扬州大学高等代数北大三线性空间.pptx

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1、6.2 线性空间的定义与性质第1页/共83页一.线性空间的定义第2页/共83页第3页/共83页例1 平面（空间）解析几何中的典例：第4页/共83页例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：第5页/共83页例3 Ca,b=f：a,b上连续实函数：第6页/共83页例4 （1）数域P是P上的线性空间；（2）数域C是R上的线性空间；（3）数域R非C上的线性空间.第7页/共83页例5 （1）数域P上一元多项式环Px；（2）Pxn=f(x)fn 0.第8页/共83页二.基本性质 8条算律 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.以下6条基本性质：第9页/共83页第10页/共83页第1

2、1页/共83页第12页/共83页6.2 维数、基、坐标第13页/共83页一.向量的线性相关（无关）*不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.第14页/共83页第15页/共83页第16页/共83页二.维数、基、坐标 定义5 V中有n个线性无关的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称 V是无限维的，记成dimV=.l 线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数.例1(1)V2：两相交矢量确定此平面 dimV2=2；V3：三相交矢量确定此空间 dimV3=3.(2)Pn=(a1,a2,an)|aiP,i

3、=1,2,n是n维的，e1,e2,en是Pn的一个极大无关组.(3)Rx=f(x)|f(x)是实系数多项式.当 f(x)=a0+anxn,且k0+knxn=0时有k0=kn=0成立，故 1,x,xn,是Rx的一个极大无关组 dimRx=.l 本教材仅讨论无限维线性空间.第17页/共83页 定义6 dimV=n，如果1，2，,n 线性无关，则称1,2,n 为 V 的一组基（或一个基）；V，a11+a22+ann,称 a1,a2,an 为在基1，2，,n 下的坐标，记为（a1,a2,an）.l 基是 V 中一个极大无关组 V 中有多个基，但维数是唯一确定的；l 对任意的V，可由基1，2，,n 唯一

4、线性表示 （这即说：向量 在该基1，2，,n 下的坐标唯一确定）.证明：据维数及基的定义 ，1，2，,n 线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,bn,使 b11+b22+bnn+bn+1=0 0 bn+10(否则，由1，2，,n线性无关将推出b1=b2=bn=0，矛盾)=bn+1-1(-b1)1+(-bn)n)=a11+a22+ann,即可由基1，2，,n 线性表示.第18页/共83页 设a11+a22+ann b11+b22+bnn (a1-b1)1+(a2-b2)2+(an-bn)n 0 0 由基1，2，,n 线性无关可知 a i=b i (i=1,2,n),即表示唯一.l 基相当于V

5、中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理1 1 1,2,n 是 V 的基 1,2,n 线性无关，且对任意的V，可由1,2,n 线性标出第19页/共83页第20页/共83页第21页/共83页第22页/共83页6.3 基变换与坐标变换第23页/共83页*问题的提出问题的提出：dimV=n 第24页/共83页例：例：V2=：始点为坐标原点的平面矢量：始点为坐标原点的平面矢量第25页/共83页*形式书写记号及其性质第26页/共83页*形式记号的运算性质：第27页/共83页一一 基变换公式基变换公式 第28页/共83页 第29页/共83页l 称如上公式为基称如上公式

6、为基 到基到基 的的基变换公式基变换公式；称称A为基为基 到基到基 的的过过渡矩阵渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵A是可逆矩阵是可逆矩阵第30页/共83页二二.坐标变换公式坐标变换公式命题2 基变换公式坐标变换公式第31页/共83页第32页/共83页第33页/共83页矩阵表示第34页/共83页 基变换公式基变换公式坐标变换公式坐标变换公式坐标旋转公式坐标旋转公式（平面解析几何）（平面解析几何）接前页接前页第35页/共83页三三.过渡矩阵过渡矩阵第36页/共83页第37页/共83页第38页/共83页第39页/共83页第40页/共83页第41页/共83页5 线性子空间第42页/共83页一一.子空间的概念子空

7、间的概念1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1）；2）W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.l寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性是显然的.现证充分性.据题设 W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1),2),5),6),7),8).取k=0,则k=0=0W；取k=1,则k=(1)=W 即算律3),4)成立 W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 据定义7即知W是V的子空间.l 子空间本身就是一个线性空间 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立.l 设W是

8、V的子空间，则dimWdimV.第43页/共83页补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性.取a=b=1,据题设 取b=0,据题设由定理2即知W是V的子空间.l 实例：例例1-2 取V的子集0，则0是V的子空间，称为V的零子空间零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 子空间0和V统称为V的平凡子空间平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间非平凡子空间.例例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的子空间.证明证明：取任两实系数多项式 f(x)=anxn+a1x+a0,g(x)=bmxm+b1x+b0,不妨设nm,对任意实数c,d,cf(

