全等三角形难题集锦(整理).pdf

《全等三角形难题集锦(整理).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形难题集锦(整理).pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1、（1）如图 1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；（2）如图 2，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.图 1 图 2 2、（1）如图 1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转

2、到图 3 的位置，PE、PF之间是否还具有（2）中的数量关系如果有，请说明 3、E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF，AHEF，H为垂足，求证：AHAB CHFEDBA 4、C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：AD=BE；AEPQ/；AP=BQ；DE=DP；60AOB CP=CQ CPQ为等边三角形 共有 2 对全等三角形 CO平分AOE CO平分BCD|恒成立的结论有_（把你认为正确的序号都填上）5、D为等腰ABCRt斜边AB的中点，DMDN

3、，DM，DN分别交BC，CA于点E，F。（1）当MDN绕点D转动时，求证：DE=DF。（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。NMEFACBA CDOABECBDOAE$B C E D O P Q 6、如图，ABC是正三角形，BDC是顶角120BDC的等腰三角形，以D为顶点作一个 60角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明 7、点C为线段AB上一点，ACM，CBN都是等边三角形，线段AN，MC交于点E，BM，CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是

4、否依然成立 （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。￥OOFEABABNCMMCNFE 图 图 8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使BACQAP，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明 9、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和DEF且ABCDEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E

5、重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O 当DEF旋转至如图位置，点)(EB，C，D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 当DEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗AO与DO存在怎样的数量关系请说明理由 10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；.（2）证明：DCBE 11、两个全等的含30、60角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，90ACBDEA，30ABCDAE，E、A、C三点在一条

6、直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断EMC的形状，并说明理由 12、如图，ADFEDCABDACBFEABCABCABCABEABCABCAMBBMCCMAABCABC（1）如图 1，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点 N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想.（2）如图 2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明 O P A M N E B C D F.AC E F B D 图 图 图 图 1 图 2 D

7、 C E A B 图 1 图 2 19、如图 1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：AF=DE；AFDE.（不需要证明）（1）如图 2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图 3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.20、如图 1、图 2、图 3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC与BD

8、相等吗，有怎样的位置关系请说明理由。（2）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗为什么|（3）若COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问AC与BD还相等吗还具有上问中的位置关系吗为什么 21、如图 1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC=BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图 14-2 的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数

9、量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图 3 的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 22、如图所示，在ABC和ADE中，ACAB，AEAD，DAEBAC，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BECD，的中点（1）求证：BECD；ANAM；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.23、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形ABCD是正方

10、形，点E是边BC的中点90AEF，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以EFAE 在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗如果正

11、确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 24、问题背景，如下命题：如图 1，在正三角形ABC中，N为BC边上任一点，CM为正三角形外角ACK的平分线，若60ANM，则AN=NM。如图 2，在正方形ABCD中，N为BC边上任一点，CM为正方形外角DCK的平分线，若90ANM，则AN=NM。A D F C G E B 图 1 A D￥C G E B 图 2 A D F C G B 图 3 C E D A B M 图 C A E M；D N 图 图 1 （F）B C P A（E）)l l P A E B（C Q F 图 2 l *B P A 图 3 E F.Q C 如图 3，在正五边形ABCDE中

12、，N为BC边上任一点，CM为正五边形外角DCK的平分线，若180ANM，则AN=NM。图3MNKEDCBA图2MNKDCBA图1MKNCBA 任务要求：（1）请你证明以上三个命题；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正n（n3）边形ABCDEF中，N为BC边上任一点，CM为正n边形外角DCK的平分线，问当ANM等于多少度时，结论AN=NM成立（不要求证明）.如图 5，在梯形ABCD中，ADBC，AB=BC=CD，N为BC延长线上一点，CM为DCN的平分线，若ANM=ABC，请问AN=NM是否还成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.图5MNDCBA图4NKFEDCBA 25、已知A

13、OB=90，AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延长线相交于D、E。（1）当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图 1），易证：CD=CE（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图 2 图 3 这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。MMMABCDEOABCDEOOEDCBAMABEOBCODB 26、已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积 27、已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECB

