重庆市2020年中考数学试题A卷(解析版).pdf

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1、重庆市 2020 年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题（A 卷）一、选择题 1.下列各数中，最小的数是（）A.3 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】有理数的大小比较法则：正数大于 0，负数小于 0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小【详解】3012 ，最小的数是-3，故选：A【点睛】本题考查有理数的大小比较，属于基础应用题，只需熟练掌握有理数的大小比较法则，即可完成 2.下列图形是轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是

2、轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误；故选：A【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 3.在今年举行的第 127届“广交会”上，有近 26000 家厂家进行“云端销售”其中数据 26000 用科学记数法表示为（）A.326 10 B.32.6 10 C.42.6 10 D.50.26 10【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1时

3、，n 是负数【详解】42.62600010，故选：C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 4.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 1 个黑色三角形，第个图案中有 3个黑色三角形，第个图案中有 6个黑色三角形，按此规律排列下去，则第个图案中黑色三角形的个数为（）A.10 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第 n 个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+n，据此可得第个图案中黑色三角形的个数【详解】解：第个图案

4、中黑色三角形的个数为 1，第个图案中黑色三角形个数 31+2，第个图案中黑色三角形的个数 61+2+3，第个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+515，故选：B【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第 n个图案中黑色三角形的个数为 1+2+3+4+n 5.如图，AB 是O的切线，A切点，连接 OA，OB，若20B，则AOB的度数为（）A.40 B.50 C.60 D.70【答案】D【解析】【分析】根据切线的性质可得90?OAB，再根据三角形内角和求出AOB.【详解】AB是O的切线 90?OAB 20B 18070AOBOABB 故选D.【点睛】本题考查切线

5、的性质，由切线得到直角是解题的关键.6.下列计算中，正确的是（）A.235 B.222 2 C.236 D.2 323【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案【详解】解：A2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B2 与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C23236，此选项计算正确；D23与2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念 7.解一元一次方程11(1)123xx 时，去分母正确的是（）A.3(1)12xx B.2(1)1

6、3xx C.2(1)63xx D.3(1)62xx【答案】D【解析】【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案【详解】解：方程两边都乘以 6，得：3（x+1）62x，故选：D【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质 8.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是(1,2)A，(1,1)B，(3,1)C，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为 2：1，则线段 DF的长度为（）A.5 B.2 C.4 D.2 5【答案】D【解析】【分析】把 A、C的横纵坐标都乘以 2得到 D、F的坐标，然后利

7、用两点间的距离公式计算线段 DF的长【详解】解：以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2：1，而 A（1，2），C（3，1），D（2，4），F（6，2），DF222642=2 5，故选：D【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或k 9.如图，在距某居民楼 AB 楼底 B点左侧水平距离 60m的 C点处有一个山坡，山坡 CD 的坡度（或坡比）1:0.75i，山坡坡底 C 点到坡顶 D点的距离45mCD，在坡顶 D点处测得居民楼楼顶 A 点的仰角为 28，居民楼

8、 AB与山坡 CD的剖面在同一平面内，则居民楼 AB的高度约为（）（参考数据：sin 280.47，cos280.88，tan 280.53）A.76.9m B.82.1m C.94.8m D.112.6m【答案】B【解析】【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出 DE、EC、BE、DF、AF，进而求出 AB【详解】解：如图，由题意得，ADF28，CD45，BC60，在 RtDEC中，山坡 CD的坡度 i1：0.75，DEEC10.7543，设 DE4x，则 EC3x，由勾股定理可得 CD5x，又 CD45，即 5x45，x9，EC3x27，DE4x36FB，B

9、EBC+EC60+2787DF，在 RtADF中，AFtan28DF0.538746.11，ABAF+FB46.11+3682.1，故选：B 【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提 10.若关于 x的一元一次不等式结3132xxxa的解集为xa；且关于y的分式方程34122yayyy有正整数解，则所有满足条件的整数 a 的值之积是（）A.7 B.14 C.28 D.56【答案】A【解析】【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出 a 的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出 a 的值，求出之和即可【详解】解：解不

10、等式3132xx，解得 x7，不等式组整理的7xxa，由解集为 xa，得到 a7，分式方程去分母得：ya3y4y2，即 3y2a，解得：y+23a，由 y为正整数解且 y2，得到 a1，7，177，故选：A【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 11.如图，三角形纸片 ABC，点 D是 BC边上一点，连接 AD，把ABD沿着 AD翻折，得到AED，DE与 AC交于点 G，连接 BE交 AD 于点 F.若DGGE，3AF，2BF，ADG的面积为 2，则点 F 到BC 的距离为()A.55 B.2 55 C.4 55 D.4 33【答案】B【解析】【

