用均值不等式求最值的方法和技巧.pdf

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1、.1/4 几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时,=号成立；，、)(222Rbabaababba当且仅当a=b时,=号成立；注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一正、二定、三等；熟悉一个重要的不等式链：ba1122abab222ba.三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项配常数项 例 1 求函数221632yxx的最小值.2、配系数乘、除项 例 2 已知0,0 xy,且满足3212xy,求lglgxy的最大值.3、裂项 例 3 已知1x ,求函数521xxyx的最小值.4、取倒数 例 4 已知102x,求函数2(1)(12)xyxx的最小值.

2、5、平方 例 5 已知0,0 xy且22283yx 求262xy的最大值.6、换元整体思想 例 6 求函数225xyx的最大值.7、逆用条件 例 7 已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是 .2/4 8、巧组合 例 8 若,0a b c 且()42 3a abcbc,求2abc的最小值.9、消元 例 9、设,x y z为正实数,230 xyz,则2yxz的最小值是.几个重要的均值不等式，、)(222222Rbabaababba当且仅当a=b时,=号成立；，、)(222Rbabaababba当且仅当a=b时,=号成立；注：注意运用均值不等式求最值时的条件：一正、二定、三等；熟悉一个重要的

3、不等式链：ba1122abab222ba.三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、添、减项配常数项 例 1 求函数221632yxx的最小值.当且仅当22163(2)2xx,即24 323x 时,等号成立.所以y的最小值是8 36.2、配系数乘、除项 例 2 已知0,0 xy,且满足3212xy,求lglgxy的最大值.当且仅当32xy,即2,3xy时,等号成立.所以lglgxy的最大值是lg6.3、裂项 例 3 已知1x ,求函数521xxyx的最小值.3/4 当且仅当411xx,即1x 时,取等号.所以min9y.4、取倒数 例 4 已知102x,求函数2(1)(12)xyxx的最小值.解

4、 由102x,得10 x,1 20 x.取倒数,得 221(1 2)131 2(1)3 1131 211113212xxxxyxxxxxxx 当且仅当31211xxxx,即15x 时,取等号.故y的最小值是12.5、平方 例 5 已知0,0 xy且22283yx 求262xy的最大值.当且仅当222(1)3yx,即32x,422y 时,等号成立.故262xy的最大值是932.6、换元整体思想 例 6 求函数225xyx的最大值.7、逆用条件 例 7 已知191(0,0)xyxy,则xy的最小值是 .8、巧组合 例 8 若,0a b c 且()42 3a abcbc,求2abc的最小值.4/4 9、消元 例 9、设,x y z为正实数,230 xyz,则2yxz的最小值是.