初中数学竞赛讲义一元二次方程公共根问题.pdf

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1、一元二次方程公共根问题一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，解题方法：解题方法：1 1、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。、直接求根法，再讨论根与根之间的公共关系。2 2、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：、由题意用以下解题步骤：若两个一元二次方程只有一个公共根，则：（1 1）.设公共根为设公共根为，则，则 同时满足这两个一元二次方程；同时满足这两个一元二次方程；（2 2）.用加减法消去用加减法消去 的项，求出公共根或公

2、共根的有关表达式；的项，求出公共根或公共根的有关表达式；（3 3）.把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根或求出字母系数的值或字母把共公根代入原方程中的任何一个方程，然后通过恒等变形求出公共根或求出字母系数的值或字母系数之间的关系式系数之间的关系式2 2例例 1 1 已知一元二次方程已知一元二次方程 x x-4x+k=0-4x+k=0 有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，2 22 22 2 1.1.求求 k k 的取值范围的取值范围 2.2.如果如果 k k是符合条件的最大整数，且一元二次方程是符合条件的最大整数，且一元二次方程 x x-4x+k=0-4x+k=

3、0 与与 x x+mx-1=0+mx-1=0 有一个相同的根，求此时有一个相同的根，求此时 m m的值的值解：解：（1 1）b b 4ac4ac16164k4k0,k40,k4；（2 2）由题意得：由题意得：k k3.x3.x 4x4x3 30,0,即即（x x1 1）（x x3 3）0 0，解方程，得解方程，得 x1=3x1=3，x2=1x2=1，当当 x=3x=3 时时 9 93m3m1 10,m0,m-8/3,-8/3,当当 x=1x=1 时，时，1 1m m1 10,m=00,m=0。mm 4 40 此时0 此时 m m 的值为的值为 m m0,0,或或 m m-8/3.-8/3.例例

4、 2 2若两个关于若两个关于 x x 的方程的方程 x x+x+a=0+x+a=0 与与 x x+ax+1=0+ax+1=0 只有一个公共的实数根，求只有一个公共的实数根，求 a a 的值的值解：设两个方程的公共根为解：设两个方程的公共根为，则有，则有 +a=0 +a=0 +a+1=0 +a+1=0 -得（得（1-a1-a）+a）+a-1=0-1=0，即（，即（1-a1-a）（）（-1-1）=0=0 因为只有一个公共根，所以因为只有一个公共根，所以 a1，所以a1，所以=1=1把把=1=1 代入代入 x x+x+a=0+x+a=0 得得 1 1+1+a=0+1+a=0，a=-2a=-2又解：两

5、个方程相减，得：又解：两个方程相减，得：x+a-ax-1=0 x+a-ax-1=0，整理得：，整理得：x x（1-a1-a）-（1-a1-a）=0=0，即，即（x-1x-1）（1-a1-a）=0=0，若，若 a-1=0a-1=0，2 22 22 2即即 a=1a=1 时，方程时，方程 x x+x+a=0+x+a=0 和和x x+ax+1=0+ax+1=0 的的 b b-4ac-4ac 都小于都小于 0 0，即方程无解；故，即方程无解；故 a1，公共根是：a1，公共根是：x=1x=1把把 x=1x=1代入方程有：1+1+a=0a=代入方程有：1+1+a=0a=-2-22 22 22 22 22

6、22 2例例 3 3、已知、已知 a a2 2，b b2 2，试判断关于，试判断关于 x x 的方程的方程 x x-（a+ba+b）x+ab=0 x+ab=0 与与 x x-abx+-abx+（a+ba+b）=0=0 有没有公共根，请说有没有公共根，请说明理由明理由解：不妨设关于解：不妨设关于 x x 的方程的方程 x x-（a+ba+b）x+ab=0 x+ab=0 与与 x x-abx+-abx+（a+ba+b）=0=0 有公共根，设为有公共根，设为 x0 x0，则有则有 x x0 0 (a+b)x(a+b)x0 0+ab+ab0 x0 x0 0 abxabx0 0+(a+b)+(a+b)0

