线性代数期末复习试卷及答案.pdf

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1、 1 线性代数 期末练习（三）一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.已知110,122xABy，且AB，则 x=,y=.2.计算行列式222233331111abcdabcdabcd=.3.若tA31322101,且0,0ABB,则 t=.4.设为齐次线性方程组0AX的解，*为非齐次线性方程组 AX=b 的解，则*2 为 的解.5.设1234101200101201D，求11121314AAAA=.6.已知1100120000210031A，则1A=.7.设三阶方阵1212,2,3AB ，其中 ,12 均是三维列向量且1,33AB,则AB .8.设3阶方阵A的特征值为1,1,2，则12A

2、 .9.已知向量(4,1,1),(,2,2)TTaa 正交，则a .10.n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 .二、选择题（每题 3 分，共 15 分）2 1.若齐次线性方程组1231231232000 xxxxkxxkxxx有非零解，则k必须满足（）.()4Ak ()1Bk ()41Ckk 或 ()41Dkk 且 2.设,A B X为同阶矩阵，且,A B可逆，则下列结论错误的是（）.1()=,AAX BXA B若则 1()=,BXA BXBA若则 11(),CAXBCXA CB若则 11(),DABXCXA B C若则 3.向量组12(2)ss，线性相关的充分必要条件是（）.12()s

3、A，中至少有一个零向量 12()sB，中任意一个向量可由其余向量线性表示 12()sC，中至少有一个向量可由其余向量线性表示 12()sD，中任意一个部分组线性相关 4.已知三阶矩阵 A 的特征值为2,1,3，I 为单位矩阵，则下列矩阵中可逆矩阵是（）.()2AIA ()2BIA ()CIA ()3DAI 5.设 A 为 n 阶实对称矩阵，则 A 是正定矩阵的充分必要条件是（）.()TAx Ax二次型的负惯性指数为零 ()BA没有负特征值 ()TCnCAC C存在 阶矩阵，使得 ()DA与单位矩阵合同 三、计算题（每题 8 分，共 40 分）1.计算行列式 1122331001 1001100

4、11aaaaaa 3 2.设033110,2123AABAB，求 B.3.问常数k取何值时,方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx无解，有唯一解，或有无穷多解，并在有无穷多解时写出其全部解.4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),TT3(2,3,1,1,2),T 4(3,6,9,7,9)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.5.求一个正交变换，将二次型22212312233(,)2363f x xxxxx xx化为标准形.四、综合题（每题 5 分，共 15 分）1.已知 n 阶矩阵 A 满足220AAI，证明AI可逆，并求其逆

5、（其中 I 为单位矩阵）.2.判断向量组112,223,334,441的线性相关性.3.如果 n 阶矩阵 A 满足2AI（其中 I 为单位矩阵），证明()()r AIr AIn（r 表示矩阵的秩）.线性代数 期末练习（三）(参考答案)一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1.已知110,122xABy，且BA，则 x=0 ,y=1 .2.计算行列式222233331111abcdabcdabcd=(d-a)(d-b)(d-c)(c-a)(c-b)(b-a).3.若tA31322101,且0,0ABB,则 t=52.4 4.设为齐次线性方程组0AX的解，*为非齐次线性方程组 AX=b 的解，则

6、*2为_AX=b_的解 5.设1234101200101201D，求11121314AAAA=-1 .6.已知1100120000210031A，则1A=2100110000110032 7.设三阶方阵 1212,2,3AB ，其中 ,12 均是三维列向量且1,33AB,则5AB.8.设3阶方阵A的特征值为1,1,2，则12A -4 .9.已知向量(4,1,1),(,2,2)TTaa 正交，则a -2 .10.n 阶矩阵 A 可对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 .二、选择题（每题 3 分，共 15 分）1.若齐次线性方程组1231231232000 xxxxkxxkxx

7、x有非零解，则k必须满足（C）.()4Ak ()1Bk ()41Ckk 或 ()41Dkk 且 2.设,A B X为同阶矩阵，且,A B可逆，则下列结论错误的是（D）.1()=,AAX BXA B若则 1()=,BXA BXBA若则 11(),CAXBCXA CB若则 11(),DABXCXA B C若则 3.向量组12(2)ss，线性相关的充分必要条件是（C）.12()sA，中至少有一个零向量 5 12()sB，中任意一个向量可由其余向量线性表示 12()sC，中至少有一个向量可由其余向量线性表示 12()sD，中任意一个部分组线性相关 4.已知三阶矩阵 A 的特征值为2,1,3，则下列矩阵

8、中非奇异矩阵是（A）.()2AIA ()2BIA ()CIA ()3DAI 5.设 A 为 n 阶对称矩阵，则 A 是正定矩阵的充分必要条件是（D）.()TAx Ax二次型的负惯性指数为零 ()BA没有负特征值 ()TCnCAC C存在 阶矩阵，使得 ()DA与单位矩阵合同 三、计算题（每题 8 分，共 40 分）1.计算行列式 1122331001 100110011aaaaaa 解：1223321100010=01 10011rraaaaa原式123233100010001001 1aarraa1432310001010010001arraa.2.设033110,2123AABAB，求 B

9、.解：由2ABAB，得(2)AI BA，即：1(2)BAIA .而112331 331(2)11 01 132121111AI，则1(2)BAIA1 3303 303 311 1311 0=1 2 321111 2 311 0 .3.问常数k取何值时,方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无 6 穷多解时写出其全部解.解：系数矩阵行列式为111114112kAkkk 当0A 时，即1k 且4k，有唯一解;当1k 时，2131111411141111,000511240238rr rr，无解；当4k 时，21311 1441144141 1

10、60552011240228rrrr21232114410301501140114200000000rrrrr 方程组有无穷多解，其全部解为：1233,4,xk xk xk k 为任意常数.4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),TT3(2,3,1,1,2),T 4(3,6,9,7,9)T的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.解：对1234(,)A进行初等行变换，得 2123111 711171 1171 1361 136024 130 0491219121901 020 102111 7212301 4110 0492429242902450

11、049A1911100110111744010201020102900199001001444000000000000000000000000 于是向量组的秩为 3，它的一个极大无关组为321,并且4123119244 5.求一个正交变换，将二次型222122332363fxxx xx化为标准形.解：二次型的矩阵为200033033A，200|033(2)(6)033AE，得矩阵A的特征值为1230,2,6.7 对特征值10，解方程0Ax，因200100033 011033000r，得1(0,1,1)T.对特征值22，解方程(2)0AE X，因000013013 001031000r，得2(1

12、,0,0)T.对特征值36，解方程(6)0AE X，因400100033 011033000r，得3(0,1,1)T.由于123,是属于矩阵 A 的三个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交，将它们单位化得11122(0,)|22Tp，222(1,0,0)|Tp，333|p22(0,)22T.令123(,)Pp pp，则 P 为正交矩阵，且有1TP APP AP 000020006.四、综合题（每题 5 分，共 15 分）1.已知 n 阶矩阵 A 满足220AAI，证明AI可逆，并求其逆.解：由(),2AAII得1()2AAI.2.判断向量组112223334441,的线性相关性.解：线性相关.3.如果 n 阶矩阵 A 满足IA 2，证明()()r IAr IAn.证明：（1）()()()(2)r IAr IAr IAIArIn（2）由IA 2知()()0IA IA，故IA的列向量组是方程组()0IA x的解，因此能由其基础解系线性表出，从而()()r IAnr IA，因此()()r IAr IAn.综上所述，()()r IAr IAn.