福建省福州市2020届高三上学期期末质量检测数学(文)试题.pdf

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1、福建省福州市 2020 届高三上学期期末质量检测 数学（文）试题 一、单选题 1设复数=2z ii，则z（）A3 B5 C3 D5【答案】B【解析】求得z后再求模长即可.【详解】=221z iii,故22215z.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.2已知集合|0Ax x或2x，|12Bxx ，则（）AAB BBA CAB DABR【答案】D【解析】根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】集合,A B并无包含关系,故 A,B 均错误.又|10ABxx,或2x 故 C 错误.ABR正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3执行如图所

2、示的程序框图，若输入的,a b分别为 4,2，则输出的n（）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】根据框图直接循环计算即可.【详解】根据流程,输入 4,2,1n.6,4,2abn,不满足ab.9,8,3abn,不满足ab.27,16,42abn,满足ab.输出4n.故选：C【点睛】本题主要考查了循环框图的应用,属于基础题型.4某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm的零件，各抽取 10 件进行测量，其结果如下图所示，则以下结论不正确的是（）A甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mm B乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mm C乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定 D

3、甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值【答案】D【解析】根据图表逐个选项判断即可.【详解】对 A,甲流水线生产的零件直径的极差为50.249.80.4.故 A 正确.对 B,易得除去 3 个50.1与 3 个49.9,剩下的均为50.0.故中位数为50.0mm正确.对 C,由图表易得,乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定.故 C 正确.对 D,计算可得甲乙流水线生产的零件直径平均值均为50.0mm.故 D 错误.故选：D【点睛】本题主要考查了根据图表判断实际应用的问题.属于基础题型.5设抛物线22ypx上的三个点12323,1,32AyByCy到该抛物线

4、的焦点距离分别为123,d dd若123,d dd的最大值为 3，则p的值为（）A32 B2 C3 D143【答案】C【解析】根据抛物线的定义直接分析可得33,2Cy到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可.【详解】根据抛物线的定义可得33,2Cy到抛物线的焦点距离最大为3322p.故3p.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型.6函数2exyx的大致图象为（）A B C D【答案】A【解析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.【详解】22(2)xxxyxex ex xe,故2exyx在,2 上单调递增,2,0上单调递减,0,上单调递增.且当0 x 时2

5、e0 xyx.故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,属于中等题型.7设,x y满足约束条件33 0,3 0,2,xyxyx 则2zxy的最大值为（）A1 B3 C4 D5【答案】D【解析】画出可行域再判断2zxy的最大值即可.【详解】画出可行域,又22zxyyxz,易得在2,1处取得最大值2 2 15z .故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的简单运用,属于基础题型.8 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）.米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的

6、高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1斛米的体积约为 1.6 立方尺，圆周率3，估算出堆放的米约有（）A20 斛 B21 斛 C22 斛 D23 斛【答案】C【解析】根据圆锥的体积求解再换算单位即可.【详解】由题得该米堆为四分之一的圆锥.故体积118320853292V 立方尺.即3202001.62299斛.故选：C【点睛】本题主要考查了圆锥体积的运算以及单位的换算等.属于中等题型.9已知函数 sinf xx的部分图象如图所示，则 f x的单调递减区间为（）A4 114,43123kkkZ B135,1212kkkZ C112,2 ,412kkkZ D133 53,1241

7、24kkkZ【答案】A【解析】根据函数图像直接判断即可.【详解】易得周期T满足37541212T,故43T.且图中最高点横坐标7171412412434xT.故一个单调区间为11,4 42412T.又函数周期为43T.故单调递减区间为4 114,43123kkkZ.故选：A【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质运用,在求解根据图像求三角函数单调性的问题上可以直接根据图像求解即可.属于中等题型.10若2cos21 sin2xx，则tan x（）A1 B13 C1或13 D1或13或 3【答案】C【解析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21 sin2xx 可得2222 cossin

8、sincosxxxx sincos2cos2sinsincos0 xxxxxx sincoscos3sin0 xxxx.故sincos0 xx或cos3sin0 xx.即tan1x 或1tan3x.故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.11已知函数 lnafxxx，直线3yx 与曲线 yf x相切，则a（）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】设切点为00,x y,利用导数的几何意义与00,x y在 lnafxxx与3yx 上联立求解即可.【详解】设切点为00,x y,则 21afxxx,又直线3yx 与曲线 yf x相切故20000000113ln