7、202整理可得（整理可得（x x0 0+1+1）（）（a+b-aba+b-ab）=0=0aa2 2，b b2 2，a+bab，x，a+bab，x0 0=-1=-1；把把 x x0 0=-1=-1 代入得代入得 1+a+b+ab=01+a+b+ab=0，这是不可能的所以关于，这是不可能的所以关于 x x 的两个方程没有公共根的两个方程没有公共根又解：又解：x x-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b)=0所以其两根分别是所以其两根分别是 a a 和和 b b若方程：若方程：x x-abx+(a+b)=0-abx+(a+b)=0 有有 1 1 根根

8、x=a,x=a,代入代入,得：得：a a a a b+a+b=0b+a+b=0(b-1)a(b-1)a -a-b=0-a-b=0(b-1)a-b)(a+1)=0(b-1)a-b)(a+1)=0得：得：a=b/(b-1),a=b/(b-1),或或 a=-1 a=-1（a 2,a 2,a=b/(b-1)2,（其中（其中 b-10b-10）,得：得：b 2(b-1)b 2(b-1)即：即：b 2b 2 b 2 矛盾矛盾同理同理,方程：方程：x x -abx+(a+b)=0-abx+(a+b)=0 有有 1 1 根根 x=b,x=b,也能推出同样的矛盾也能推出同样的矛盾所以两个方程没有公共根所以两个方

9、程没有公共根例例4 4、求求k的值，使得一元二次方程的值，使得一元二次方程x2 kx 1 0，x2 x (k 2)0有相同的根，并求两个方程的根有相同的根，并求两个方程的根解答：解答：不妨设不妨设 a a 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有是这两个方程相同的根，由方程根的定义有a a+ka-1=0+ka-1=0，a a+a+a+（k-2k-2）=0=0-有有 ka-1-a-ka-1-a-（k-2k-2）=0=0，2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2即（即（k-1k-1）（）（a-1a-1）=0=0，所以，所以 k=1k=1，或，或 a=1a=

10、1（1 1）当）当 k=1k=1 时，两个方程都变为时，两个方程都变为 x x+x-1=0+x-1=0，所以两个方程有两个相，所以两个方程有两个相同的根，同的根，没有相异的根；没有相异的根；（2 2）当）当 a=1a=1 时，代入或都有时，代入或都有 k=0k=0，（3 3）此时两个方程变为此时两个方程变为 x x-1=0-1=0，x x+x-2=0+x-2=0解这两个方程，解这两个方程，x x-1=0-1=0 的根为的根为 x x1 1=1=1，x x2 2=-1=-1；x x+x-2=0+x-2=0 的根为的根为 x x1 1=1=1，x x2 2=-2=-2x=1x=1 为两个方程的相同

11、的根为两个方程的相同的根例例 5 5 二次项系数不相等的两个二次方程二次项系数不相等的两个二次方程(a 1)x2(a2 2)x (a2 2a)0和和2 22 22 22 22 2(b 1)x2(b2 2)x (b2 2b)0(其中其中a，b为正整数为正整数)有一个公共根，求有一个公共根，求解答：解答：aaab的值。的值。abba由方程（由方程（a-1a-1）x x-（a a+2+2）x+x+（a a+2a+2a）=0=0 得，得，（a-1a-1）x-x-（a+2a+2）（x-ax-a）=0=02 22 22 2x x2 2=a=a；同理可由方程（同理可由方程（b-1b-1）x x-（b b+2

12、+2）x+x+（b b+2b+2b）=0=0解得解得x x2 2=b=b；a，a，b b 为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根为不相等的正整数，而两个方程有一个公共根2 22 22 2所以所以 a-1a-1 只能为只能为 1 1 或或 3 3，即，即 a=2a=2，b=4b=4，或，或 a=4a=4，b=2b=2（若有（若有当当 a=2a=2，b=4b=4，也是同样的结果）也是同样的结果）（把（把 a=4a=4，b=2b=2 代入计算的结果一样）代入计算的结果一样）例例 6 6 已知关于已知关于 x x 的两个一元二次方程：方程：的两个一元二次方程：方程：(1方程：方程：x2(2k 1)x

