矩阵的--线性方程组.pdf

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1、第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 2010-10-9 1 矩阵的初等变换 1.定义 1 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换(1)对调矩阵两行：jirr (2)数 k 乘矩阵某一行：jkr(3)数 k 乘以矩阵某一行加到另一行的对应元素上：jikrr 把定义中的“行”换成“列”，称为矩阵的初等列变换。矩阵的初等变换-矩阵的初等行变换、矩阵的初等列变换。例，对三阶单位矩阵100010001E做初等变换。100010001E21rr 100001010=E(1,2),100010001E23r100030001=E(2(3),100010001E213rr 100010031=E(1，2(3),初

2、等方阵 定义 初等方阵 对单位矩阵施行一种初等变换得到的矩阵。有三种初等方阵：E(i,j),E(i(k),E(i,j(k)2.等价矩阵 （P59）等价矩阵的定义 如果矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B行等价:BAr 如果矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B列等价:BAc 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B,就称矩阵 A 与矩阵 B等价：A B 等价矩阵的性质(1)反身性 A A(2)对称性 若 A B,则 B A(3)传递性 若 A B,B C,则 A C 3.阶梯形矩阵 阶梯型矩阵就是各行排在前面零的个数，随着行数的增加而严格增加.下面矩阵是阶梯

3、形：下面矩阵不是阶梯形：4.行最简形矩阵 在阶梯形矩阵当中，非零行的第一个非零元素是 1，且所在列其它元素是 0。例如下面矩阵是行最简形矩阵。例题：把下面矩阵化为行最简形矩阵。34732038234202173132A 方法：先化为阶梯形矩阵：方法：用初等变换（行初等变换）目标：上三角形 再化非零行第一个非零元素为 1，并把所在列的其他元素化为 0。23137120241202412024231370111132830328300889122374323743077811A 120241202412024011110111101111088912000140001407781100014000

4、00（再化行最简形）1200410002011030110300014000140000000000 机动例：再把上述矩阵化为行最简形。5.矩阵的标准形 任何一个nm矩阵 A,总可以经过初等变换把它化为标准形 nmrOOOEF,标准形由 m,n,r 三个数完全确定，其中 r 是行阶梯形中非零行的行数。例如 P61,FB00000001000001000001000003100030110401015 6.用矩阵的初等行变换方法求逆矩阵（1）理论准备 方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵tPPP,21,使 tPPPA21.（2）求逆矩阵的方法 7.用矩阵的初等行变换方法求矩阵方程 (

5、A|B)初等行变换（E|BA1）例 3（P65）求解矩阵方程BAX，其中231221312A，520211B。解：方程两边左乘 A 逆阵：1XA B，（有两个方法求1XA B：方法一：先求 A 的逆阵1A，再做乘法运算1A B。方法二：利用行初等变换：(A|B)初等行变换（E|BA1）。例 1（P64）设264211112A的最简形矩阵为 F，求 F,并求一个可逆矩阵P，使 PA=F.方法：（A|E）初等行变换（F|P）6 作业 P 78 1（1）（2），2，3（1），4（1），5（1）堂上练习 题 6（注意矩阵方程的表示，求解）2 矩阵的秩 1.定义 定义 3 A 的 k 阶子式 在矩阵 A

6、 中任选 k 行 k 列，这些行列交叉处的元素按原来顺序组成的一个行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式。定义 4 矩阵的秩 如果矩阵A中不等于0的子式最高阶数为r，则称r 为矩阵的秩.记为 R(A),即 R(A)=r.2结论 满秩矩阵 可逆矩阵成为满秩矩阵，此时0A 0A,R(A)=n,0A,R(A)n.定理 2 若 A B,则 R(A)=R(B).推论 若可逆矩阵 P,Q 使 PAQ=B,则 R(A)=R(B)。3计算矩阵秩的方法 按定义求矩阵的秩的方法 找到一个 r 阶子式不等于 0，证明所有 r+1 阶子式全等于 0 此时，R(A)=r 例 计算下列矩阵的秩 000001300012200