11、分析】首先求出ABD 的面积根据三角形的面积公式求出 DF，设点 F 到 BD 的距离为 h，根据12BDh12BFDF，求出 BD即可解决问题【详解】解：DGGE，SADGSAEG2，SADE4，由翻折可知，ADBADE，BEAD，SABDSADE4，BFD90，12（AF+DF）BF4，12（3+DF）24，DF1，DB22BFDF22125，设点 F到 BD的距离为 h，则12BDh12BFDF，h2 55，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形

12、 ABCD 的对角线 AC 的中点与坐标原点重合，点 E是 x 轴上一点，连接 AE若 AD平分OAE，反比例函数(0,0)kykxx的图象经过 AE 上的两点 A，F，且AFEF，ABE的面积为 18，则 k的值为（）A.6 B.12 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】先证明 OBAE，得出 SABE=SOAE=18，设 A 的坐标为（a，ka），求出 F 点的坐标和 E 点的坐标，可得SOAE=123aka=18，求解即可【详解】解：如图，连接 BD，四边形 ABCD为矩形，O为对角线，AO=OD，ODA=OAD，又AD为DAE 的平分线，OAD=EAD，EAD=ODA，OBAE

13、，SABE=18，SOAE=18，设 A 的坐标为（a，ka），AF=EF，F点的纵坐标为2ka，代入反比例函数解析式可得 F点的坐标为（2a，2ka），E 点的坐标为（3a，0），SOAE=123aka=18，解得 k=12，故选：B【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，得出 SABE=SOAE=18 是解题关键 二、填空题 13.计算：0(1)|2|_【答案】3【解析】【分析】根据零指数幂及绝对值计算即可【详解】0(1)|2|1+2=3；故答案为 3【点睛】本题比较简单，考查含零指数幂的简单实数混合运算，熟记公式0(01)xx是关键 14.如果一个多边形的内角和

14、等于它的外角和的 2倍，那么这个多边形是_ 边形【答案】六【解析】【分析】n 边形的内角和可以表示成(n2)180，外角和为 360，根据题意列方程求解【详解】设多边形的边数为 n，依题意，得：(n2)180=2360，解得 n=6，故答案为：六【点睛】本题考查了多边形的内角和计算公式，多边形的外角和关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程求边数 15.现有四张正面分别标有数字1，1，2，3 的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为 m，n，则点 P（m，n

15、）在第二象限的概率为_【答案】316【解析】【分析】画树状图展示所有 16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点 P（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解【详解】解：画树状图为：共有 16种等可能的结果数，其中点 P（m，n）在第二象限的结果数为 3，所以点 P（m，n）在第二象限的概率316 故答案为：316【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A或事件 B 的概率也考查了点的坐标 16.如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，对角线 AC 的中点为 O

16、，分别以点 A，C 为圆心，以 AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交则图中的阴影部分的面积为_（结果保留）【答案】4【解析】【分析】根据图形可得S2ABCDSS阴影扇形，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积【详解】由图可知，S2ABCDSS阴影扇形，224ABCDS，四边形 ABCD是正方形，边长为 2，=2 2AC，点 O是 AC 的中点，OA=2，290(2)3602S扇形,S2=4-ABCDSS阴影扇形，故答案为：4【点睛】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出S2ABCDSS阴影扇形 17.A，

17、B两地相距 240 km，甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止，在甲出发的同时，乙货车从 B地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地后停止，两车之间的路程 y（km）与甲货车出发时间 x（h）之间的函数关系如图中的折线CDDEEF所示其中点 C的坐标是0 240，点 D的坐标是2.4 0，则点 E的坐标是_ 【答案】4,160【解析】【分析】先根据 CD段的求出乙货车的行驶速度，再根据两车的行驶速度分析出点 E 表示的意义，由此即可得出答案 【详解】设乙货车的行驶速度为/akm h 由题意可知，图中的点 D表示的是甲、乙货车相遇 点 C 的坐标是0,2

18、40，点 D的坐标是2.4,0 此时甲、乙货车行驶的时间为2.4h，甲货车行驶的距离为402.496()km，乙货车行驶的距离为24096144()km 1442.460(/)akm h 乙货车从 B地前往 A地所需时间为240604()h 由此可知，图中点 E表示的是乙货车行驶至 A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至 B地 则点 E的横坐标为 4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即40 4 160 即点 E的坐标为(4,160)故答案为：(4,160)【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图象是解题关键 18.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火

