二次函数知识点总结与典型例题.pdf

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1、 1 二次函数知识点总结及典型例题 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，那么 y 叫做 x 的二次函数。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点法：二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次

2、好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 （1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴所在直线；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.2 当0 x时，cy，抛物线cbxax

3、y2与y轴有且只有一个交点（0，c）：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像 a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当 x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口

4、向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当 xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值 3 五、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。因此一元二次方程中的ac4b2，在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。当0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：函数平移规律：左加右减、上加下减 六、二次函数的最值 如果自变量的取

5、值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当 x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2xx 时，cbxaxy222最大，当1xx 时，cbxaxy121最小；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小，则当1xx 时，cbxaxy121最大，当2xx 时，cbxaxy222最小。4 典型例题 1.已知函数22113513xxyxx，则使 y

6、=k 成立的 x 值恰好有三个，则 k 的值为（）A0 B1 C2 D3 2.如图为抛物线2yaxbxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1，则下列关系中正确的是（）Aab=1 B ab=1 C b2a D ac0 3.二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）.4.如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1，0），（1，2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 5.在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与 y 轴的交点旋转 180，所得抛物线的解析式是（）A2(1)2yx B2(1)4yx

7、 C2(1)2yx D2(1)4yx 6.已知二次函数cbxaxy2的图像如图，其对称轴1x，给出下列结果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是xy O11（1,-2）cbxxy2-1 5（）A B C D 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；函数2yaxbxc的最大值为 6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧，y随x增大而增大 8.如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标是（2，4），过点 A 作

8、ABy轴，垂足为 B，连结 OA(1)求 OAB 的面积；(2)若抛物线22yxxc 经过点 A 求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部（不包括 OAB 的边界），求 m 的取值范围（直接写出答案即可）6 9已知二次函数 y=14 x 2+32 x 的图像如图（1）求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B、C 三点，若ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作D，试判断直线 CM 与D

9、的位置关系，并说明理由 7 10.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的O与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC，AC.CD 是O的切线，ADCD 于点 D，tanCAD21，抛物线cbxaxy2过 A，B，C 三点.（1）求证：CADCAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点 P，使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点 P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.8 11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，BCAD，BAD=90，B

10、C 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1，0），B(-1，2)，D(3，0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点 P使得 PA=PC若存在，求出点 P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的个动点，当点Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。A B C D O E N M x y 图 9 12如图，抛物线 y=21x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y

11、 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值 10 13.在平面直角坐标系中，如图 1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC，相邻两边OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线 y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点 B、C.（1）当 n1 时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段CB 上，如果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点 B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O，试求出当 n=3 时 a 的值；直接写出 a 关于 n 的关系式.NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAO CD=1.1 厘yxCBAO