13、2k 3 0（1 1）若方程有两个相等的实数根，求解方程；）若方程有两个相等的实数根，求解方程；（2 2）若方程和中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程）若方程和中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简没有实数根，并化简（3 3）若方程和有一个公共根）若方程和有一个公共根a，求代数式，求代数式(a24a2)k 3a25a的值的值解答：解答：练习：练习：1.1.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x26xk（1 1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2 2）如果）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程取符合条件的最大整数，且一元二次方程x26xk求常数求常数

14、m的值。的值。解（解（1 1）k9；k9；（2 2）kk 是符合条件的最大整数且是符合条件的最大整数且 k9，k9，k=9，k=9，当当 k=9k=9 时，方程时，方程 x2-6x+9=0 x2-6x+9=0 的根为的根为 x1=x2=3x1=x2=3；把把 x=3x=3 代入方程代入方程 x2+mx-1=0 x2+mx-1=0 得得 9+3m-1=09+3m-1=0，m=m=-8/3-8/32.2.已知一元二次方程已知一元二次方程x24xk（1 1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2 2）如果）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程取符合条件的最大整数，且一元二次方程x24xk求此时求

15、此时m的值。的值。解答：解答：，k2)x(k 2)x1 02 0有两个实数根。有两个实数根。0与与x2mx1 0有一个相同的根，有一个相同的根，0有两个实数根。有两个实数根。0与与x2mx1 0有一个相同的根，有一个相同的根，(1)0(1)0解得解得 k4k4(2)k(2)k 是最大整数是最大整数,说明说明 k=3k=3x x-4x+k=0-4x+k=0 的根是的根是 1 1 和和 3 3x x+mx-1=0+mx-1=0 的根是的根是 1 1 时时,m=0,m=0 x x+mx-1=0+mx-1=0 的根是的根是 3 3 时时,m=-8/3,m=-8/33.3.已知已知x1,x2是一元二次方

16、程是一元二次方程(k 1)x22kxk 3 0有两个不相等的实数根。有两个不相等的实数根。（1 1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2 2）在（）在（1 1）的条件下，当）的条件下，当k取符合条件的最小整数时一元二次方程取符合条件的最小整数时一元二次方程x2有一个相同的根，求有一个相同的根，求m的值。的值。解答：解答：（1 1）方程有两个不相等的实数根，）方程有两个不相等的实数根，=b=b-4ac=-4ac=（2k2k）-4-4（k+1k+1）（）（k-3k-3）0 0解得解得 k k-3/2-3/2方程是一元二次方程方程是一元二次方程k+10，k+10，kk-1-1实数实数 k k 的取值

17、范围为：的取值范围为：k k-3/2-3/2 且且 kk-1-1（2 2）由（）由（1 1）可得：）可得：k k 取最小整数时取最小整数时 k=0k=0 xx-x+0=0-x+0=0，解得解得 x x1 1=0=0，x x2 2=1=1把把 x=0 x=0 代入代入 x x+mx-m+mx-m=0=0，m=0m=0把把 x=1x=1 代入代入 x x+mx-m+mx-m=0=0 得，得，m m-m-1=0-m-1=0，解得，解得2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2 xk 0与与x2mxm2 0只只m=m=4 4、已知方程已知方程x2的相异根。的相异根。kx7 0与