19、锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6 月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 3：5：2随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计 7 月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到 7月份总营业额的720，为使堂食、外卖 7月份的营业额之比为 8：5，则 7 月份外卖还需增加的营业额与 7 月份总营业额之比是_【答案】18【解析】【分析】先根据题意设出相应的未知数，再结合题目的等量关系列出相应的方程组，最后求解即可求得答案【详解】解：设 6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 3k，5k，2k，7 月份总增加的

20、营业额为 m，则 7月份摆摊增加的营业额为25m，设 7月份外卖还需增加的营业额为 x 7月份摆摊的营业额是总营业额的720，且 7月份的堂食、外卖营业额之比为 8：5，7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为 8：5：7，设 7 月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为 8a，5a，7a，由题意可知：3385552275kmxakxamka，解得：125215kaxama，512857208axaaaa，故答案为：18【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出相应的未知数，结合题目中的等量关系列出方程组是解决本题的关键 三、解答题 19.计算：（1）2()(2)xyx

21、 xy；（2）2291369mmmmm【答案】（1）222xy；（2）33m【解析】【分析】（1）利用完全平方公式和整式乘法展开后合并同类型即可；（2）先把分子分母因式分解，然后按顺序计算即可；【详解】（1）解：原式22222xxyyxxy 222xy（2）解：原式23(3)3(3)(3)mmmmmm 23(3)3(3)(3)mmmm 33m【点睛】本题考查整式的运算和分式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键 20.为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取 20名学生的测试成绩（满分 10 分，6 分及

22、6 分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息 七年级 20 名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6 七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：年级 平均数 众数 中位数 8 分及以上人数所占百分比 七年级 7.5 a 7 45%八年级 7.5 8 b c 八年级 20 名学生的测试成绩条形统计图如图：根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中的 a，b，c 的值；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由（写出一条理由

23、即可）；（3）该校七、八年级共 1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？【答案】（1）7a，7.5b，50%c；（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）估计参加此次测试活动成绩合格的人数有 1080 人【解析】【分析】（1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出 a 的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级 8分及以上人数除以总人数 20 人即可得出 c 的值；（2）分别比较七年级和八年级的平均数、

24、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；（3）用七八年级的合格总人数除以总人数 40 人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以 1200即可得出答案【详解】解：（1）七年级 20 名学生的测试成绩的众数是：7，7a，由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：787.52，7.5b，八年级 8分及以上人数有 10 人，所占百分比为：50%50%c，（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8 分及以上人数所占百分比比七年级的高；（3）七年级合格人数：18 人，八年级合格人数：18 人，1818120

25、0100%108040人，答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有 1080人【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键 21.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，分别过点 A，C 作AEBD，CFBD，垂足分别为 E，FAC 平分DAE（1）若50AOE，求ACB的度数；（2）求证：AECF 【答案】（1）40ACB；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出EAO，利用角平分线的定义求出DAC，再利用平行线的性质解决问题即可（2）证明()AEOCFO AAS可得结论【详解

26、】（1）解：AEBD，90AEO，50AOE，40EAO，CA平分DAE，40DACEAO，四边形ABCD是平行四边形，/ADBC，40ACBDAC，（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，AEBD，CFBD，90AEOCFO，AOECOF，()AEOCFO AAS，AECF=【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的知识点 22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程 以下是我们研究函数261xyx性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函

27、数图象；x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 261xyx 1513 2417 125 3 0 3 125 2417 1513 （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“”，错误的在相应的括号内打“”；该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 y 轴；()该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x 时，函数取得最大值 3；当1x 时，函数取得最小值3；()当1x 或1x 时，y随 x的增大而减小；当11x 时，y 随 x 的增大而增大；()（3）已知函数21yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xxx的解集（保

28、留 1位小数，误差不超过 0.2）【答案】（1）95，95；（2）；（3）x1或0.3x1.8【解析】【分析】（1）代入 x=3和 x=-3即可求出对应的 y值，再补全函数图象即可；（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求解即可【详解】解：（1）当 x=-3时，2618911xyx95，当 x=3时，2618911xyx95，函数图象如下：（2）由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；故答案为：，结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x 时，函数取得最大值 3；当1x 时，函数取得最小值3；故答案为：，观察函数图象可得：当1x 或1x

