六章第六章 聚类分析聚类分析故d*=ad是一个距离.(3)设d为一个距离,c0 0为常数,显然有第3页/共38页4第六章第六章 聚类分析聚类分析故d*是一个距离.第4页/共38页5第六章第六章 聚类分析聚类

2、分析第5页/共38页6第六章第六章 聚类分析聚类分析6-2 试证明二值变量的相关系数为(6.2.2)式，夹角余弦为(6.2.3)式.证明：证明：设变量Xi和Xj是二值变量，它们的n次观测值记为xti,xtj(t=1,n).xti,xtj 的值或为0，或为1.由二值变量的列联表（表6.5）可知：变量Xi取值1的观测次数为a+b,取值0的观测次数为c+d;变量Xi和Xj取值均为1的观测次数为a,取值均为0的观测次数为d 等等。利用两定量变量相关系数的公式：第6页/共38页7第六章第六章 聚类分析聚类分析第7页/共38页8第六章第六章 聚类分析聚类分析故二值变量的相关系数为：(6.2.2)第8页/共

3、38页9第六章第六章 聚类分析聚类分析利用两定量变量夹角余弦的公式：其中故有第9页/共38页10第六章第六章 聚类分析聚类分析6-3 下面是5个样品两两间的距离阵试用最长距离法、类平均法作系统聚类，并画出谱系聚类图.解:用最长距离法:合并X(1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1.第10页/共38页11第六章第六章 聚类分析聚类分析 合并X(2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3.合并CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=8.所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=10.第11页/共38页12第六章第六章 聚类分析聚类分析最长距离法的谱系聚类图如下:第12页/共38页13第六章第六

4、章 聚类分析聚类分析 合并X(1),X(4)=CL4,并类距离 D1=1.用类平均法:第13页/共38页14第六章第六章 聚类分析聚类分析 合并X(2),X(5)=CL3,并类距离 D2=3.合并CL3,CL4=CL2,并类距离 D3=(165/4)1/2.所有样品合并为一类CL1,并类距离 D4=(121/2)1/2.第14页/共38页15第六章第六章 聚类分析聚类分析类平均法的谱系聚类图如下:第15页/共38页16第六章第六章 聚类分析聚类分析6-4 利用距离平方的递推公式来证明当0,p0,q0,p+q+1时,系统聚类中的类平均法、可变类平均法、可变法、Ward法的单调性.证明：设第L次合

5、并Gp和Gq为新类Gr后,并类距离DL Dpq,且必有Dpq2Dij2.新类Gr与其它类Gk的距离平方的递推公式,当0,p0,q0,p+q+1 时 这表明新的距离矩阵中类间的距离均 Dpq DL，故有DL1 DL，即相应的聚类法有单调性.第16页/共38页17第六章第六章 聚类分析聚类分析 对于类平均法，因故类平均法具有单调性。对于可变类平均法，因故可变类平均法具有单调性。第17页/共38页18第六章第六章 聚类分析聚类分析 对于可变法，因故可变法具有单调性。对于离差平方和法，因故离差平方和法具有单调性。第18页/共38页19第六章第六章 聚类分析聚类分析6-5 试从定义直接证明最长和最短距离

6、法的单调性.证明：先考虑最短距离法：设第L步从类间距离矩阵 出发，假设故合并Gp和Gq为一新类Gr，这时第L步的并类距离:且新类Gr与其它类Gk的距离由递推公式可知设第L+1步从类间距离矩阵 出发，第19页/共38页20第六章第六章 聚类分析聚类分析故第L1步的并类距离:即最短距离法具有单调性.类似地,可以证明最长距离法也具有单调性.第20页/共38页21第六章第六章 聚类分析聚类分析6-6 设A,B,C为平面上三个点,它们之间的距离为将三个点看成三个二维样品,试用此例说明中间距离法和重心法不具有单调性.解:按中间距离法,取=-1/4,=-1/4,将B B和C C合并为一类后,并类距离D1 1

7、=1,=1,而A A与新类Gr=B,C=B,C的类间平方距离为第21页/共38页22第六章第六章 聚类分析聚类分析故中间距离法不具有单调性。按重心法,将B B和C C合并为一类后,并类距离D1 1=1,=1,而A与新类Gr=B,C=B,C的类间平方距离为当把A与B，C并为一类时，并类距离第22页/共38页23第六章第六章 聚类分析聚类分析故重心法法不具有单调性。并类过程如下：当把A与B，C并为一类时，并类距离ABC第23页/共38页24第六章第六章 聚类分析聚类分析解一:利用如果样品间的距离定义为欧氏距离,则有6-7 试推导重心法的距离递推公式(6.3.2);第24页/共38页25第六章第六章

8、 聚类分析聚类分析第25页/共38页26第六章第六章 聚类分析聚类分析第26页/共38页27第六章第六章 聚类分析聚类分析解二:因样品间的距离定义为欧氏距离,利用第27页/共38页28第六章第六章 聚类分析聚类分析利用第28页/共38页29第六章第六章 聚类分析聚类分析故有第29页/共38页30第六章第六章 聚类分析聚类分析6-8 试推导Ward法的距离递推公式(6.3.3);解：WardWard法把两类合并后增加的离差平方和看成类间的平方距离,即把类Gp和Gq的平方距离定义为利用Wr的定义:第30页/共38页31第六章第六章 聚类分析聚类分析第31页/共38页32第六章第六章 聚类分析聚类分

9、析第32页/共38页33第六章第六章 聚类分析聚类分析(当样品间的距离定义为欧氏距离时）记GrGp,Gq,则新类Gr与其它类Gk的平方距离为利用重心法的递推公式(6-7题已证明)可得：第33页/共38页34第六章第六章 聚类分析聚类分析第34页/共38页35第六章第六章 聚类分析聚类分析6-9 设有5个样品,对每个样品考察一个指标得数据为1，2,5,7,10.试用离差平方和法求5个样品分为k类(k5,4,3，2,1)的分类法bk及相应的总离差平方和W(k).解：计算样品间的欧氏平方距离阵 合并 1,2 CL4,并类距离D1=(0.5)1/2=0.707，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离

10、得第35页/共38页36第六章第六章 聚类分析聚类分析合并 5,7 CL3,并类距离D2=(2)1/2=1.414，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得 合并 CL3,10=5,7,10 CL2,并类距离D3=(32/3)1/2=3.266，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得第36页/共38页37第六章第六章 聚类分析聚类分析 合并 CL4,CL2=1,2,5,7,10 CL1,并类距离D4=(245/6)1/2=6.39，并利用递推公式计算新类与其它类的平方距离得分类法bk及相应的总离差平方和W(k):k=51,2,5,7,10 W(5)=0k=4 1,2,5,7,10W(4)=0.5k=3 1,2,5,7,10W(3)=2.5k=2 1,2,5,7,10W(2)=13.666k=1 1,2,5,7,10W(1)=54第37页/共38页38感谢您的观看。第38页/共38页