14、F 28、已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系 BACEFQPD 29、已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE。求证：CFADAF ABCDEF 30、已知PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长;（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小.31、已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF 求证：DEBF FEDCBA 32、以ABC的边AB、AC为边分别向外作

15、正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG，试判断ABC与AEG面积之间的关系，并说明理由；ABCEFM 33、用两个全等的等边ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；）（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗简要说明理由.34、在等边ABC的两边AB，AC所

16、在直线上分别有两点M，N，D为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及AMN的周长与等边ABC的周长L的关系（1）如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式_；此时QL=_（2）如图，当点M，N在边AB，AC上，且DNDM 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_（用x，L表示）35、在等边ABC中，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边APE，EC延长线交BP于M，连接AM

17、。求证：（1）BP=CE；（2）EMPM=AM.A G F C B D E 36、在等边ABC中，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接CF（1）如图 1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图 2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系 37、在等边ABC中，过AB边上的点D

18、作BCDG/，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DBDE，连接AE，CD（1）求证：DACAGE；（2）过点E作DCEF/，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论 C G A E D B F 38、在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF求证：EDBFDC DFECBA 39、在等腰ABCRt中，ACB90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F。求P B A C E M 证：ADCBDE 40、在等腰ABCRt中，ACB=90，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即C

19、EAD，CEBE，（1）如图 1，当CE位于点F的右侧时，求证：ADCCEB；,（2）如图 2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图 3，当CE在ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想 41、四边形ABCD中，AB=BC，BF是ABC的平分线，AFDC，连接AC、CF。求证：CA是DCF的平分线。FDACB 42、在四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB 于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BE A B D C E 1 2 43、在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.FEDCBA

20、44、在正方形ABCD中，FADFAE求证：BEDFAE ABCDEF FEDCBA【45、在ABC中，2 BCAB，120ABC，将ABC绕点B顺时针旋转角)900(得11BCA,BA1交AC于点E，11CA分别交AC、BC于D、F两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系并证明你的结论。46、在ABCRt中，BCAC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、BC（或它们的延长线）于E、F。当EDF绕D点旋转到DEAC 于E时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2 和图

21、 3 这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，DEFS、CEFS、ABCS又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明 47、在ABC中，A=90，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PEBD，PFAC，E、F为垂足求证：PE+PF=AB-48、在ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=12BF；（3）CE与BC的大小关系如何试证明你的结论。E C F B D 图 1 图 3 A D F】C B A D B C E 图 2 F A

22、 D B E C F 1A1C A B E C F 1A1C 49、在ABC中，ACB90，ACBC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D求证：（1）AECD；（2）若AC12 cm，求BD的长 50、在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果AB=AC，BAC=90（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，猜想并证明线段BD，CE之间的位置关系。（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，（1）中的结论是否还成立为什么】51、在ABC中，BAC=60，C=40

23、，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q。求证：AQBQBPAB。52、在ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上一点，且DE=DB，求证：BEBCAD2 DABCE 53、在ABC中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点D为AB的中点（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等 （2）若点Q以中的运动速度从点C

24、出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC三边运动，则经过 后，点P与点Q第一次在ABC的 边上相遇（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）)54、在ABC中，ABAC，CADBAD，P为AD上任意一点，求证：PCPBACAB 55、在ABCRt中，ACBC，ACB90，D是AC的中点，DGAC交AB于点G.（1）如图 1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FHFC，交直线AB于点H求证：DG=DC；判断FH与FC的数量关系并加以证明（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，（1）中的其他条件不变，借助图 2 画

25、出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）GHFEDCBA ADBCGE 56、在ABC中，ADBC，BEAC，D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD。求证：BH=AC 57、在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF|58、在ABC中，AM是中线求证：1()2AMABAC ABDCFEABCDEHABDCP 59、正方形ABCD的边长为 1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。（1）证明：BCGDCE；（2）BHDE（3）BG

26、与CD有何关系为什么（4）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗画出一个图形，直接回答，不必说明理由。60、直线CD经过BCA的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且CFABEC（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若90BCA，90，则EF|AFBE（填“”，“”或“”号）；如图 2，若1800BCA，若使中的结论仍然成立，则与BCA 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线CD经过BCA的外部，BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 ABCEFDHG