高二暑期文.第3讲双曲线与抛物线初步删解析.pdf

《高二暑期文.第3讲双曲线与抛物线初步删解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二暑期文.第3讲双曲线与抛物线初步删解析.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 高二暑期文.第3讲 双曲线与抛物线初步 删解析 第 26 页 考点 1：双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于12|F F且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距，焦距为2c双曲线上的点与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数2a 由上一讲椭圆的定义，自然类比到双曲线的定义双曲线的定义需要强调的地方：差的绝对值小于12FF，否则轨迹为两条射满分晋级 知识点睛 3.1 双曲线及其标准方程 第 3 讲 解析几何 2 级 椭圆初步 解析几何3 级 解析几何 4 级直线与圆锥曲线的位置关系 双曲线与

2、抛物线初步 第 27 页 线或不存在 绝对值若去掉绝对值，则轨迹只有双曲线的一支 【例1】到两定点1(3 0)F ，2(3 0)F，的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是（）A椭圆 B线段 C双曲线 D 两条射线 动点P到定点1(10)F，的距离比它到定点2(30)F，的距离少1，则点P的轨迹是（）A双曲线 B双曲线的一支 C 一条射线 D两条射线 已知点12020 2FF，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是（）A123PFPF B124PFPF C125PFPF D123PFPF 已知点A、B在一条双曲线的右支上，线段AB经过该双曲线的右焦点2F，已知 ABm，且1F为左焦点，

3、则1ABF的周长为（）A22am B42am Cam D24am【解析】D B D 经典精讲 第 28 页 B【点评】涉及双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题往往考虑用双曲线的定义求解【备选】平面内有两个定点A、B及动点P，设命题甲：|PAPB是定值；命题乙：点P的轨迹是以定点A、B为焦点的双曲线，那么（）A甲是乙的充分不必要条件 B甲是乙的必要不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】B（选讲）已知两圆221:(4)2Cxy，222:(4)2Cxy，动圆M与两圆1C，2C都相切，则动圆 圆心M的轨迹是（）A 一条直线 B 双曲线的一支 C双曲线 D双曲

4、线或一条直线【解析】D 如右图，动圆M与两圆1C，2C都相切，有四种情况：动圆M与两圆都相外切，动圆与M与两圆都相内切；动圆M与圆1C外切、与圆2C内切动圆M与圆1C内切、与圆2C外切 在C2QxyMOC1P 第 29 页 情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为0 x，是一条直线；在的情况下，设动圆M的半径为r，则1|2MCr，2|2MCr，故得12|2 2MCMC；在的情况下，同理得21|2 2MCMC 由得12|2 2MCMC 根据双曲线定义，可知此时点M的轨迹是双曲线 由可知，选择 D 考点 2：双曲线的标准方程 双曲线的标准方程：22221(00)xyabab，焦点坐标为1(0)Fc，2

5、(0)F c，222cab；22221(00)yxabab，焦点坐标为1(0)Fc，2(0)Fc，222cab；以过焦点1F，2F的直线为x轴，线段12F F的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图 设()M xy，是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2(0)c c，那么1F，2F的坐标分别是(0)c，(0)c，又设点M与1F和2F的距离的差的绝对值知识点睛 OMF2F1xy 第 30 页 等于常数2(0)aac，则点M在双曲线上的充分必要条件是 12|2MFMFa，即12|2MFMFa 因为221|()MFxcy，222|()MFxcy，所以上述条 件 转 化 为 坐 标 表 示，就 是

6、2222()()2xcyxcya，即：22222()()cxaxcyxcy，得：22222()()cxcyxcyxa 上面，两式中的右边同取“”号或同取“”号 由，得：22()cxcyxaa 将式两边平方，再整理得：2222222caxycaa 因为0ca，所以220ca设222cab，0b，则上式化为22221(00)xyabab，因此，方程是双曲线的方程，通常把这个方程叫做双曲线的标准方程它所表示的双曲线，两焦点在x轴上，焦点坐标分别为(0)c，(0)c，这里222cab 第 31 页 当标准方程中2x项的系数为正时，双曲线的焦点在x轴上；当2y项的系数为正时，双曲线的焦点在y轴上 【例2

