应用统计大工期末复习综合.pdf

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1、随机试验 具有以下三个特点的试验称为随机试验：（1）重复性：试验可以在相同的条件下重复进行（2）明确性：每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前可以明确试验的全部可能结果（3）随机性：试验之前不能准确预言该次试验将出现哪一种结果 样本点与样本空间 随机试验 E 的每一个不可再分的结果，称为一个样本点；样本点的全体所组成的集合，称为 E 的样本空间。随机事件 一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件。试验中所有可能出现的基本结果，即最简单的随机事件，称之为基本事件。样本空间 称为必然事件 空集 称为不可能事件 概率的定义与性质 概率的定义 统计定义：在相同的条件下重复进行 n 次试验

2、，如果当 n 增大时，事件 A 出现的频率)(Aun稳定地在某一常数 p 附近摆动；且一般说来，n 越大，摆动幅度越小，则称常数 p 为事件 A 的概率。这样定义的概率称为统计概率。P(A)=)(limAunn=nAnn)(lim 公理化定义：设 E 是随机试验，是它的样本空间，对于试验 E 的每一个事件 A赋予一个实数，记为 P(A)，若它满足如下三个条件：（1）对任何事件，都有 0P(A)1（2）对于必然事件，P()=1（3）对于任意互不相容事件nAAA,21，有)()(iiiiAPAP，则称 P(A)为事件 A的概率。概率的性质（1）P()=0（2）对于任意互不相容事件)()(iiiiA

3、PAP，P(A+B)=P(A)+P(B)（3）)(iiAP=1,P(A)=1-P(A)（4）如果 BA，有 P(B-A)=P(B)-P(A)（5）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)2、典型例题解析 题型：基本概念、公式与简单运算 例 1、计算题：写出下列随机试验的样本空间及下列事件所包含的样本点：掷一颗骰子，出现奇数点。解：掷一颗骰子，其结果有 6 种可能：出现 1 点，2 点，3 点，6 点，可以记样本空间=1，2，3，4，5，6，那么“出现奇数点”的事件为1，3，5。例 2、计算题：口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件 A 表示第一次取到黑球，事件

4、 B 表示第二次取到黑球，用 A,B 的运算表示下列事件：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球（2）两次都取到白球（3）两次取到球的颜色不一致（4）两次取到球的颜色一致 解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且第二次取到黑球，即事件 A 不发生且事件 B 发生，可用积事件BA_表示（2）两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件 A 与 B 同时不发生，可用积事件_BA表示（3）两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件BA_发生或积事件_BA发生，可用和事件BA_+_BA表示（4）两

5、次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件_BA发生，可用和事件AB+_BA表示 例 3、填空题：设.60)(.30)(BAPAP，。（1）若 A 和 B 互不相容，则P(B)=（2）若BA，则 P(B)=（3）若 P(AB)=，则 P(B)=解题思路：根据概率的性质 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=，（1）若 A 和 B 互不相容，则 AB=，P(AB)=0，因此 P(B)=P(A+B)-P(A)=。（2）若BA，则 P(AB)=P(A)，因此 P(B)=P(A+B)-P(A)+P(A)=。（3）若 P(AB)=，则 P(B)=P(A

6、+B)-P(A)+P(AB)=。答案：（1）；（2）；（3）。附：知识拓展概率的历史 第一个系统地推算概率的人是 16 世纪的卡尔达诺。记载在他的著作 0，称)()()|(APABPABP为事件 A发生条件下，事件 B 发生的条件概率。事件的独立性：两个事件 A 与 B，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件 A 与 B 是相互独立的，即 P(AB)=P(A)P(B)概率的计算公式 加法公式 P(A+B)=P(A)+(B)-P(AB)P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)特别地，若事件nAAA,21互不相

7、容，则 P(nAAA21)=P(1A)+P(2A)+P(nA)减法公式 若 A,B 为任意两个事件，则 P(B-A)=P(B)-P(AB)若 AB，则 P(B-A)=P(B)-P(A)乘法公式 若 P(A)0,P(B)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)全概率公式 如果事件nAAA,21构成一个完备事件组，且 P(iA)0,i=1,2,n,则对于任何一个事件 B，有)|()()(1iniiABPAPBP 贝叶斯公式 如果事件nAAA,21构成一个完备事件组，且 P(iA)0,i=1,2,n,则对于任何一个事件 B，若0)(BP,有 基本事件总数 包含的基本事件数)|(