29、 时，y随 x的增大而减小；当11x 时，y 随 x 的增大而增大；故答案为：（3）1x ，0.281.78(0.280.21.780.2)xx 26211xxx时，2(1)2310 xxx 得11x ，23171.84x，33170.34x，故该不等式的解集为：x1 或0.3x1.8【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键 23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数“差一数”定义：对于一个自然数，如果这个数除以 5余数

30、为 4，且除以 3余数为 2，则称这个数为“差一数”例如：14524，14342，所以 14 是“差一数”；19534，但19361，所以 19 不是“差一数”（1）判断 49和 74 是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于 300且小于 400 的所有“差一数”【答案】（1）49 不是“差一数”，74是“差一数”，理由见解析；（2）314、329、344、359、374、389【解析】【分析】（1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可；（2）解法一：根据“差一数”的定义可知被 5 除余 4 的数个位数字为 4或 9，被 3除余 2的数各位数字之和被 3 除余 2，由此可依次求得大于 30

31、0且小于 400的所有“差一数”；解法二：根据题意可得：所求数加1 能被 15 整除，据此可先求出大于 300且小于 400的能被 15 整除的数，进一步即得结果【详解】解：（1）49594；493161，49 不是“差一数”，745144；743242，74 是“差一数”；（2）解法一：“差一数”这个数除以 5 余数为 4，“差一数”这个数的个位数字为 4 或 9，大于 300 且小于 400 的符合要求的数为 304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，“差一数”这个数除以

32、3 余数为 2，“差一数”这个数的各位数字之和被 3 除余 2，大于 300 且小于 400 的所有“差一数”为 314、329、344、359、374、389 解法二：“差一数”这个数除以 5 余数为 4，且除以 3 余数为 2，这个数加 1能被 15整除，大于 300 且小于 400 的能被 15整除的数为 315、330、345、360、375、390，大于 300 且小于 400 的所有“差一数”为 314、329、344、359、374、389【点睛】此题主要考查了带余数的除法运算，第（2）题的解法一是用逐步增加条件的方法依此找到满足条件的所有数；解法二是正确得出这个数加 1能被 1

33、5整除，明确方法是关键 24.为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对 A、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究去年 A、B两个品种各种植了 10 亩收获后 A、B两个品种的售价均为 2.4 元/kg，且 B品种的平均亩产量比 A 品种高 100千克，A、B 两个品种全部售出后总收入为 21600元（1）求 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 A、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 a%和 2a%由于 B 品种深受市场欢迎，预计每千克售

34、价将在去年的基础上上涨 a%，而 A 品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加20%9a，求 a 的值【答案】（1）A 品种去年平均亩产量是 400、B品种去年平均亩产量是 500千克；（2）10【解析】【分析】（1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意分别表示 A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于 A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案【详解】（1）设 A、B 两个品种去年平均亩产量分别是 x、y 千克，由题意得 1002.4 102.4 1021600yxxy，解得4005

35、00 xy 答：AB两个品种去年平均亩产量分别是 400、500千克（2）根据题意得：2024400 1%24 1%500 12%21600 1%9aaaa 令 a%=m，则方程化为：2024400 124 1500 1221600 19mmmm 整理得 10m2-m=0，解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1 所以 a%=0.1，所以 a=10，答：a 的值为 10【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键 25.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2yxbxc与直线 AB相交于 A，B 两点，其中3,4A ，0,

36、1B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点 P 为直线 AB下方抛物线上的任意一点，连接 PA，PB，求PAB面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移 2个单位长度得到抛物线211110ya xb xc a，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 C，点 D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 E，使以点 B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 E的坐标；若不存在，请说明理由 【答 案】（1）241yxx；（2）PAB面 积 最 大 值 为278；（3）存 在，1234(12)(346)(346),(13)EEEE，【解析】【分析】（1）将点 A、B 的坐标代入抛物

37、线表达式，即可求解；（2）设ABykxb，求得解析式，过点 P 作 x 轴得垂线与直线 AB 交于点 F，设点2,41P a aa，则(,1)F a a，1|2PABBASPFxx23327228a，即可求解；（3）分 BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可【详解】解：（1）抛物线过(3,4)A ，(0,1)B 9341bcc 41bc 241yxx（2）设ABykxb，将点3,4A (0,1)B代入ABy 1AByx 过点 P 作 x轴得垂线与直线 AB交于点 F 设点2,41P a aa，则(,1)F a a 由铅垂定理可得 1|2PABBASPFxx 231412aaa 2