9、x)+dg(x)=(cbm+d0)xm+(cbn+dan)xn+(cb1+da1)x+(cb0+da0)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间.第44页/共83页例例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间.证明证明：用矩阵方程AX=0表示该齐次线性方程组，则W=A=0.对任意的,W,a,bP,A(a+b)=a A+bA=0+0=0,故知a+bW,据补充命题可知，W是Pn的一个子空间.补充例题补充例题：过原点的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间证明证明：过原点的直线上任意两个矢量的和

10、，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上,故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间.过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间.l 这里之所以要求过原点，是为了保证 0=0W成立.第45页/共83页例例6 设设1,2,rV(V是数域是数域P上的线性空间上的线性空间),则则 L(1,2,r)=k11+k22+krr|kiP,i=1,2,r是是V的一个子空间的一个子空间.证明：1,2,r L(1,2,r)L(1,2,r)是V的非空子集.任取=k11+k22+krr,=t11+t22+trr L(1,2,r),任取 a,bP,a+b=(ak1+bt1)+(akr+btr)L(1

11、,2,r)L(1,2,r)是V的一个子空间.l 例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量1,2,r ，则包含1,2,r 的一切线性组合，即包含L(1,2,r)为其子空间.l 例题结论引出如下概念：2.补充定义：设1,2,r V(V是数域P上的线性空间),称子空间 L(1,2,r)为 V 的由1,2,r 生成的的子空间；而1,2,r称为该生成子空间的生成元.第46页/共83页二二.子空间的性质子空间的性质第47页/共83页第48页/共83页第49页/共83页6.6 子空间的交与和第50页/共83页一一.子空间的交子空间的交定理5 V1，V2是V的子空间 V1V2是V的子空间 证明：0 V1

12、，V2 0 V1V2 V1V2是V的非空子集.对任意的,V1V2 ,V1，V2 对任意的a,bP,a+b V1，V2 a+b V1V2,即 V1V2 是 V 的子空间.l 由于集合的交运算满足交换律，结合律 子空间的交满足交换律，结合律 线性空间V的s个子空间的交仍是V的子空间，并可表示为：V1V2Vs=.l 一般讲，子空间的并 V1V2 不一定是V的子空间.第51页/共83页例例：二维平面二维平面V2中，中，W=x轴，轴，V=y轴均为轴均为V的的子空间子空间.如下图所示，向量如下图所示，向量1W，2V，但，但1+2却不却不在在WV中中.二二.子空间的和子空间的和定义8 V1，V2是V 的子空

13、间，V的如下子集V1+V 2称为V1与V2的和.V1+V 2=1+21V1，2V2 y V2 1 1 x第52页/共83页定理6 V1+V2是V的子空间.第53页/共83页三三.基本性质基本性质第54页/共83页 V3 v1 V2 V3 v1 V2 V3 v1 V2例1 三维几何空间V3中，V1：过原点的直线；V2：过原点且与V1垂直的平面（如图），则V1V2=0，V1+V2=V3.第55页/共83页第56页/共83页例3 在线性空间V中，有以下公式成立：L(1,s)+L(1,t)=L(1,s,1,t)第57页/共83页四四.维数公式维数公式定理定理7 设设V1，V2 是是V的子空间，则的子空

14、间，则dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1 V2)第58页/共83页V1+V2 V11,n1-m V1V2 V2 1,2,m 1,n2-m 第59页/共83页第60页/共83页l 由维数公式可知，子空间和的维数要比维数由维数公式可知，子空间和的维数要比维数的和小。例如：的和小。例如：V3中，两张通过原点的不同平中，两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间面之和是整个三维空间V3，而其维数之和是，而其维数之和是4，由此说明这两张平面的交是一维的直线。由此说明这两张平面的交是一维的直线。推论：dimV1+dimV2 n；dimV=n,则 V1V20证明：据题设及维数公式，di

15、m(V1+V2)+dim(V1 V2)=dimV1+dimV2 n.因为V1+V2是V的子空间，故 dim(V1+V2)n dim(V1V2)0 V1V20.第61页/共83页6.7 子空间的直和第62页/共83页一一 子空间直和的概念子空间直和的概念 第63页/共83页二二.子空间的直和的性质子空间的直和的性质第64页/共83页第65页/共83页第66页/共83页三三.直和概念的推广及性质直和概念的推广及性质第67页/共83页6.8 线性空间的同构第68页/共83页一一 线性空间同构的概念线性空间同构的概念定义定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，：VV/称为同构映射，并记VV/，如果 1

16、)是V到V/的双射；2)对任意的,V，(+)=()+()；3)对任意的kP,V,(k)=k().l 2),3)的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和；数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示：第69页/共83页 V V/()()()=()+()第70页/共83页 P P k ()k (k)=k()第71页/共83页第72页/共83页第73页/共83页二二.线性空间的性质线性空间的性质第74页/共83页第75页/共83页第76页/共83页第77页/共83页第78页/共83页第79页/共83页第80页/共83页第81页/共83页0 P P2 P n-1 Pn 线性空间全体第82页/共83页感谢您的观看！第83页/共83页