高中数学-对数、对数函数、幂函数单元教学设计.pdf

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1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-必修 1 对数、对数函数、幂函数部分单元教学设计 一、教材分析 1、本单元教学内容的范围 第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共 14课时.第一大节 3.1 指数与指数函数分 2 小节（3.11-3.12）共 4 课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂.接着通过两个具体

2、的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.第二大节 3.2 对数与对数函数分 3 小节（3.2.1-3.2.3），共 5 课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.第三大节 3.3 幂函数只安排了 1 个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.第四大节 3.4 函数的应用（）也安排了 1

3、个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用

4、.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如 GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中

5、所用的14C 的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值 学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：数学发展的需要；基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满

6、在整个数学中的组织化、系统化的精神 本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用 3、本单元教学内容总体教学目标 学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数

7、的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题 一知识目标 1.了解指数函数模型的实际背景 2理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质 3经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质 4经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质 5收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用 6利用计算工具

8、、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 7了解指数 y=ax(a0，且a1)与对数函数 y=logax(a0，且a1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系 8通过特殊的幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=21x，y=1x了解幂函数 9引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用 10鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规

9、律，研究函数的性质(二)能力目标 1培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力 2培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力 3培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力 (三)价值目标 1培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质 2培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力 3学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值 4、本单元教学内容重点和难点分析 重点：指数函数和对数函数的性质.难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.5、本单元内容新课标与大纲的比较（1）本单元内容新课标与大纲的目标对

10、比 项目 课标（14 课时）大纲（24 课时）必修 1-3 第一册（上）第二章二（三）内容 新课标的目标表述 大纲的目标表述 指数函数 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景.理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数

11、是一类重要的函数模型（参见例 2）.对数函数 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.知道指数函数 y=ax 与对数函数 y=loga x互为反函数（a 0,a1）理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质 幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=21x，

12、y=1x 的图象，了解它们的变化情况.无（2）变化之处 1加强的内容(1)加强了函数模型的背景和应用的要求 了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义 要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算 在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加

13、深学生对函数概念的理解新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学 (2)加强了信息技术整合的要求 明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解 2削弱的内容-WORD 格式-可编辑-专

14、业资料-完整版学习资料分享-(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数xay（1,0aa且）与对数函数xlogya（1a,0a且）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中对于对数函数内容的要求也有所降低这都是为了尽可能地减轻学生的负担 （1）增加了幂函数(y=x，y=x2，y=x3，y=21x，y=1x)的内容；（2）换底公式又恢复为教学内容.6.教学建议 1指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过

15、 GDP 的增长问题、14C 的衰减，考古、地震、pH 的测定等，体现数学的应用价值 2应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结 在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质

16、这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点 3教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件 4教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数xay（1,0aa且）与对数函数xyalog（1,0aa且）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述 根据本单元教学内容的特点，可以采用讲授式与自主探究相结合的教学方

17、式，要重视章头故事在教学中的应用,要充分利用几何画板,科学计算自由软件（P120）等软件以及图形计算器等工具通过教师引导下的学生的自主探究，发现指数函数、对数函数、幂函数的若干性质，完成教学目标所确定的教学任务.三、本单元所需教学资源概述 图形计算器，几何画板,科学计算自由软件或其他软件平台，已经进入新课标的省份的高考试题.四、本单元学时建议 3.2.1 对数及其运算（共3课时）3.2.2 对数函数（课时）-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-3.2.3 对数函数与指数函数的关系（课时）3.3幂函数（1 课时）五、本章各节课教学设计 3.2.1 对数及其运算（共3课时）一、教

18、材分析 1、本单元的教学内容的范围 对数产生于 17 世纪初叶，为了适应航海事业的发展,需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就，给予很高的评价.今天随着计算器的普及和电子计算机的广泛使用以及航天航海技术的不断进步，利用对数进行大数的计算功能的历史使命已基本完成，已被新的运算工具所取代，因此中学对于传统的对数内容进行了大量的删减，但对数函数应用还是广泛的，后续的教学内容也经常用到 本单元对数的定义和运算性质的目的主要是为了学