7、】已知点125 05 0FF，动点P到1F与2F的距离之差的绝对值为8，则动点P的轨迹方程为 已知双曲线22221xyab的一个焦点为50，2ab，则双曲线的方程为 6c，经过点(5 2)，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 与双曲线221164xy有相同焦点，且经过点3 22，的双曲线标准方程为 【点评】与双曲线221164xy有公共焦点的双曲线系方程为221164xy(416)，由此可以比较方便地解决同焦点的双曲线的问题 提高班学案 1【拓 1】双曲线2255xky的一个焦点是20，那么k 尖子班学案 1【拓2】双曲线222xyk的焦距是 6，则k的值是（）A24 B6 C6 55 D3【解析

8、】B 经典精讲 第 32 页 目标班学案 1【拓3】若双曲线2288kxky的一个焦点是03，则k 若方程22193xykk表示双曲线，则k的取值范围为_【解析】3k 或9k 【思路】9030kk，或9030kk，3k或9k 【错因分析】本题易忽视焦点在y轴的情况而只由90330kkk，导致漏解【点评】方程221AxBy表示双曲线时，A、B异号；当A、B异号时，方程221AxBy表示双曲线，即方程221AxBy表示双曲线的充要条件是0AB 双曲线的几何性质（用标准方程22221(00)xyabab，来研究）：范围：xa或xa；如图 对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为 对称中心，这个对称

9、中心又叫做双曲线的中心 顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做 3.2 双曲线的简单几何性质 知识点睛 B1x=-ax=aPMA1A2B2F2F1Oyx 第 33 页 双曲线的顶点 实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的 实轴如图中，1A，2A为顶点，线段12A A为双 曲线的实轴在y轴上作点1(0)Bb，2(0)Bb，线段12B B叫做双曲线的虚轴 渐近线：直线byxa；离心率：cea叫做双曲线的离心率，1e 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔 1双曲线与椭圆的区别：双曲线是无限伸展的，椭圆是封闭曲线；双曲线有两个顶点，椭圆有4个顶点；双曲线的虚轴与椭圆的短轴；双曲线离心率1e，椭圆离心

10、率01e 2渐近线的理解：过双曲线上的一点()M xy，（考虑对称性，不妨设M是第一象限内的点）作平行于y轴的直线，设它与直线byxa相交于点P，则22|bbPMxxaaa2222babxxaaxxa，当xa时，22xxa随着x的增大而增大，从而|PM越来越接近于0 这说明，当点M从双曲线C的顶点2A开始 第 34 页 在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A时，点M和直线byxa就越来越接近，而且22bbxxaaa，故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交 其它象限内的情况与此类似 3 双曲线的开口大小：渐近线的斜率的绝对值2221bcaeaa，因此e越大，ba也越大，双曲线

11、的形状就从扁狭逐渐变得开阔 4画双曲线的草图时，一般都是先画出以22ab，为边长的矩形，它的对角线恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图 5求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程对于双曲线22221yxab，它的渐近线方程即为22220yxab，即直线ayxb 第 35 页 考点 3：双曲线的几何性质【铺垫】求出下列双曲线的渐近线方程和离心率：由可知，22220 xyab 有相同的渐近线和离心率【例3】虚轴长为 12，离心率为54的双曲线的标准方程是_ 设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程

12、为12yx，则该双曲线的离心率为（）A5 B52 C5 D54 若双曲线经过点63，且渐近线方程是13yx，则双曲线的方程是（）A221369xy B221819xy C2219xy D221183xy 若双曲线的渐近线方程为3yx，它的一个焦 点 是100，则 双 曲 线 的 方 程是 实轴长为6，渐近线方程为32yx 的双曲线的方程是 【解析】2216436xy或2216436yx；B；C 经典精讲 第 36 页 2218194xy或22194yx；【点评】已知双曲线的渐近线方程求双曲线方程时，可利用共渐近线的双曲线方程2222(0)xyab 再由其他条件求 尖子班学案 2【拓2】已知以双