18、方程与方程x26x(k 1)0有公共根，求有公共根，求k的值及两方程的所有公共根和所有的值及两方程的所有公共根和所有解答：设两个方程公共根为解答：设两个方程公共根为 x x，依题意得，依题意得X X kxkx 7 700X X 6x6x (k+1)(k+1)00-得，（得，（-6+k-6+k）x+x+（6-k6-k）=0=0，当当-6+k=0-6+k=0，即，即 k=6k=6 时，时，x x 取任意值，两个方程得解都相同两个方程是同一个式子方程得解是取任意值，两个方程得解都相同两个方程是同一个式子方程得解是 x x1 1=7=7，x x2 2=-1=-1；当当 k6k6 时，解得时，解得 x=

19、1x=1把把 x=1x=1 代入代入 x x-kx-7=0-kx-7=0 得，得，1-k-7=01-k-7=0，k=-6k=-6于是两方程为：于是两方程为：x x+6x-+6x-7=0，7=0，x x1 1=1=1，x x2 2=-7=-7X X-6x+5=0，6x+5=0，x x1 1=1=1，x x2 2=5=5故答案为：故答案为：k=-6k=-6；其公共根为；其公共根为 1 1，相异根为：，相异根为：-7-7 和和 5 55.5.关于关于 x x 的方程的方程 x x+bx+1=0+bx+1=0 与与 x x-x-b=0-x-b=0 有且只有一个公共根，求有且只有一个公共根，求 b b

20、的值的值解：设方程的公共根为解：设方程的公共根为 x=tx=t，则，则T T+bt+1+bt+10 (1)0 (1)T T t t b b0 (2)0 (2)，由（由（2 2）得）得 b=tb=t-t-t（3 3）将（将（3 3）代入（）代入（1 1）得：）得：t t+1=0+1=0，解得，解得，t=-1t=-1，当，当 t=-1t=-1 时，时，b=2b=2变式：若两个方程变式：若两个方程 x x+ax+b=0+ax+b=0 和和 x x+bx+a=0+bx+a=0 只有一个公共根，则（只有一个公共根，则（）A Aa=b Ba=b Ba+b=0 Ca+b=0 Ca+b=1 Da+b=1 Da

21、+b=-1.a+b=-1.解：设公共根为解：设公共根为 x x0 0，则，则x x0 0+ax+ax0 0+b=0 +b=0 x x0 0+bx+bx0 0+a=0 +a=0 -，得（，得（a-ba-b）（）（x x0 0-1-1）=0=0，当当 a=ba=b 时，方程可能有两个公共根，不合题意；当时，方程可能有两个公共根，不合题意；当 x x0 0=1=1 时，所以时，所以 1+a+b=01+a+b=0，a+b=-1a+b=-1故选故选 D D变式：已知实数变式：已知实数 a,ba,b 满足满足 a a +b+b =1,=1,且方程且方程 x x +ax+b=0+ax+b=0 和和 x x

22、+bx+a=0+bx+a=0 至少有一个公共根至少有一个公共根,求求 a a、b b 的值的值解解:第一种情况：有两个相同的根，则第一种情况：有两个相同的根，则 a=b,a=b,即即 a=b=a=b=2第二种情况：有一个相同的根，则第二种情况：有一个相同的根，则 x x +ax+b=0+ax+b=0 和和 x x +bx+a=0+bx+a=0，两式作差，得（，两式作差，得（a-ba-b）（）（x-1x-1）=0=0 可得可得 x=1x=1 可可得得 a+b+1=0a+b+1=0加上加上 a a+b+b=1,=1,可解得可解得 a=-1,b=oa=-1,b=o 或或 a=0a=0，b=-1b=-

23、16.6.若方程若方程x22 22 22 22 22 22 23 32 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2axb 0和和x2bxa 0只有一个公共根，求只有一个公共根，求(ab)2012的值。的值。解答：设公共根为解答：设公共根为 t t，则则 t t+at+b=0+at+b=0，t t+bt+a=0+bt+a=0，2 22 2（a-ba-b）t=a-bt=a-b，tt 有唯一的值，有唯一的值，aa-bb0 0，t=1，t=1，把把 t=1t=1 代入代入 x x+ax+b=0+ax+b=0 得得 a+b+1=0a+b+1=0a+b=-1a+b=-1 故答案是（故答案是（