19、习对数函数对数概念与指数概念有关，是在指数概念的基础上定义的，在一般对数定义Nalog(a0,a1)之后，给出两个特殊的对数：一个是当底数10a时，称为常用对数，简记作bN lg；另一个是底数ea (一个无理数)时，称为自然对数，简记作bN ln这样既为学生以后学习或读有关的科技书给出了初步知识，也使教材大大简化，只保留到学习对数函数知识够用即可 依据课程标准及北京市教学指导意见，要求理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料了解对数的发展史及在简化运算中的作用 理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法

20、则的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力 2本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用 从上图中的关系可以看出，对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当1,0aa时，基本初等 指数与指 对数与对 对数 对数函数 指数 指数函数 幂的 幂的 对数 对数-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-NabNbalog所以指数式Nab中的底数，指数，幂与对数式bNalog中的底数，对数，

21、真数的关系可以表示如下：本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由Nab0,1aa引出，在这个式子中，已知一个数a和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对Nab的全面认识 对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a和真数N的要求；其次对于对数的性质)1,0(1log,01logaaaaa及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、

22、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注 对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识 对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次

23、强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性 3本单元的教学内容总体教学目标 理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；能较熟练地运用法则解决问题；渗透应用意识，培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力 4本单元的教学内容重点和难点分析（）重点是对数定义的理解；对数的运算性质和运算法

24、则；理解对数换底公式，掌握对数换底公式的应用（）难点是对数换底公式的理解和灵活应用（）在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性 -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-5其它相关问题 对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数a和真数N的要求；其次对于对数的性质)1,0(1log,01logaaaaa及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能

25、完成指数式和对数式的互化。对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段 仿照初中如何引入根式定义的方式来导入 资料：布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔（John Naeipr，15501617）和瑞士的乔伯斯特布尔基（Jobst Brgi，15521632）布尔基原是个钟表技师，1603 年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名 的 天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法 布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用 的 对数表从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）

26、运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对 数 表必须包括所有要乘的数在内耐普尔原是苏格兰的贵族生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习 十六岁大学尚未毕业时又到欧 洲 大陆旅行和游学，丰富了自己的学识耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整

27、20 年时间对数产生于 17 世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就，给予很高的评价 二、与本单元的教学内容相适应的教学方式和教学方法概述 1、充分利用信息技术和网络资源来学习知识；2、学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的；3、由于对数与指数在概念上

28、相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注、对学生的学法指导：联想类比数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握、鼓励学生自主学习和协作学习学生是在特定的学习环境进行学习“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今

29、后的学习做准备、对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识、对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-化了计算方法，显示了对数计算的优越性、可以采用讲授与学生探究相接合，帮助学

30、生理解对数与指数的关系，提升学生的学习兴趣。三、本单元所需教学资源的概述 对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当1,0aa时，NabNbalog所以指数式Nab中的底数，指数，幂与对数式bNalog中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由Nab0,1aa引出，在这个式子中，已知一个数a和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数a和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一恰好可

31、以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对Nab的全面认识 对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注 四、本单元学时建议 本单元学时建议安排三学时，即对数的概念、对数的运算性质、对数的换底公式及其推论 例如：第一学时：对数的概念 一、学习目标：1、理解对数的定义:logaN这一符号的含义，字母,a N的取值范围；2、理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系

32、，相互转化的思想；3、根据对数的定义，归纳总结出对数的 3 条性质和对数恒等式logaNaN（教材 P96），培养学生归纳猜想的能力；4、理解常用对数的概念；-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-5、能够通过对数的概念求出比较简单的对数式的值；6、信息技术整合：使用科学计算器，求对数 二、重点内容安排：1、重点是对数定义的理解；2、在指数知识的基础之上，利用类比联想，互动探究的方式来引出对数定义。鼓励学生利用网络查找知识背景，从学生的角度来提问题并在解决问题的过程中加深对知识的理解。引导学生初步认识数学是一门严谨的科学并进一步理解数学中规定的合理性 三、教学内容安排：教学环节

33、 教学内容 师生互动 设计意图 提出问题 为什么学习对数?由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第x次后，细胞的个数2xy；如果知道细胞分裂若干次后的个数为y，如何求出分裂次数x；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；网 上 查 询对 数 产 生的背景 增 加 学 生学习兴趣 复习引入 初中如何认识和学习根式 由 学 生 来复 习 讲 解根式 发 挥 学 生的主动性 概念形成(1)如果a(a0 且a1)的b次幂等于N，就是abN，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 logaNb，其中a叫做对数的底数，N叫做真数（2）对数的性质有：1)1 的对数等于零；2)底的对数等于 1；3)零和负数没有对数

