常微分方程(王高雄)第三版 4.1.pptx

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1、4.1 线性微分方程的一般理论 第1页/共38页一、解的存在唯一性定理1 n阶线性微分方程定义1第2页/共38页阶齐线性方程2。2阶非齐线性方程 第3页/共38页2 解的存在唯一性定理定理1足初始条件且满定义于区间存在唯一解程方及任意则对任一连续函数的都是区间及如果,),()1.4(,)(),2,1)(n-1)0)1(00btatxxxxbabtatfnitai=jLL第4页/共38页二、齐线性方程的解的性质和结构定理21 叠加原理第5页/共38页证明:故有第6页/共38页例1的解.解:第7页/共38页2.线性相关与线性无关第8页/共38页定义23 朗斯基(Wronsky)行列式).(,)()

2、(,),(),(21tWWronskytxtxtxk记为行列式的朗斯基称为函数L第9页/共38页4 函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系(1)定理3证明:使得.0)(,)(,)(),(21tWWronskybabtatxtxtxn行列式上它们的则在性相关上线在区间若函数L第10页/共38页由线性代数理论知要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,行列式它的系数就是Wronsky第11页/共38页第12页/共38页注定理3的逆不成立.如函数事实上,若有恒等式则,001=ct时推得,0t时推得第13页/共38页推论(2)定理4证明:“反证”)(0)(,)(,)(),()2.4(21b

3、tatWbaWronskybtatxtxtxn即上任何点都不等于零行列式在则它们上线性无关在区间的解如果方程L的第14页/共38页现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为第15页/共38页由解的唯一性定理知第16页/共38页由定理4易得下面结论推论2推论1.,0)(,)2.4()(,)(),(021上线性相关则该组解在使如果存在个解的在区间是方程设btaWbatnbtatxtxtxn=L第17页/共38页由定理1知,方程(4.2)满足初始条件又因为由此得定理5第18页/共38页5 齐线性方程线性无关解的存在性定理56 通解的结构(1)定理6.)2.4(个线性无关的解.一定存在阶齐线性方程nn第

4、19页/共38页证明:首先,由叠加原理(4.11)是(4.2)的解,它包含有n个任意常数,又因为故(4.11)为(4.2)的通解.第20页/共38页考虑方程组以这组常数构造第21页/共38页由解的唯一性定理得:即(2)推论(3)基本解组:注:基本解组不是唯一的.第22页/共38页三、非齐线性方程与常数变易法 非齐线性微分方程对应齐线性微分方程第23页/共38页1 非齐线性微分方程解的性质性质1证明:因为所以,由微分性质两式相加得第24页/共38页性质2证明:则故第25页/共38页2 非齐线性方程通解的结构定理7证明:这些任常数是相互独立的,(4.14)为方程(4.1)的解,由定理6的证明过程易

5、知,由性质1知,故(4.14)为方程(4.1)的通解.第26页/共38页则由性质2知,由定理6知,故即方程(4.1)的任一解都可由(4.14)表出,(4.14)包括了(4.1)的所有解.第27页/共38页一阶线性非齐微分方程的解法-常数变易法第28页/共38页3 常数变易法则为方程(4.2)的通解.此时(4.15)变为将它代入(4.1),第29页/共38页 在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令得第30页/共38页和表达式继续上面做法,直到获得第n-1个条件和表达式第31页/共38页第32页/共38页因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得积分得第33页/共38页注:第34页/共38页例1解:利用常数变易法,令解得因此故通解为第35页/共38页例2解:对应的齐线性方程为:将该齐次方程改写成:积分得:所以故方程有基本解组:将原方程改写成:第36页/共38页解得因此故原方程的通解为第37页/共38页谢谢您的观看！第38页/共38页