8、)()|()()|(1iniimmmABPAPABPAPBAP m=1,2,n 掷一颗骰子，其结果有 6 种可能：出现 1 点，2 点，3 点，6 点，可以记样本空间=1，2，3，4，5，6，那么“出现奇数点”的事件为1，3，5。例 2、口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件 A 表示第一次取到黑球，事件 B 表示第二次取到黑球，用 A,B 的运算表示下列事件：（题型 1）（1）第一次取到白球且第二次取到黑球（2）两次都取到白球（3）两次取到球的颜色不一致（4）两次取到球的颜色一致 解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且第二次取到黑球，

9、即事件 A 不发生且事件 B 发生，可用积事件BA_表示（2）两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件 A 与B 同时不发生，可用积事件_BA表示（3）两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件BA_发生或积事件_BA发生，可用和事件BA_+_BA表示（4）两次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB发生或积事件_BA发生，可用和事件AB+_BA表示 例 3、罐中有12 粒围棋子，其中 8 粒白子，4 粒黑子，从中任取 3 粒，求(题型 2)（1）取到的都是白子的概率（2）取到

10、两粒白子，一粒黑子的概率（3）至少取到一粒黑子的概率（4）取到的 3 粒棋子颜色相同的概率 解：设 A 表示“取到的都是白子”，B 表示“取到两粒白子，一粒黑子”，C 表示“至少取到一粒黑子”，D 表示“取到的 3 粒棋子颜色相同”。基本事件总数 n=C312(1)因为 3 粒棋子都从 8 粒白棋中取得，A 包含的基本事件数为C38，则 P(A)=CC31238=5514(2)B 包含的基本事件数为C28C14，则 P(B)=CCC3121428=5528(3)因为 3 粒棋子中至少有一粒黑子，那么这三粒棋子的颜色有三种可能：一种是一粒黑子，两粒白子；一种是两粒黑子，一粒白子；一种是三粒都是黑

11、子，故 C 包含的基本事件数为C14C28+C24C18+C34，则 P(C)=CCCCCC3123418242814 =5541 或者由于各事件的关系可看出，C=_A,所以 P(C)=P(_A)=1-P(A)=1-5514=5541(4)取到的 3 粒棋子颜色相同，要么全是白的，要么全是黑的，共有C38+C34种取法，故 P(D)=CCC3123438 =5515=113 例 4、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为和（题型3）（1）求目标被命中的概率 （2）若已知目标被命中，求它是甲射中的概率 解：设1A表示“甲命中目标”，2A表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所

12、求概率为 P(B)和 P(1A|B)已知 P(1A)=，P(2A)=，因1A与2A相互独立，利用事件之间的运算，B=1A+2A（或写成 B=1A2A）表示事件1A与2A至少有一个发生。又利用加法公式，P(B)=P(1A)+(2A)-P(1A2A)，则（1）P(B)=P(1A)+(2A)-P(1A2A)=P(1A)+(2A)-P(1A)P(2A)=+又因B1A，则（2）P(B|1A)=)()P(1BPBA=)()P(1BPA=88.06.0=2215 例 5、设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别是 1%和 2%，现在从由 A 和 B 的产品分别是 60%和 40%的产品中随机抽取一件，发现

13、是次品，则该次品属于 A 生产的概率是多少（题型 4）解：该次品可能是 A 生产的也可能是 B 生产的，工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率都已知。产品可能是 A 生产的也可能是 B 生产的，构成样本空间的一个划分。随机抽取一件，发现是次品，求该次品属 A 生产的概率实际是由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式。设事件 C 为“产品是次品”，事件 A 为“产品属 A 生产”，事件 B 为“产品属 B 生产”，因为,.60)(AP,4.0)(BP,1.00)|(ACP02.0)|(BCP 由全概率公式，有014.0)|()()|()()(BCPBPACPAPCP 又由贝叶斯公式，有)()|()()|(CPACPAPCAP 说明：由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式解决此类问题。此题的计算结果表明：工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别是 1%和 2%，但从由 A 和 B 的产品分别占60%和 40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，该次品属 A 生产的概率变为73，该次品属 B 生产的概率变为74。P(C|A)的意思是在属 A 生产的产品中发现次品的概率，正好是 A 产品的次品率，所以不能混淆 P(A|C)和 P(C|A)，否则只会得出错误的结果。