38、332aa 23327228a PAB面积最大值为278（3）（3）抛物线的表达式为：yx24x1（x2）25，则平移后的抛物线表达式为：yx25，联立上述两式并解得：14xy，故点 C（1，4）；设点 D（2，m）、点 E（s，t），而点 B、C的坐标分别为（0，1）、（1，4）；当 BC 为菱形的边时，点 C 向右平移 1 个单位向上平移 3个单位得到 B，同样 D（E）向右平移 1个单位向上平移 3 个单位得到 E（D），即21s且 m3t或21s且 m3t，当点 D在 E 的下方时，则 BEBC，即 s2（t1）21232，当点 D在 E 的上方时，则 BDBC，即 22（m1）212

39、32，联立并解得：s1，t2 或4（舍去4），故点 E（1，2）；联立并解得：s-3，t-46，故点 E（-3，-46）或（-3，-46）；当 BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：1s2 且41mt，此时，BDBE，即 22（m1）2s2（t1）2，联立并解得：s1，t3，故点 E（1，3），综上，点 E的坐标为：（1，2）或(346)，或(346)，或（1，3）存在，1234(12)(346)(346),(13)EEEE，【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏 26.如图，在Rt ABC中，

40、90BAC，ABAC，点 D是 BC边上一动点，连接 AD，把 AD 绕点 A逆时针旋转 90，得到 AE，连接 CE，DE点 F 是 DE 的中点，连接 CF（1）求证：22CFAD；（2）如图 2所示，在点 D运动的过程中，当2BDCD时，分别延长 CF，BA，相交于点 G，猜想 AG 与BC 存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点 D运动的过程中，在线段 AD 上存在一点 P，使PAPBPC的值最小当PAPBPC的值取得最小值时，AP的长为 m，请直接用含 m 的式子表示 CE的长 【答案】（1）证明见解析；（2）3 2BCAG；（3）332CEm【解析】【分析】（1）先证BAD

41、CAE，可得ABDACE45，可求BCE90，由直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得结论；（2）连接 AF，由（1）得ABDACE，CEBD，45ACEABD，推出454590DCEBCAACE，然后根据现有条件说明 在Rt DCE中，22225DECDCECDBDCD，点 A，D，C，E 四点共圆，F为圆心，则CFAF，在Rt AGC中，推出2222182542AGCGACCDCDCD，即可得出答案；（3）在ABC 内取一点 P，连接 AP、BP、CP，将三角形 ABP 绕点 B 逆时针旋转 60得到EBD，证明点 P位于线段 CE 上，同理得到点 P 位于线段 BF 上，证明BPC=

42、120，进而得到120APBBPCCPA ，设 PD为a，得出3BDa，3ADBDa，得出3ama，解出 a，根据BDCE即可得出答案【详解】解：（1）证明如下：90BACDAE，BADCAE，ABAC，ADAE，在ABD和ACE中BADCAEABACADAE，ABDACE，45ABDACE，90DCEACBACE，在RtADE中，F为 DE 中点（同时ADAE），45ADEAED，AF DE，即Rt ADF为等腰直角三角形，22AFDFAD，CFDF，22CFAD；（2）连接 AF，由（1）得ABDACE，CEBD，45ACEABD，454590DCEBCAACE，在Rt DCE中，2222

43、5DECDCECDBDCD，F为 DE 中点，1522DFEFDECD，在四边形 ADCE中，有90DAEDCE，180DAEDCE，点 A，D，C，E 四点共圆，F为 DE 中点，F为圆心，则CFAF，在Rt AGC中，CFAF，F为 CG 中点，即CG2CF5CD，2222182542AGCGACCDCDCD，即3 2BCAG；（3）如图 1，在ABC 内取一点 P，连接 AP、BP、CP，将三角形 ABP 绕点 B 逆时针旋转 60得到EBD，得到BPD 为等边三角形，所以 PD=BP，AP+BP+CP=DE+DP+CP，当PAPBPC的值取得最小值时，点 P 位于线段 CE 上；如图

44、2，将三角形 ACP 绕点 C 顺时针旋转 60得到FCG，得到PCG 为等边三角形，所以 PC=GP，AP+BP+CP=GF+GP+BP，当PAPBPC的值取得最小值时，点 P 位于线段 BF 上；综上所述：如图 3，以 AB、AC 为边向外做等边三角形 ABE 和等边三角形 ACF，连接 CE、BF，则交点 P 为求作的点，AECABF，AEC=ABF，EPB=EAB=60，BPC=120，如图 4，同理可得，120APBBPCCPA ，60BPD，设 PD为a，3BDa，又3ADBDa，3ama，(31)ma 31ma 又BDCE 33=2CEm【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等知识，灵活运用所学知识是解本题的关键