34、（3）通常将以 10 为底的对数叫做常用对数；以 e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为 lgN，logeN简记为 lnN 式子 名称 a b N 指数式 baN 底数 指数 幂值 对数式 logaNb 底数 对数 真数 可 以 由 学生 自 己 阅读 课 文 的方 式 给 出定义 让 学 生 理解 对 数 的引 出 的 必要 性 和 合理性 概念深化(1)在对数定义中，为什么也要限定a0 且a1?答：因为对数概念源出于指数，对数式 logaNb是由指数式abN转化而来，对数的底数就是指数的底数，而abN中要使它对任意实数b都有意由 学 生 来提 出 疑 问讨 论 方 式解答 最 终

35、转 化成 学 生 的能力-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-义，必须a0 且a1，所以对数式中也必须要求a0 且a1（2）为什么 1 的对数等于零，底的对数等于 1，零和负数没有对数？答：当a0 且a1 时，a01，即a的零次幂为 1，所以 0 就是以a为底 1 的对数；a1a，即a的 1 次幂为a，所以 1 就是以a为底a的对数；在abN中，对任意实数b，都有ab0，即N0，所以不存在实数b，使ab0，即零和负数是没有对数的（3）NabNba 和阿log的关系 应用举例 地震级别定义，离子浓度，噪音分贝单位等 学 生 上 网查询 理 解 数 学的应用性 归纳总结 类比联想

36、理解新知识 讨论 提升理解 布置作业 教材第 97 页练习A、练习B -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-四、教学资源建议 仿照初中如何引入根式定义的方式来导入 资料：布尔基与耐普尔 数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰耐普尔（John Naeipr，15501617）和瑞士的乔伯斯特布尔基（Jobst Brgi，15521632）布尔基原是个钟表技师，1603 年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表从原则上说，史提非已经

37、解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内耐普尔原是苏格兰的贵族生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了

38、整整 20 年时间对数产生于 17 世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为 17 世纪数学的三大成就，给予很高的评价 五、教学方法与学习指导策略建议：1、充分利用信息技术和网络资源来学习知识；2、学生在一定的情境背景下，借助老师和学习伙伴的帮助下，利用必要的学习资料等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识的意义建构的目的；3、教学方法与学习指导策略建议：对学生的学

39、法指导：联想类比数学是一门基础学科，数学的概念、性质抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、类比发现新的知识，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握 鼓励学生自主学习和协作学习学生是在特定的学习环境进行学习“水涨船高”，通过小组协商、讨论；使原来相互矛盾的意见、模糊不清的知识逐渐变得明朗、一致，使问题顺利解决鼓励学生利用网络查询有关对数的相关信息对数的应用学生感到数学是有用的有趣的整合各学科知识为今后的学习做准备 第二学时：对数的运算性质 一、学习目标：1、理解对数的运算性质；2、通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生

40、的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识；3、通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系、相互转化以及“特殊一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神 二、重点内容安排：本节的重点是对数的运算性质的推导过程及其应用；难点为积、商、幂的对数的发现过程及其证明.三、教学内容安排-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 练习：已知 lg3m，lg5n，求 1003m2n的值 解：lg3m，lg5n 10m3，10n5 1003m 2n102(3m

41、2n)106m104n(10m)6(10n)43654625729 巩固知识，确定教学起点 公式形成及深化 1如果a0 且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaNMlogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)2 对数的运算性质用语言叙述为：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次幂的对数等于这个正数的对数的n倍 师生讨论 1 对数运算性质的实质是什么？答：对数运算性质的实质是可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计

42、算方法 2 运用对数运算性质时应注意什么？答：运算性质只有当M0，N0，a0 且a1 时才有意义，如 log220log2(4)(5)是成立的，但 log2(4)(5)log2(4)log2(5)就不成立，这是 因 为log2(4)和log2(5)没有意义 强调真数大于零 使学生掌握对数运算性质和法则 说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式 简易语言表达：“积的对数=对数的和”有 时 逆 向 运 用 公 式：如110log2log5log101010 真数的取值范围必须是),0(：)5(log)3(l

