幂级数学习教程.pptx

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1、1.定义如如则函数项级数函数项级数.定义定义1 1幂幂 级级 数数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在区间I上的函数序列,称为定义在区间I上的第1页/共28页2.收敛点与收敛域若常数项级数收敛(发散),则称 x0 为函数项级数的收敛点(发散点).函数项级数收敛点（发散点）的全体称为其收敛域定义定义2 2(发散域).幂幂 级级 数数第2页/共28页3.和函数定义定义3 3为函数项级数则s(x)称为函数项级数和函数和函数.的前n项和序列,若极限存在,幂幂 级级 数数如如,它的收敛域为发散域为等比级数在收敛域内和函数是即有第3页/共28页函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上)注函数项

2、级数在某点x的收敛问题,实质上是定义域显然s(x)的定义域就是级数的收敛域.数项级数 的收敛问题.幂幂 级级 数数一般考虑函数它的定义域是但只有在它才是的和函数.第4页/共28页1.1.定义如下形式的函数项级数称为的幂级数幂级数.定义定义幂幂 级级 数数二、二、幂级数及幂级数及其收敛性其收敛性(将多项式函数的n次方扩充到无穷多项)因为若令t=x-x0，则所以只研究第5页/共28页的幂级数幂级数.称为2.收敛半径和收敛域级数收敛;发散;收敛域发散域幂幂 级级 数数第6页/共28页证证阿贝尔(Abel)(挪威)18021829定理定理1 1(阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理)则它在满足不等式绝对收

3、敛;发散.收敛,发散,幂幂 级级 数数如果级数则它在满足不等式的一切x处如果级数的一切x处从而数列有界,即有常数 M 0,使得第7页/共28页幂幂 级级 数数由(1)结论,这与所设矛盾.使级数收敛,则级数时应收敛,而有一点x1适合第8页/共28页(2)(2)也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确幂级数 绝对收敛;幂级数 发散.幂级数可能收敛也可能发散.幂幂 级级 数数注:收敛区域发散区域发散区域如果幂级数不是仅在x=0一点收敛,定的正数R存在,它具有下列性质:(1)(1)几何说明几何说明第9页/共28页正数R称为幂级数的称为幂级数的问:如何求幂级数的收敛半径?收敛半径收敛半径.收敛区间收敛

4、区间.幂幂 级级 数数(3)幂级数只在x=0处收敛,收敛域为单点集幂级数对一切 x 都收敛,收敛域开区间则规定则规定加上收敛的端点为收敛域收敛域.第10页/共28页定理定理2.若若的系数满足证证:1)若 0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,即时,则 因此级数的收敛半径幂幂 级级 数数第11页/共28页2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除 x=0 以外的一切 x 原级发散,对任意 x 原级数因此因此 的收敛半径为注注:据此定理幂幂 级级 数数第12页/共28页例例1 1 求下列幂级数的收敛半径与收敛域:幂幂 级级

5、数数例例2.的收敛域.第13页/共28页解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即幂幂 级级 数数第14页/共28页三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.线性运算线性运算 及的收敛半径令则有:分别为幂幂 级级 数数设幂级数第15页/共28页的收敛半径为则其和函数在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分,运算前后收敛半径不变。运算前后收敛半径不变。若幂级数幂幂 级级 数数(收敛半径不变)2.和函数的分析运算性质第16页/共28页例例3.的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,x1 时级数发散,幂

6、幂 级级 数数第17页/共28页例例4.求级数求级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,收敛域为-1，1），而及幂幂 级级 数数第18页/共28页例5 求的和函数.例6 求的和函数.并计算并计算的和。的和。幂幂 级级 数数例7求的和函数.第19页/共28页 小结小结再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数.求和函数的一般过程是:首先找收敛半径,再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可逐项求导(积分),求得新的幂级数和函数;最后幂幂 级级 数数第20页/共28页幂幂 级级 数数常用已知和函数的幂级数第21页/共28页内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减运算通项为复合式也可通过换元化为标准型再求.2)在收敛域上幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.幂幂 级级 数数第27页/共28页谢谢大家观赏！第28页/共28页