因式分解讲义.pdf

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1、可编辑 环球雅思学科教师辅导教案 授课主题 因式分解 教学目标 1、使学生理解并掌握因式分解的概念 2、能够熟练的运用提公因式法公式法、分组分解法、十字相乘法来解决常见的因 式分解题 授课日期及时段 教学内容 因式分解 知识点一：因式分解的概念及注意事项 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有

2、相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；知识点一：因式分解基本方法 方法一提公因式法 1、提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m(a+b+c).可编辑 这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为 1的、多字母的、幕指数大于 1的整式 2、提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式 3、找公因式的一般步骤（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的 （4）所有这些因式的乘积即为公因式 4、注意事项：多项式的公因式应是各项所共有的最高因式，公因式的系

3、数原则上是不定的。但对整系数的多项式，其公因式的系数一般取所有系数的最大公约数；对分数系数的多项式，其公因式的系数一般取所有分母的 最小公倍数分之一；公因式的字母取各项共有的字母，各相同字母的指数取其次数最低的。公因式可以是 单项式也可以是多项式，有时要进行适当变形才能出现公因式。题型展示:1、将下列各式分解因式:(1)3a(x y)-2b(x y);(2)12(m n)2 18(m n)3；(3)3(2x y)6(y 2x)3;1 2 2 3 2 2 2(4)a b(p q)ab(q p);4 8 2、下列分解因式结果正确的是()3 2 2 A.6(x 2)x(2 x)(x 2)(6 x)B

4、.x 2x x x(x 2x)2 2 C.a(a b)ab(a b)a(a b)D.3x n 6xn 3xn(x 2)可编辑 提高练习 2 2 1、如果b a=6,ab=7，那么a b ab的值是()A.42 B.42 C.13 D.13 2、若 4x3 6x2=2 x2(2x+k),贝U k=_.3、.2(a b)3 4(b a)2=2(a b)2(_).4、.36 X29 12 X3 3=_.5、分解因式 2 2(1)(x y)(x y)(x y)8a(x y)4b(y x)6、计算与求值 29 X20.03+72 X20.03+13 X20.03 14 X20.03.7、.先化简，再求值

5、 1 1 a(8 a)+b(a 8)c(8 a),其中 a=1,b=,c=.2 2 1 8、已知 2x y,xy 2，求 2x4 y3 x3 y4 的值.8 方法二公式法 可编辑 【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当 的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法 因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解 题型展示：1

6、 1 1 例 1.已知：a-m 1，b m 2，c m 3，2 2 2 求 a2 2ab b2 2ac c2 2bc 的值。2 解：a 2ab b2 2ac 2 c 2bc(a b)2 2c(a b)2 c (a b c)2 1 1,b 1 2,1 a m _m c m 3 2 2 2 原式(a b c)2 2 2 a b(a b)(a b)2 2 2 a 2 ab b(a b)a3 b3(a b)(a2 ab b2)可编辑 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变 形后再把条件带入，从而简化计算过程。3 3 3 例 2.已知 abcO,a b

7、c 0，求证：a5 b5 c5 0 证明：3,3 3 abc 3abc 2 2 2(a b c)(a b c ab bc ca)3 把a b c 0，a.3 b c 3 0代入上式，可得abc 0，即a 0或b 0或c 0 若a 0，则 b c，5 a b5 c5 0 若b 5 0或c 0,同理也有a b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a，b，c的值，命题得证。例3.若x3 3 y 27，x2 xy y 2 2 2 9，求x y的值。解：X3 3 y(x y)(2 x xy y2)27 且 x2 xy 2 y 9 x y 3,x2 2xy 2 y 9(1)口 2 又x xy 2 y 9

8、两式相减得 xy 0 所以x2 y2 9 1 1(尹1)(尹2)1(2m 3)可编辑 说明：按常规需求出 X,y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。常见题型：例1：因式分解:小 3,2 解：x 4xy 说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2:分解因式：2x y 8x y 8xy _。解：2x3y 8x2y2 8xy3 2xy(x2 4xy 4y2)2xy(x 2y)2 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。提高练习 1.利用提公因式法简化计算过程 一步 987 987 987 987 例：计算123 -268 -456

9、521 1368 1368 1368 1368 方法三分组分解法x3 4xy2 _。2 2 x(x 4y)x(x 2y)(x 2y)(1)2 3 4m n 12m3 n2 2mn (2)2 n 2 a x abxn 1 n acx adxn 1(n为正整数)(3)a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)2 计算:(2)11(2)10的结果是()A.2 100 B.210 C.2 D.1 2.分解因式:可编辑 【知识精读】把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时要用到添括号：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的

10、各项都改变符号 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分 组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析 多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元 二次方程，函数等学习中也有重要作用。题型展示：例 1.分解因式：m2(n2 1)4mn n2 1 解：m2(n2 1)4mn n2 1 2 2 2,2。m n m 4mn n 1 2 2 2 2(m n 2mn 1)(m 2mn n)2 2(mn 1)(m n)(

11、mn m n 1)(m n m n 1)说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn分成2mn和2mn,配成完全 平方和平方差公式。例 2.已知：a2 b2 1,c2 d2 1，且ac bd 0，求 ab+cd 的值。解：ab+cd=ab 1 cd 1可编辑 2 2 2 2 ab(c d2)cd(a2 b2)2 2 2 2 abc abd cda cdb 2 2 2 2(abc cdb)(abd cda)bc(ac bd)ad(bd ac)(ac bd)(bc ad)ac bd 0 原式 0 说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 1,c2 d2 1中的1(任何数乘以1

