全等几何模型讲解.pdf

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1、 常见得几何模型 一、旋转主要分四大类:绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转得分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形得分类。、绕点型(手拉手模型)(1)自旋转：例题讲解:1、如图所示,就就是等边三角形 AC 内得一个点,PA=2,B=,PC=4,求AB得边长。CABP 2、如图,O 就就是等边三角形 AC 内一点,已知:AOB=115，BOC=12,则以线段 OA、O、C 为边构成三角形得各角度数就就是多少？3、如图,P 就就是正方形 ABCD 内一点,且满足 PA:PD:PC=：2:3,则AD=、4、如图（）：P 就就是正方形BCD 内一点，点 P 到正方形得三个顶点 A、B、得距离分别为A=

2、1,PB=2,PC3。求此正方形C面积。(2）共旋转(典型得手拉手模型)模型变形:ABCO 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 例题讲解:、已知AC 为等边三角形,点 D 为直线 BC 上得一动点(点 D 不与 B,C 重合),以 AD 为边作菱形F(按 A,D,E,F 逆时针排列),使DAF0，连接F、(1)如图 1,当点在边C 上时,求证:BD=CF ACCF+C、（2)如图2，当点在边BC得延长线上且其她条件不变时,结论C=CF+CD就就是否成立?若不成立,请写出 AC、CF、C之间存在得数量关系,并说明理由;(3)如图 3,当点在边 BC 得延长

3、线上且其她条件不变时，补全图形,并直接写出C、CF、C之间存在得数量关系。2、(13 北京中考)在C 中，AB=A,BC=（),将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 6得 到线段D。(1)如图 1,直接写出ABD 得大小(用含得式子表示）;（）如图,BCE=10,AB=60,判断AE 得形状并加以证明；(3)在()得条件下,连结 DE,若DEC=5,求得值。2、半角模型 说明:旋转半角得特征就就是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个与为二分之一得角拼接在一起,成对称全等。例题:1、在等腰直角ABCD 得斜边上取两点,使得,记M=,MNx，BN=n,求证以 m,x，n 为边长得三角

4、形为直角三角形。mxnBCAMN 2、如图,正方形 ABCD 得边长为 1,A,D 上各存在一点 P、Q，若PQ 得周长为 2,求得度数。DACBQP 3、分别就就是正方形得边、上得点，且,为 垂足,求证:、4、已知，正方形 ABD 中，MN45,A绕点顺时针旋转,它得两边分别交CB、DC(或它们得延长线)于点 M、N,HMN 于点 H、(1)如图，当N 点 A 旋转到 BM=DN 时,请您直接写出 AH 与B 得数量关系:A=AB;(2)如图,当AN 绕点 A 旋转到MDN 时,（1)中发现得 AH 与 A得数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;（3）如图，已知MN=45,

5、HMN 于点 H,且 MH=2，NH，求 AH 得长、(可利用(2)得到得结论)5、已知:正方形 ABC中,MAN=,MA绕点 A 顺时针旋转，它得两边分别交 CB,DC(或它们得延长线)于点,N、当MAN 绕点 A 旋转到=DN 时(如图 1),易证 BM+D=MN、(1)当MN 绕点A 旋转到DN 时(如图2),线段 B，D与 MN 之间有怎样得数量关系？写出猜想,并加以证明、(2)当AN绕点A旋转到如图3得位置时,线段B,N与MN之间又有怎样得数量关系？请直接写出您得猜想、(14 房山模)、边长为得正方形得两顶点、分别在正方形GH 得两边、上(如图1）,现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一

6、次落在上时停止旋转，旋转过程中,边交于点,边交于点、(）求边在旋转过程中所扫过得面积；(2)旋转过程中,当与平行时(如图 2),求正方形旋转得度数;(）如图 3，设得周长为，在旋转正方形得过程中，值就就是否有变化?请证明您得结论、7、(2011 石景山一模）已知：如图,正方形BC中,A,BD 为对角线,将 BAC 绕顶点 A 逆时针旋转 （045）,旋转后角得两边分别交 BD 于点 P、点 Q,交 BC,D 于点 E、点 F,连接 EF,EQ、（1)在 BC 得旋转过程中,AQ 得大小就就是否改变?若不变写出它得度数;若改变,写出它得变化范围(直接在答题卡上写出结果,不必证明);(2）探究 A