9、axxyxayxx ,消去0y有0000003ln3lnaaxxxxxx ,代入第一个式子有 0000013 ln2ln20 xxxxx .易得01x.代入20011axx 有2a.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.12已知双曲线2222:1xyEab（0,0ab）的左、右焦点分别为12,F F，若E上点A满足122AFAF，且12F AF的取值范围为2,3，则E的离心率的取值范围是（）A3,5 B7,3 C3,5 D7,9【答案】B【解析】根据双曲线的定义以及122AFA

10、F可得12,AFAF,再利用12AF F中的余弦定理列式求范围即可.【详解】由双曲线的定义有122AFAFa,又122AFAF,故14AFa,22AFa.故 222221224+225cos2424aacacF AFaaa.又12F AF的取值范围为2,3,故121cos1,2F AF .即22222515111794242aceea .故7,3e.故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的性质与余弦定理的运用，需要根据题意找到对应的余弦定理关系建立关于a，b，c 的不等式是关键，属于中等题型.二、填空题 13已知向量,a b满足3,1ab，a与b的夹角为30，则a b_ 【答案】32【解析】根据

11、平面向量数量积公式求解即可.【详解】易得33 1 cos302a b .故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量数量积公式,属于基础题型.14已知函数 21,0,2,0.xxf xxx若 10f af，则a _【答案】5【解析】先求(1)f,再分情况对a进行讨论再求解即可.【详解】由题,1(1)213f 且 10f af,故()3f a .当0a 时213a 无解.当0a 时,235aa 成立.故答案为：5【点睛】本题主要考查了分段函数的运用,属于基础题型.15在钝角ABC中，已知7,1ABAC，若ABC的面积为62，则BC的长为_【答案】10【解析】利用面积公式可求得A,再用余弦定理求解

12、BC即可.【详解】由题意得,6167 1 sinsin227AA.又钝角ABC,当A为锐角时,261cos177A,则217 1 2 777BC ,即7BC 不满足钝角三角形.故A为钝角.此时261cos177A .故21712 7107BC .即10BC 故答案为：10【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.16已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，直线1AC 平面.平面截此正方体所得截面有如下四个结论：截面形状可能为正三角形；截面形状可能为正方形；截面形状不可能是正五边形；截面面积最大值为3 3 其中所有正确结论的编号是_【答案】【解析】根据题意

13、逐个选项判断即可.【详解】对,当截此正方体所得截面为11BCD时满足.故正确.对,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故错误.对,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故正确.对,当截面为正六边形时面积最大,为23623 34.故正确.故答案为：【点睛】本题主要考查了平面与正方体相交的截面问题,需要一定的空间想象能力,属于中等题型.三、解答题 17垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次

14、游戏得分作为样本进行分析，由此得到如下频数分布表：单次游戏得分 30,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90 频数 10 40 60 40 30 20 （1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在30,40)、60,70)、80,90的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率.附：185103.6，37019.24.【答案】（1）平均值 60；标准差 13.60

15、（2）23【解析】(1)直接根据平均值与标准差的公式求解即可.(2)根据分层抽样设所抽取的人进行编码,再利用枚举法求得所有的基本事件再求概率即可.【详解】（1）参与该活动的网友单次游戏得分的平均值 135 1045405560654075308520200 x 60 标准差2222222510154056054015302520200s 18513.60（2）用分层抽样抽取7人,其中得分在30,40)的有1人,得分在60,70)的有4人,得分在80,90的有2人,分别记为a,1234,b b b b,12,c c,7人中任选2人,有1,a b、2,a b、3,a b、4,a b、1,a c、2

16、,a c、12,b b、13,b b、14,b b、11,b c、12,b c、23,b b、24,b b、21,b c、22,b c、34,b b、31,b c、32,b c、41,b c、42,b c、12,c c，共 21种结果，其中2人得分在同一组的有7种,分别是12,b b、13,b b、14,b b、23,b b、24,b b、34,b b、12,c c,故2人得分不在同一组内的概率721213P .【点睛】本题主要考查用样本估计总体、平均数、标准差、古典概型等基础知识,考查考生运用概率与统计知识解决实际问题的能力、数据处理能力,考查的核心素养主要有数学建模、数学抽象、数学运算、数