7、20121A,43363320422012166242B A 有一个三阶子式不为零，即06300220011，A 的所有四阶子式全为零（因为 A 的所有四阶子式的最后一行全为零），所以 A 的秩等于 3，即 R(A)=3。事实上，A 是一个阶梯形矩阵,关于矩阵的秩有下面的结论：矩阵的秩=阶梯形矩阵中的阶梯个数。即 矩阵的秩=阶梯形矩阵中非零行向量的个数 用初等行变换方法求矩阵的秩 用初等行变换方法把矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵中非零行向量的个数即为矩阵的秩。解：用初等行变换方法求 B 的秩，并求 B 的一个最高阶非零子式。43363320422012166242B4336332042662422

8、0121 2360012200260002012126000236001220020121 2600013000236002012100000130002360020121 因为不为零的行向量有三个，所以 B 的秩等于 3,即 R(B)=3。在阶梯形矩阵当中，由前三行的第 1，3，4 列所构成的三阶子式不为零（018300360011），所以，在 B 中选相应的三阶子式也不为零，即012202011622。4秩的性质,min)(0nmAR；)()(ARART；若 A B,则 R(A)=R(B)；若可逆矩阵 P,Q 使 PAQ=B,则 R(A)=R(B)；)()(),()(),(maxBRARB

9、ARBRAR；)()()(BRARBAR；)(),(min)(BRARABR；若OBAlnnm，则nBRAR)()(;设OBA，若 A 为满秩矩阵，则OB。3 线性方程组的解 考察下面的线性方程组(解是什么)2xxx1xxx321321 0 xxx2xxx321321 关于线性方程组，我们关心的问题是：方程组是否有解 如何求解 如何表示解（解的结构）1 基本概念 非齐次线性方程组 AX=b 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb 1111121212222211,nnmmmnnmxbaaaaaaxbAXbaa

10、axb 系数矩阵 A 增广矩阵 )|(bAB 注意：mn 非齐次线性方程组（m 个方程 n 个未知数）齐次线性方程组 AX=O 2 方程组的解：如果一组数 c1,c2,.,cn 分别代入方程组 x1,x2,xn 中，结果每个方程成为恒等式，称 c1,c2,.,cn 是方程组的解。方程组有解，称它是相容的(P71)；方程组无解，称它是不相容的。3 方程组的初等变换(1)对调两个方程的位置(2)用非零数乘以某个方程(3)数乘某个方程加到另一个方程上（方程组的初等变换相当于对增广矩阵作初等行变换）结论 线性方程组经过初等变换后，成为它的同解方程组。方程组与增广矩阵的关系：4求解线性方程组 非齐次线性

11、方程组的解 方法：用初等行变换将增广矩阵化为行最简形（行最简形对应的方程组与原方程组是同解方程组）；写出同解方程组；求同解方程组。例 解线性方程组 例 1 方程组的解为239321xxx。写成向量形式：104012tzyx 练习，写出下面方程组的增广矩阵，写出增广矩阵化为行最简形矩阵对应的同解线性方程组。1234123412342121255xxxxxxxxxxxx 1211|11201|0121 1|10010|11251|50000|0A 同解方程组为 1243201xxxx 解之 124321xxxx 24,xx可任取，称为自由位知量，一般用 c 表示任意常数，故有 1122134221

12、xccxcxxc,写出其向量形式：010010010012214321ccxxxx 这个解称为方程组的一般解（或通解）.（机动 P75,例 12）7 作业 P79 9,10(3),12,14(2)(3),5 如何判断方程组有解(线性方程组解的讨论)从上节的例 1，R(A)=3,()3R A,)A(R)A(R方程组有解.从例 2 可看出：)A(R)A(R=2,方程组有无穷解 从例 3 可看出:R(A)=2,()3R A,方程组无解 事实上，任何一个增广矩阵可通过初等行变换化为阶梯形（行最简形），从阶梯形矩阵我们可研究系数矩阵的秩和增广矩阵的秩，从而在研究方程组的解。设 R(A)=r，则增广矩阵可