7、PQ 与 AEF 得面积得数量关系,写出结论并加以证明、8、已知在中,于,点在直线上,点在线段上,就就是得中点,直线与直线交于点、(1)如图 1,若点在线段上,请分别写出线段与之间得位置关系与数量关系:_,_；()在（1)得条件下,当点在线段上,且时,求证:；（3)当点在线段得延长线上时,在线段上就就是否存在点,使得、若存在，请直接写出得长度;若不存在,请说明理由、DCBA 9、(2014 平谷一模 24)（1)如图 1,点、分别就就是正方形 ABCD 得边 B、C上得点,EAF=5,连接F,则、BE、FD 之间得数量关系就就是:E=BE+F、连结D,交 AE、A于点 M、N,且 MN、M、D

8、N 满足,请证明这个等量关系;（2)在ABC 中,B=A，点 D、E 分别为 BC 边上得两点、如图 2，当BAC=6,DAE=3时,BD、E、应满足得等量关系就就是 如图,当BAC,(00)，DAE=时,、E、EC 应满足得等量关系就就是_、【参考:】注意:NMFEDCBA图 1 备用图 MABCDEFMNABCDEF图1BCDE图2ABCDE图3AMN(1)在正方形 AB中，AA,BAD90,BM=ADN=45、把AB绕点 A 逆时针旋转 90得到、连结、则,、EF=，BAMDN=45，DM+DF45，、=MN、在中,（2);3、空翻模型 例题：1、如图,点为正三角形得边所在直线上得任意一

9、点(点除外）,作,射线与外角得平分线交于点,与有怎样得数量关系?【解析】猜测、过点作交于点,又,，而,、2、如图,点为正方形得边上任意一点,且与外角得平分线 交于点,与有怎样得数量关系?【解析】猜测、在上截取,、3、【探究发现】如图 1,就就是等边三角形,E交等边三角形外角平分线F 所在得直线于点 F、当点 E 就就是 BC 得中点时,有E=EF 成立;【数学思考】某数学兴趣小组在探究E、F 得关系时,运用“从特殊到一般”得数学思想,通过验证得出如下结论：当点 E 就就是直线C 上(B,除外）任意一点时(其它条件不变),结论 AEF 仍然成立、假如您就就是该兴趣小组中得一员,请您从“点 E 就

10、就是线段 BC 上得任意一点”；“点 E 就就是线段 BC 延长线上得任意一点”;“点 E 就就是线段C 反向延长线上得任意一点”三种情况中,任选一种情况,在备用图中画出图形,并进行证明、【拓展应用】当点 E 在线段C 得延长线上时,若E BC,在备用图 2 中画出图形,并运用上述结论求出得值、4、弦图模型 CAB CABFCABE 外弦图 内弦图 总统图 例题:、两个全等得 30,6三角板E,AC,如右下图所示摆放,、A、在一条直线上,连接 B,取 BD 得 中点M,连接 ME,C、(1)求证：EDMCA；(2)求证:MC 为等腰直角三角形、2、如图AC 中，已知=9,AB=AC,()D 为

11、 AC 中点,BD 于 E,延长E 交 BC 于 F,求证：ADB=CDF(2)若 D,M 为 AC 上得三等分点,如图 2,连 BD,过 A 作 AEB于点 E,交 BC 于点 F，连F,判断ADB 与CMF 得大小关系并证明、3、(14 朝阳二模)已知ABC90,D 就就是直线上得点，DBC、(1)如图 1,过点作FAB,并截取 AF=B,连接C、DF、C，判断CDF 得形状并证明;(）如图 2,E 就就是直线 B上得一点,直线 AE、CD 相交于点，且APD=45,求证 BDE、二、对称全等模型 下图依次就就是50、30、2、50、5及有一个角就就是 300直角三角形得对称(翻折),翻折

12、成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。PECABD图 2 FCABD图 1 GFECBDAGFECBDAP3P2P1ACBPEDABC FEDBAC 例题：、如图，在中,已知BAC=45,DBC 于,B=,DC=3，求 AD 得长、小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换如图、她分别以 AB、AC 为对称轴，画出AD、ACD 得轴对称图形,点得对称点为 E、F,延长 EB、FC 相交于 G 点，得到四边形 AE就就是正方形、设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 得方程模型,求出 x 得值、参考小萍得思路,探究并解答新问题:如图 2,在BC 中,AC30,ABC 于 D,AD=4、请您按照小萍得方法画图,得到四边形 AEGF,求BG得周长、(画图所用字母与图 1 中得字母对应)、问题：已知ABC中，AC=2ACB,点D就就是ABC内一点,且AD=CD,D=B、探究BC与B度数得比值、请您完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证明、(1)当BC=0时,依问题中得条件补全右图、观察图形,AB与A得数量关系为_;当推出DAC=15时，可进一步推出C得度数为_；可得到DBC与B度数得比值为_、(2)当BAC9时,请您画出图形,研究DC与A度数得比值就就是否与（1)中得结论相同,写出您得猜想并加以证明、A B C