12、，其值不变)，其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。例3.分解因式：x3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1时，它的值为 0,这就意味着 x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑 x 1这个因式。解一(拆项)：x3 2x 3 3x3 3 2x3 2x 3(x(x 1)(x 2 x 1)(x2 x 1)3)2x(x2 1)解二(添项)x3 2x 3 x3 x2 x2 2x 3 x2(x 1)(x 1)(x 3)(x 1)(x2 x 3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆

13、一次项和常数项，看看是否可解?常见题型 例1.分解因式：1 m2 n2 2mn _。_ 解：1 m2 n2 2mn可编辑 1(m2 2mn n2)1(m n)2(1 m n)(1 m n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：2 2 x y x y 解：x2 y2 2 x y(x y2)(x y)(x y)(x y)(x y)(x y)(x y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例3.分解因式：x3 3x2 4x 12 _ 解：x3 3

14、x2 4x 12 x3 4x 3x2 12 2 2 x(x 4)3(x 4)(x 3)(x 2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。提高练习 1.填空题：(1)分解因式：a2 3a b2 3b(2)分解因式：x2 2x 4xy 4y2 4y(3)分解因式：1 mn(1 mn)m3n3 2.已知：a b c 0，求a3 a2c abc b2c b3的值。可编辑 方法四十字相乘法【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 2 x（ab）xab xaxb进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常 数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次

15、三项ax bx c（a、b、c都是整数，且a 0）来说，如果存在四个整数 a1?G，a?，c?满足a1a2 a，c1c2 c，并且 a1c2 a2c1 b，那么二次三项式 ax bx c即 a1 a2x a1 c2 a2c1 x c1c2可以分解为 a1 x G a?x c?。这里要确疋四个常数 a1，&，a?，c?，分析和尝试都要比首项系数是 1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。题型展示 A.1 B.-1 C.1 D.2 打 2 2 解：x y mx 5y 6 x y x y mx;-6可分解成 2 3或 3 2，因此，存在两种情况(

16、1)x+y V-2 (2)x+y-3 x-y 3 x-y 2 由（1）可得：m 1,由（1）可得：m 1 故选择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系 例1若x y mx 5y 6能分解为两个一次因式的积，则 m的值为（）可编辑 数法确定其系数，这是一种常用的方法。2 例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 a c 4 b a c b。求证：a b b c 2 证明：a c 4 b a c b 2 a c 4 b a c b 0 a2 2ac c2 4bc 4ac 4ab 4b2 0 2 2 a c 4b a c 4b 0 a c 2

17、b2 0 a c 2b 0 a b b c 说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例3若x3 5x2 7x a有一因式x 1。求a，并将原式因式分解。解：x3 5x2 7x a有一因式x 1 当x 1 0,即 x 1 时，x3 5x2 7x a 0 a 3 3 2 x 5x 7x 3 3 2 2 x x 4x 4x 3x 3 2 x x 1 4x x 1 3 x 1 x 1 x2 4x 3 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 3 说明：由条件知，x 1时多项式的值为零，代入求得 a，再利用原式有一个因式是 x 尽量岀现x 1，从而分解彻底。常见题型 1，分解时 可编辑 4 2 2 2

18、 2 例1.把4x y 5x y 9y分解因式的结果是 _。解：4x4y2 5x2y2 9y2 2 y 4x4 5x2 9 2 y 4x2 9 x2 1 2 y 2 x 1 2x 3 2x 3 说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。2 例2.:因式分解：6x 7x 5 _ 2 解：6x 7x 5 2x 1 3x 5 说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。2 2 1(m 2mn n)1(m n)2(1 m n)(1 m n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解 到底，应把后三项结合在一起，再应用完

19、全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：2 2 x y x y 解：x2 y2 z 2 x y(x y2)(x y)(x y)(x y)(x y)(x y)(x y 1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。3 2 例3.分解因式：x 3x 4x 12 _ 3 2 3 2 解：x 3x 4x 12 x 4x 3x 12 x(x2 4)3(x2 4)(x 3)(x 2)(x 2)可编辑 说明：分组的目的是能够继续分解。提高练习(1)a2b2 16ab 39(2)15x2n n n 1*2n 2 7x y 4y(3)x2 2 2 3x 22 x2 3x 72 小结：本节课主

20、要讲解了因式分解的四种常用方法：提公因式、公式法、分组分解法、十字相乘法，以及 常见题中常出现的因式分解的题型如何使用这四种方法的讲解。如何运用这四种方法是本节课的重点 课后作业 1 1 1、已知：X 3，求X 4的值。X X 2 2 2、(a 2)(3a 1)2.2.3.4 3、a(x y)2a(x y)(x y)4、：a5 a 1 2 2 可编辑 5、3x 5xy 2y x 9y 4 2 2 6、已知：x y 05，x 3y 12，求 3x 12xy 9y 的值。可编辑 7、因式分解(1)a3 a2 2a(2)m2 n2 m+n(3)3a2+bc 3ac-ab(4)9 x2+2xy y2(5)2x2 3x+1(6)2x2+5xy+2y 2(7)10a(x y)2 5b(y x)(8)x3(2x y)2x+y(9).2ax 10ay+5by-bx(10)x5y 9xy 5(11)4x2-2xy+2y 2(12)4a a5(13)x 2 4x-5