24、-1-1）7.7.当当2 220122012=1=1p是什么实数时，方程是什么实数时，方程x2 px3 0与方程与方程x24x(p1)0有一个公共根。有一个公共根。解答：解答：X X-4x-p+1=0.(1)-4x-p+1=0.(1)x x+px-3=0.(2)+px-3=0.(2)(2)-(1):(x+1)p+4x-4=0(2)-(1):(x+1)p+4x-4=0p=4(1-x)/(x+1)p=4(1-x)/(x+1)代入（代入（2 2）：）：x x+4x(1-x)/(1+x)-3=0+4x(1-x)/(1+x)-3=0 x x-3x-3x+x-3=0+x-3=0(x(x+1)(x-3)=0

25、+1)(x-3)=0 x=3x=3p=4(1-3)/(1+3)=-2p=4(1-3)/(1+3)=-28.8.设设a、b、c为三个互不相等的实数，且为三个互不相等的实数，且c 1，已知关于，已知关于x的方程的方程x2的值。的值。2 23 32 22 22 22 2ax1 0和方程和方程x2bxc 0有一个公共根，方程有一个公共根，方程x2 xa 0和方程和方程x2cxb 0有一个公共根，试求有一个公共根，试求abc分析：设分析：设 x12+ax1+1=0 x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0 x12+bx1+c=0，得，得 x1=x1=（c1），再根据韦达定理即可求解（c1），再根据

26、韦达定理即可求解，同理，由，同理，由 x22+x2+a=0 x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0 x22+cx2+b=0，得，得 x2=x2=解答：解：设解答：解：设 x12+ax1+1=0 x12+ax1+1=0，x12+bx1+c=0 x12+bx1+c=0，两式相减，得（，两式相减，得（a-ba-b）x1+1-c=0 x1+1-c=0，解得，解得 x1=x1=，同理，由同理，由 x22+x2+a=0 x22+x2+a=0，x22+cx2+b=0 x22+cx2+b=0，得，得 x2=x2=（c1），（c1），x2=x2=，是第一个方程的根，是第一个方程的根，x1x1 与与是方程是

27、方程 x12+ax1+1=0 x12+ax1+1=0 的两根，的两根，x2x2 是方程是方程 x2+ax+1=0 x2+ax+1=0 和和 x2+x+a=0 x2+x+a=0 的公共根，的公共根，因此两式相减有（因此两式相减有（a-1a-1）（）（x2-1x2-1）=0=0，当当 a=1a=1 时，这两个方程无实根，时，这两个方程无实根，故故 x2=1x2=1，从而，从而 x1=1x1=1，于是于是 a=-2a=-2，b+c=-1b+c=-1，所以所以 a+b+c=-3a+b+c=-39.9.已知方程：已知方程：ax2bxc 0，（其中，（其中c 0）有整数根，是否存在整数）有整数根，是否存在

28、整数p，使得方程：，使得方程：x3(a p)x2(b p)xc 0与方程有相同的整数根？如果存在，请求出与方程有相同的整数根？如果存在，请求出p的值及相应的公共根，的值及相应的公共根，若不存在，请说明理由。若不存在，请说明理由。解答：解答：x3+x3+（a+Pa+P）x2+x2+（b+Pb+P）x+c=0 x+c=0则则 x3+Px2+Px+ax2+bx+c=0 x3+Px2+Px+ax2+bx+c=0 而而 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 x3+Px2+Px=0 x3+Px2+Px=0 则方程必有一个根为则方程必有一个根为 0 0，而，而 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0，