17、据分析 18已知数列 na的前n项和2nSnpn，且248,a a a成等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）设14nnnbaa，求数列 nb的前n项和nT【答案】（1）2.nan（2）nT=1nn【解析】(1)利用通项公式与前n项和的关系求解参数即可.(2)由(1)有2.nan故利用裂项相消的方法求nT即可.【详解】（1）当1n 时,111aSp 当2n时,221(1)(1)21nnnaSSnpnnp nnp,经检验,1n 时也满足上式,所以21nanp 因为248,a a a成等比数列,所以2284a aa,即 23157ppp,解得1p 所以2.nan（2）由（1）及题设得,141

18、11(1)1nnnbaan nnn,所以12nnTbbb 11111(1)()()2231nn 111n =1nn【点睛】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等比数列、裂项相消法求数列的和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归和转化思想等,考查的核心素养主要有逻辑推理、数学运算等 19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA 底面ABCD，PAAB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点.（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由（2）若3AB，F为线段BC的三等分点，求多面体PAEFCD的体积【答案】（1）互相垂直，证

19、明见解析（2）334或152.【解析】(1)证明AE平面PBC中的,BC PB即可.(2)利用多面体PAEFCD的体积为P ABCDE ABFVV,分F为线段BC的两个不同的三等分点进行求解即可.【详解】解法一：（1）平面AEF与平面PBC互相垂直,理由如下：因为PA 底面ABCD,BC 平面ABCD,所以PABC 因为ABCD为正方形,所以ABBC 又PAABA,且,PA AB 平面PAB,所以BC 平面PAB 因为AE 平面PAB,所以AEBC 因为PAAB,E为线段PB的中点,所以AEPB,又PBBCB,且,PB BC 平面PBC,所以AE平面PBC,因为AE 平面AEF,所以平面AEF

20、 平面PBC （2）因为PA 底面ABCD,E为线段PB的中点,所以点E到底面ABCD的距离为12PA32,则13 3 393PABCDV ,又F为线段BC的三等分点,当113BFBC时,11333 13224EABFV,所以多面体PAEFCD的体积为333944P ABCDEABFVV；当223BFBC时,1133323222EABFV,所以多面体PAEFCD的体积为315922P ABCDE ABFVV 综上,多面体PAEFCD的体积为334或152.解法二：（1）平面AEF与平面PBC互相垂直,理由如下：因为PA 底面ABCD,PA 平面PAB,所以平面PAB 底面ABCD,又平面PAB

21、 底面ABCDAB,BCAB,BC 平面ABCD,所以BC 平面PAB 因为AE 平面PAB,所以AEBC 因为PAAB,E为线段PB的中点,所以AEPB,又PBBCB,且,PB BC 平面PBC,所以AE平面PBC,因为AE 平面AEF,所以平面AEF 平面PBC（2）同解法一【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等 20 已知圆224:3O xy，椭圆2222:1xyCab（0ab）的短轴长等于圆O半径的6倍，C的离心率为2

22、2（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于,A B两点，且与圆O相切，证明：OAOB【答案】（1）22142xy（2）证明见解析【解析】(1)由题分别计算椭圆的基本量,a b c即可.(2)分直线斜率不存在与存在两种情况讨论,当直线l斜率存在时,设其方程为,ykxm利用直线与圆相切求得223440mk,再联立椭圆方程设交点1122(,),(,),A x yB xy再得出韦达定理证明OA OB0 即可.【详解】解法一：（1）依题意,圆O半径等于2 33,因为椭圆的短轴长等于圆O半径的6倍,所以2 3262 23b,解得2b 因为C的离心率为22,所以22ca,又因为222acb,所以222ac,

23、联立,解得24a,所以C的方程为22142xy.（2）证明：当直线l斜率不存在时,直线l的方程为2 33x,或2 33x 当2 33x 时,2 3 2 32 32 3(,),(,)3333AB,则44033OA OB,故OAOB 同理可证,当2 33x 时,OAOB 当直线l斜率存在时,设其方程为1122,(,),(,),ykxm A x yB xy 因为直线l与圆相切,所以22 3|31mk,即223440mk,由22,142ykxmxy得,222(12)4240kxkmxm,所以222222168 1228 420k mkmkm,且12221224,1224,12kmxxkmx xk 所以