13、曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线的离心率为 目标班学案 2【拓3】设ABC是等腰三角形，120ABC，则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为 抛物线相对来讲，学生应该比较熟悉了，生活中也有很多例子，比如，手电筒、太阳灶和射电望远镜就是利用抛物线的性质做的，但是学生对抛物线的认识仅是二次3.3 抛物线的定义及其标准方程 知识点睛 B2B1F2F1O yx 第 37 页 函数的图象而已，更进一步的了解将在本板块进行学习 举例，243yxx，让学生计算此二次函数上的点（随机取几个点）到点324，与直线54x 的距离之比，由此引入抛物线的定义 1平面内与

14、一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线 抛物线的画法：如图，将一根直尺固定在平板上，把直尺的一边当作定直线l，拿一块三角板，以它的较 短的直角边紧靠直线l，在另一条直角边的锐角顶点处A上结一条细绳 取这条绳长与这条直角边等长，绳的另一端扎一个小钉，并把它钉牢在平板上的F处作为定点，然后把铅笔尖紧靠三角板把绳拉紧，并将三角板紧靠l移动，笔尖画出的图形就是抛物线 从以上画图的过程可以看出，不论笔尖P移到什么 第 38 页 位置，它到定点F的距离|PF总是等于它到定直线l距离|PQ这是因为|PFPAPQPA，即|PFPQ

15、根据抛物线的这个几何特征，得出抛物线的定义 2 抛物线的标准方程：22(0)ypx p，焦点在x轴正半轴上，坐标是02p，准线方程是2px ，其中p是焦点到准线的距离 抛物线的标准方程的推导：建立平面直角坐标系：取过焦点F垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（如图所示），设|KFp，则焦点F的坐标为 02p，准线l方程为2px 设抛物线上的点()M xy，到l的距离为d，抛物线也就是集合|SMMFd 将上式两边平方并化简，得22(0)ypx p 3 抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程22(0)ypx p研究性质）：范围：抛物线在y轴的

16、右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸 对称性：以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 xylMFOKK 第 39 页 顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点此处为原点 离心率：抛物线上的点到焦点与到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用e表示，1e 学习过椭圆和双曲线的几何性质后，来看抛物线的性质和它们的区别：抛物线只有1个顶点、1个焦点、1条对称轴和1条准线，离心率为1，且没有中心 4设抛物线的焦点到准线的距离为(0)p p，抛物线方程的四种形式如下：标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程 22(0)ypxp x轴 02p，2px 22(0)ypxp 02p，2p

17、x 22(0)xpyp y轴 02p，2py FlOyxFlOyxOlFyx 第 40 页 22(0)xpyp 02p，2py 考点 4：抛物线的定义【例4】动圆M过点(02)F，且与直线:2l y 相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A28xy B28yx C2y D2x 点P到点(40)F，的距离比它到直线:6l x 的距离小 2，则点P的轨迹方程为（）A216yx B234xy C216yx D24yx【解析】A C【备选】动圆与定圆22:(2)1Axy外切，且与直线:1l x 相切，则动圆圆心P的轨迹是（）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 动点P到直线40 x的距离减去它到点(20)M

18、，的距离等于 2，则点P的轨迹是（）A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线【解析】D 经典精讲 OlFyx 第 41 页 D 目标班学案 3【拓3】点P到点(30)F，的距离比它到直线:1l x 的距离大4，则点P的轨迹是（）A一条抛物线 B一条双曲线 C 一个椭圆 D以上都不对【解析】D；考点 5：抛物线的方程与性质 提高班学案 2【铺1】抛物线240 xy的焦点坐标为 ，准线方程为 ；抛物线240 xy的焦点坐标为 ，准线方程为 ；抛物线2(0)xaya的焦点坐标为 ，准线方程为 【解析】焦点坐标为(01)，准线方程为1y；焦点坐标为1016，准线方程为116y；焦点坐标为104a，准线方程是

19、：14xa 【例5】根据下列条件，求抛物线的标准方程 焦点为(20)，；准线为1y ；焦点与双曲线221169xy的左焦点相同；焦点到准线的距离是 4；过点(12)，第 42 页 24yx或212xy【点评】抛物线标准方程中的系数p叫做焦参数，它的几何意义是焦点到准线的距离，且焦点到顶 点及顶点到准线的距离都为2p 抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是解题的关键，在方程的类型已确定的前 提下，由于标准方程只有一个参数p，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程 焦点在x轴上的抛物线标准方程可统一写成2(0)yax a；焦点在y轴上的抛物线标准方 程可统一写成2(0)xay a 尖子班学案