29、（其中，（其中 c0）无c0）无 0 0 根根x2+Px+P=0 x2+Px+P=0 与与 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 有相同的整数根有相同的整数根而方程而方程 x2+Px+P=0 x2+Px+P=0 的根为的根为从而从而 P=0P=0 或或 4 4，而，而 P=0P=0 时方程时方程 x3+x3+（a+Pa+P）x2+x2+（b+Pb+P）x+c=0 x+c=0 的根为的根为 0 0，而，而 ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0，（其中（其中 c0）c0）无无 0 0 根，根，不合题意不合题意P=4，此时方程P=4，此时方程 x2+Px+P=0 x2+Px+P=0 的根为的

30、根为-2-2已知关于已知关于 x x 的方程的方程 x2+x-3m=0 x2+x-3m=0 与与 x2-mx+3=0 x2-mx+3=0 只有一个相同的实数根，求只有一个相同的实数根，求 m m 的值的值解：将方程解：将方程 x2+x-3m=0 x2+x-3m=0 和和 x2-mx+3=0 x2-mx+3=0 组成方程组得，组成方程组得，x2+x x2+x 3m3m0 0 x2x2 mx+3mx+30 0，解得解得 x=3x=3，m=4m=410.10.是否存在某个实数是否存在某个实数m，使得方程，使得方程x2mx2 0和方程和方程x22xm 0有且只有一个公共根？如果存有且只有一个公共根？如

31、果存在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。在，求出这个实数及两方程的公共根；若不存在，请说明理由。解：假设存在实数解：假设存在实数 m m，使这两个方程有且只有一个公共实数根，使这两个方程有且只有一个公共实数根 a a，由方程根的定义，得，由方程根的定义，得（1 1）-（2 2）得：（）得：（m-2m-2）a+(2-m)=0a+(2-m)=0，解得：解得：m=2m=2，或，或 a=1a=1，当当 m=2m=2 时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根，时，两个已知方程为同一方程，且没有实数根，所以，所以，m=2m=2 舍去，舍去，当当 a=1a=1 时，代入（时，代入（1 1

32、）得）得 m=-3,m=-3,当当 m=-3m=-3 时，求得第一个方程的根为时，求得第一个方程的根为第二个方程的根为第二个方程的根为所以，存在符合条件的所以，存在符合条件的 m,m,当当 m=-3m=-3 时，两个方程有且只有一个公共根时，两个方程有且只有一个公共根 x=1x=1。11.11.如果方程如果方程ax2bx6 0和方程和方程ax22bx15 0有一个公共根是有一个公共根是 3 3，求，求a,b的值，并分别求出两个的值，并分别求出两个方程的另外一个根。方程的另外一个根。答案：答案：把把 x=3x=3 分别代入两个方程，分别代入两个方程，得得9a-3b-6=09a-3b-6=09a+

33、6b-15=09a+6b-15=0解得解得a=1a=1b=1b=1把把 a=1a=1，b=1b=1 代入代入 ax2-bx-6=0ax2-bx-6=0 得得 x2-x-6=0 x2-x-6=0，（x-3x-3）（）（x+2x+2）=0=0，解得：解得：x1=3x1=3，x2=-2x2=-2方程方程 ax2-bx-6=0ax2-bx-6=0 的另一个根为的另一个根为-2-2把把 a=1a=1，b=1b=1 代入代入 ax2+2bx-15=0ax2+2bx-15=0 得得x2+2x-15=0 x2+2x-15=0，即（即（x-3x-3）（x+5x+5）=0=0，解得解得 x1=3x1=3，x2=-5x2=-5方程方程 ax2+bx-15=0ax2+bx-15=0 的另一个根为的另一个根为-5-512.12.已知两个方程已知两个方程x2axb 0，x2cxd 0有一个公共根为有一个公共根为 1 1，求证一元二次方程，求证一元二次方程也有一个根为也有一个根为 1.1.证明：x=1证明：x=1 是方程是方程 x2+ax+b=0 x2+ax+b=0 和和 x2+cx+d=0 x2+cx+d=0 的公共根，的公共根，a+b+1=0，a+b+1=0，c+d+1=0c+d+1=0，a+c+b+d+2=0，a+c+b+d+2=0，b+d=b+d=-a-c-2-a-c-2