24、1212()()OA OBx xkxm kxm 221212(1)()kx xkm xxm 2222222(1)(24)4(12)12kmk mmkk 22234412kmk 0,所以.OAOB 综上,.OAOB 解法二：（1）同解法一（2）当直线方程为2 33y 时,2 3 2 32 3 2 3(,),(,)3333AB,则 44033OA OB,故.OAOB 同理可证,当直线方程为2 33y 时,.OAOB 当直线l不与x轴平行时,设其方程为1122,(,),(,),xtym A x yB xy 因为直线l与圆相切,所以22 3|31mt,即223440.mt 由22,142xtymxy得

25、,222(2)240.tytmym 所以22222244248 240t mtmtm,且12221222,24.2tmyytmy yt 1212()()OA OBy ytym tym 221212(1)()ty ytm yym 2222222(1)(4)2(2)2tmt mm tt 2223442mtt 0,所以,OAOB 综上,.OAOB【点睛】本小题考查圆与椭圆的标准方程及其几何性质、直线与圆的位置关系、直线椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化的思想、分类与整合思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等 21已知函数 cos

26、1f xaxx在0,6上的最大值为316（1）求a的值；（2）证明：函数 f x在区间0,2上有且仅有 2 个零点【答案】（1）2a（2）证明见解析【解析】(1)求导后利用0,6x可得导函数的正负与原函数的单调性,再利用最大值为316进行求解即可.(2)求导分析单调性后,根据零点存在定理求解 0,42fff的正负即可.【详解】（1）/cossinfxaxxx,因为0,6x,所以cossin0 xx,又10 x,所以1 cossinxxx,即cossin0 xxx 当0a 时,/0fx,所以 f x在区间0,6上递增,所以 max33116626f xfa,解得2a 当0a 时,/0fx,所以

27、f x在区间0,6上递减,所以 max01fxf,不合题意 当0a,1f x ,不合题意 综上,2a.（2）设 cossing xxxx,则/2sincos0 02gxxxxx,所以 g x在0,2上单调递减,又 010,022gg,所以存在唯一的00,2x,使得 00g x 当00 xx时,0g x,即 /20fxg x,所以 00,fxx在上单调递增；当02xx时,0g x,即 /20fxg x,所以 00,fxx在上单调递减 又 201 0,1 0,1 0442fff ,所以 f x在0,4与,4 2上各有一个零点,综上,函数 f x在区间0,2上有且仅有两个零点.【点睛】本小题主要考查

28、导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等 22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为35,2132xtyt（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2cos（1）求 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为5,3，l 与曲线 C 的交点为,A B，求11MAMB的值【答案】（1）22(1)1xy（2）5 318【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2

29、)设,A B所对应的参数分别为12,t t,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】（1）由2cos,得22cos 将cos,sinxy代入得,222xyx,所以 C 的直角坐标方程为22(1)1xy （2）设,A B所对应的参数分别为12,t t,因为直线 l 的参数方程为35,2(132xttyt为参数 所以 M(5,3)在 l 上 把 l 的参数方程代入22(1)1xy可得25 3180,tt 所以2(5 3)4 1830,所以121 25 3,180ttt t,故11MAMB=1212121 2|5 3|18ttttMAMBMAMBttt

30、t.【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.23已知函数1()212f xxx的最小值为m（1）求m的值；（2）若,a b c为正实数，且abcm ，证明：22213abc【答案】（1）1m（2）证明见解析【解析】(1)分12x与12x 两种情况去绝对值进行讨论即可.(2)利用基本不等式证明即可.【详解】（1）根据题意,函数113,122()21312,22xxf xxxxx 所以()f x为在1,2单调递减,在1,2单调递增,所以min1()1,1.2f xfm即 （2）由(1)知,1m,所以1,abc 又因为,a b c为正实数,222abab,222bcbc,222acac,所以22222abcabbcac,即222abcabbcac,所以22221()222abcabcabbcca2223()abc,即22213abc【点睛】本题考查含有绝对值的函数的最值,基本不等式的应用等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.