20、3【拓2】试分别求满足下列条件抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：过点(32)，；焦点在直线240 xy上【分析】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；而从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 【解析】所求的抛物线方程为243yx 或292xy，前者的准线方程是13x，后者的准线方程是98y ；第 43 页 所求的抛物线方程为216yx或28xy，对应的准线方程分别是4x ，2y 考点 5：抛物线定义的应用 提高班学案 3【铺1】设抛物线28(0)xay a，F是焦点，则a表示（）AF到准线的距离 BF到准线距离的14 CF到x轴的距离

21、 DF到准线距离的18 抛物线22ypx过点(22)M，则点M到抛物线准线的距离为_【解析】B【例6】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(3)M m，到焦点的距离为 5，求m的值、抛物线方程和准线方程 抛物线的焦点F在x轴上，直线3y 与抛物线相交于点A，5AF，求抛物线的标准方程【解析】抛物线方程为28xy，2 6m ，准线方程为2y 【点评】已知抛物线的某些几何元素的特征，求抛物线的标准方程的方法如下：一是由抛物线的标准方程中只有一个参数p，用待定系数法求解，但在设置方程形式时，要注意0p；二是找到焦点坐标、准 第 44 页 线方程等条件，直接利用定义求解 22yx 或21

22、8yx 目标班学案 4【拓3】抛物线上的点52 5，到焦点(0)F x，的距离为 6，则抛物线的标准方程是（）A22yx，218yx B24yx，236yx C24yx D218yx，236yx 【解析】C【例7】已知抛物线28yx，定点42A，F为焦点，P为抛物线上的动点，则PFPA的 最小值为（）A5 B6 C7 D8 已知点(3 2)M，F为抛物线22yx的焦点，点P在该抛物线上移动，当PMPF取最小值时，点P的坐标为 【解析】B P点坐标为(2 2)，【点评】本题充分应用抛物线的定义及几何特征解决问题，曲线的几何特征是曲线本身具有的性质，与曲线在坐标系中的位置无关【备选】若点A的坐标为

23、552，F为抛物线22yx的焦点，点P在抛物线上移动，则|PAPF的最小值为（）A26 B1 C29 第 45 页 D2【解析】C；【演练 1】已知两定点1(40)F ，2(40)F，动点P满足12|2PFPFa，则当2a 和 4 时，P 点的轨迹是（）A双曲线和一条直线 B 双曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条射线 D 双曲线的一支和一条直线【解析】C【演练 2】抛物线2yx 的焦点坐标为_，准线方程为_；已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点(3)Pa，到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程【解析】焦点坐标为104，准线方程为14y；【演练 3】已知点23，与抛物线220ypx

24、 p的焦点的距离是 5，则p 【演练 4】已知点34A，F是抛物线28yx的焦点，M是抛物线上的动点，当MAMF最小时，M点坐标是（）A00，B32 6，C24，D32 6，【解析】C 实战演练 第 46 页【演练 5】已知双曲线过(1 1)M，(25)N ，两点，求双曲线的标准方程【解析】双曲线的标准方程为221778xy【演练 6】讨论221259xykk表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征【解析】由于9k，25k，则k的取值范围为9k，925k，25k，分别进行讨论 当9k 时，250k，90k，所给方程表示椭圆，此时225ak，29bk，22216cab，这些椭圆有共同的焦点(4 0)，

25、(4 0)，；当925k时，250k，90k，所给方程表示双曲线，此时，225ak，29bk，22216cab，这些双曲线也有共同的焦点(4 0)，(4 0)，25k 时，220259xykk，所给方程没有对应的曲线 【点评】将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系 1有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论【解析】取一条与所有抛物线对称轴均不平行的直大千世界 第 47 页 线，则每条抛物线均只能覆盖此直线的有限段，而直线是无限的，故不能覆盖 2已知抛物线21yx上一点1 0B ，若抛物线上存在两点P Q，且使得PQPB，则Q点横坐标的取值范围为 设点PPQQP xyQ xy，由1PBPQkk，得11QPPPQPyyyxxx，即 22211111QPPPQPxxxxxx，化简得211PPQPxxxx，其中1Px 以下略