43、og)5)(3(log222是不成立的)10(log2)10(log10210是不成立的 对公式容易错误记忆，要特别注意：NMMNaaaloglog)(log ，NMNMaaaloglog)(log 例1(1)用lg2和lg3表示 lg75(2)用 logax，logay，logaz表示loga3324xyzzyx 解：(1)lg75lg(253)lg(523)2lg5lg32lg210lg32(1lg2)lg322lg2lg3(2)原式loga(x432zy)用已知对数表示未知对数，就是把要表示的对数的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，然后用对数的运算性质注意运算性质只有在同底的情

44、况下才能运算 第(2)题中没有指明a、x、y、z 的范围，这时我们就认为是使每个对数符号都有意义的a、x、y、z的最大范围，即a0且a1，x0，y0，z0-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-教学环节 例 2求证：(1)lg51lg2，(2)logablogba 1(a0 且a1，b0 且b1)loga3xyz 4logax31loga(y2z)21loga(xyz3)4logax31(2logay logaz)21(logaxlogay3logaz)27logax61logay67logaz 证明：(1)lg5lg2lg101 lg51lg2(2)设 logabp，则apb

45、 abp1 p1logba logablogbap1p1 证明对数等式时，首先考虑运算性质，如果不能运用性质，则应考虑把对数式化成指数式，然后用指数运算性质变形后再化成对数式 应用举1、设a0 且a1，M0，N0，nR 且n0，则下列等式正确的是()Aloga(MN)logaMlogaN Bloga(MN)logaMlogaN C loga(MN)logaMlogaN D loganMn1logaM 2、下列各等式中正确运解析：运用幂的运算性质：loganM logaMn1n1logaM 解析：lg(x2yz)lgx2强化公式及其应用-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-例

46、用对数运算性质的是()Alg(x2yz)(lgx)2lgyzlg Blg(x2yz)(lgx)2lgy2lgz Clg(x2yz)2lgxlgy2lgz Dlg(x2yz)2lgxlgy21lgz 3、求下列各式的值(1)log354 log32 _；(2)lg1000 lg100 lg10lg101_；(3)log441log481_；(4)log24log42_ 4、用 log32 表示 log96 lgylgz212lgxlgy21lgz 解析：(1)原式log3254log3273(2)原式321(1)3(3)原式log441log4341 1 log442312325(4)原式log

47、222log4421 2211 解：log96log9(23)log92log992121log92 令 log92b，则 9b2，即(3b)22 3b2，log32b，即blog322121log32-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-5、已知ablg32lg353lg2lg5，求a3b33ab的值 log92b21log32 log962121log32 解：ab(lg2 lg5)(lg22 lg2lg5 lg25)3lg2lg5 lg22 lg2lg5 lg253lg2lg5(lg2lg5)21 a3b33ab(ab)(a2abb2)3aba2abb23ab(ab)2

48、1 归纳总结 1准确地掌握对数的运算性质是正确地进行对数运算的前提，利用对数运算，可以把通过乘、除、乘方、开方运算得到的积、商、幂的对数转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了利用对数计算的优越性 2正确地进行对数运算，要注意底和真数的关系，将真数转化为积、商、幂，并注意对数性质和对数的两个恒等式的运用 3掌握对数运算性质的正用、反用，了解运算性质的变形用法 布置作业 107P习题 32B 1、2 巩固知识 四、教学资源建议 1、通过测试题检测学生已有知识结构，做好学生知识分析，确定教学起点；2、针对这一部分的特点，在教学中可以采用教师讲解，学生练习为主的方式进行教；3、由于对数与指数在概念

49、上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注 五、教学方法与学习指导策略建议 对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识 对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度

50、，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性 与旧教材相比，新教材增加了例题量和难度（如 p99 例 5（3）（4）.在习题 B 中，第 2 题已知lg2 求 lg5 的题目，第 3 题是配方，开方，对数估值的综合题.这样的安排可以满足优秀学生的学习需要.第三学时：对数的换底公式及其推论 一、学习目标：1、利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；2、理解数学符号lnN的含义；-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-3、常用对数和自然对数的关系 二、重点内容安排：本节课的重点是换底公式的证明和应用；难点是领悟换底公式的基本作用；熟练掌握换底公式正逆