13、化为如下阶梯形（行最简形）1rrrn1rr2n21r21n11r1d00000dcc100dcc10dcc001)bA(A 注意到阶梯形矩阵所对应的线性方程组与原方程组是同解方程组。当且仅当 d r+1=0,即 r)A(R)A(R时方程组有解，并且 如果 r n，方程组的解为 nrn1r1rrrrnn21r1r222nn11r1r111xcxcdxxcxcdxxcxcdx 含有 nr 个自由未知量，有无穷解。如果r=n，方程组有唯一解 nn2211dxdxdx 定理 n 元线性方程组解的情况如下：（1）对于非齐次线性方程组Ax=b，有解的充要条件是)()(ARAR(2)有无穷解的充要条件是 n

14、)A(R)A(R（无穷解中含有 nr 个自由未知量（r R(A)）(3)有唯一解的充要条件是 n)A(R)A(R 推论：若 mn，方程组有唯一解的充要条件是系数行列式不等于 0。6齐次线性方程组的解 齐次线性方程组的矩阵形式为Ax=0.显然，Ax=0一定有解，因为)A(R)A(R永远成立。如果齐次线性方程组只有一个解，那么肯定就是零解。如果齐次线性方程组有无穷解，那么除零解以外还有别的解，称为非零解。定理 n 元齐次线性方程组解的情况如下：（1）只有零解的的充要条件是 n)A(R(2)有非零解（无穷解）的充要条件是 n)A(R 推论：齐次线性方程组中若 m=n，则有（1）只有零解的的充要条件是

15、 0A (2)有非零解（无穷解）的充要条件是 0A 解齐次线性方程组Ax=0 的一般方法 例 10 求解齐次线性方程组 0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 046300463001221034110221201221A 000000342100352010000003421001221，同解方程为03420352432431xxxxxx，由此得 432431342352xxxxxx，（43,xx为自由位未知量），令2413,cxcx，得2413212211342352cxcxccxccx，写成向量形式为 1034350122214321ccxxxx。例 13

16、讨论非齐次线性方程组的解 设线性方程组为 321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxx 问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解，并求其通解。解法一，对增广矩阵作初等行变换，把它化为行最简形，对系数矩阵的秩和增广矩阵的秩进行讨论。0111311111111131110111A)1()2(030111)3)(1()3(0030111（1）当0且3时，)()(ARAR=3，方程组有惟一解；（2）当0，)(AR=1，2)(AR，方程组无解；（3）当3时，)()(ARAR=2 n,(n=3),方程组有无穷解。这时，000021101101000063303211

17、A 由此得同解方程组213231xxxx，解之213231xxxx，3x为自由未知量，方程组的通解为cxcxcx32121，c 为任意常数，即 021111321cxxx 解法二 P 76 因为系数矩阵 A 是方阵，故方程组有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于 0，即0A,而 113113113111111111A=)3(111111111=2)3(0000111)3(（1）当0且3时，0A，方程组有惟一解；（2）当0时，000010000111011131110111A )(AR=1，2)(AR，方程组无解；（3）当3时，011231213211321131210112A000021103211633063303211 000021101101)()(ARAR=2 n,(n=3),方程组有无穷解。这时，方程组的通解为 100021321cxxx（堂上练习，P79,题 16，参考 ppt 3-3）增广矩阵为 000000001111111111111111A)()(ARAR=1 n (n=3)对应的方程组为 增广矩阵为 300021104211300063304211933063304211111221214211421121211112A )(AR=23)(AR,方程组无解。8 作业 P79 13(2)(3),14（1），15，16，18