2018年高考理科数学新课标全国2卷逐题解析.pdf

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1、.专业.专注.20182018 年普通高等学校招生全国统一考试新课标年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2 2 卷卷理科数学理科数学注意事项注意事项：1 1答卷前答卷前，考生务必将自己的姓名考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上准考证号填写在答题卡上。2 2作答时作答时，将答案写在答题卡上将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效写在本试卷及草稿纸上无效。3 3考试结束后考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回将本试卷和答题卡一并交回。一一、选择题选择题：本题共本题共 1212 小题小题，每小题每小题5 5 分分，共共 6060 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只

2、有一项是符合题目要只有一项是符合题目要求的求的。1+2i1+2i1 1=(=()1-2i1-2i4 43 3A A-i i5 55 5解析解析：选选 D D2 2已知集合已知集合 A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 2 3,x3,xZ,yZ,yZ Z，则则 A A 中元素的个数为中元素的个数为()A A9 9B B8 8C C5 5D D4 43 3B B-+i i5 55 54 43 34 4C C-i i5 55 53 34 4D D-+i i5 55 5解析解析：选选 A A问题为确定圆面内整点个数问题为确定圆面内整点个数3 3函数函数 f(x)=f(x)=e ex x

3、-e-e-x-xx x2 2的图像大致为的图像大致为()解析解析：选选 B Bf(x)f(x)为奇函数为奇函数，排除排除 A,x0,f(x)0,A,x0,f(x)0,排除排除 D,D,取取 x=2,f(2)=x=2,f(2)=4 4已知向量已知向量 a a，b b 满足满足|a|=1|a|=1，a a b=-1b=-1，则则 a a(2a-b)=(2a-b)=()e e2 2-e-e-2-24 41,1,故选故选 B B.word 可编辑.专业.专注.A A4 4B B3 3C C2 2D D0 0解析解析：选选 B Ba a(2a-b)=2a(2a-b)=2a2 2-a-a b=2+1=3b

4、=2+1=3x x2 2y y2 25 5双曲线双曲线2 22 21(a1(a0 0，b b0)0)的离心率为的离心率为a ab bA Ay=y=2x2xB By=y=3x3x3 3，则其渐近线方程为则其渐近线方程为()2 2C Cy=y=x x2 23 3D Dy=y=x x2 2解析解析：选选 A Ae=e=3 3c c2 2=3a=3a2 2b=b=2a2aC C5 56 6在在 ABCABC 中中，coscos=，BC=1BC=1，AC=5AC=5，则则 AB=(AB=()2 25 5A A4 42 2B B3030C C2929D D2 25 52 2解析解析：选选 A AcosC=

5、2coscosC=2cos2 2C C3 3-1=-1=-ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2AB-2AB BCBC cosC=32cosC=32AB=4AB=42 25 51 11 11 11 11 17 7为计算为计算 S=1-S=1-+-+-，设计了右侧的程序框图设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入则在空白框中应填入()2 23 34 49999100100开始N 0,T 0i 1是1ii 100否N N T T S N T输出S结束1i 1A Ai=i+1i=i+1B Bi=i+2i=i+2C Ci=i+3i=i+3D Di=i+4i=i+4解析解析：选选 B B

6、8 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想是“每个大于每个大于 2 2 的偶数的偶数可以表示为两个素数的和可以表示为两个素数的和”，”，如如 30=7+2330=7+23在不超过在不超过 3030 的素数中的素数中，随机选取两个不同的数随机选取两个不同的数，其和等于其和等于3030 的的概率是概率是().word 可编辑.专业.专注.1 1A A12121 1B B14141 1C C1515D D18181 1解析解析：选选 C C不超过不超过 3030 的素数有的素数有 2 2，3 3

7、，5 5，7 7，1111，1313，1717，1919，2323，2929 共共 1010 个个，从中选从中选 2 2 个其和为个其和为 3030的为的为 7+237+23，11+1911+19，13+1713+17，共共 3 3 种情形种情形，所求概率为所求概率为 P=P=2 2=C C101015159 9在长方体在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中，AB=BC=1AB=BC=1，AAAA1 1=1 1A A5 55 5B B6 63 3，则异面直线则异面直线ADAD1 1与与 DBDB1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为()2 2D D2 2

8、3 31 15 5C C5 5解析解析：选选 C C建立空间坐标系建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得利用向量夹角公式可得。1010若若 f(x)=cosx-sinxf(x)=cosx-sinx 在在-a,a-a,a是减函数是减函数，则则 a a 的最大值是的最大值是()A A4 4 B B2 23 3 C C4 4D D解析解析：选选 A Af(x)=f(x)=2cos(x+2cos(x+),),依据依据 f(x)=cosxf(x)=cosx 与与 f(x)=f(x)=4 4 2cos(x+2cos(x+)的图象关系知的图象关系知 a a 的最大值为的最大值为。4 44 41111已知已知

9、f(x)f(x)是定义域为是定义域为(-(-,+,+)的奇函数的奇函数，满足满足 f(1-x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)若若 f(1)=2f(1)=2，则则 f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=(+f(50)=()A A-50-50B B0 0C C2 2D D5050解析解析：选选 C C 由由 f(1-x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x)得得 f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),所以所以 f(x)f(x)是以是以 4 4 为周期的奇函数为周期的奇函数，且且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(

10、2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2+f(50)=f(1)+f(2)=2x x2 2y y2 23 31212已知已知F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆C:C:1 1（ab0ab0）的左的左，右焦点右焦点，A A是是C C的左顶点的左顶点，点点P P在过在过A A且斜率为且斜率为a a2 2b b2 26 6的直线上的直线上，P

11、FP F1 1F F2 2为等腰三角形为等腰三角形，F F1 1F F2 2P=120P=1200 0，则则 C C 的离心率为的离心率为()2 2A A3 31 1B B2 21 1C C3 31 1D D4 4解析解析：选选 D DAPAP 的方程为的方程为 y=y=3 3(x+a),(x+a),P FP F1 1F F2 2为等腰三角形为等腰三角形|F|F2 2P|=|FP|=|F1 1F F2 2|=2c,|=2c,6 6.word 可编辑.专业.专注.过过 P P 作作 PHPHx x 轴轴，则则 PFPF2 2H=60H=600 0,|F|F2 2H|=c,|PH|=H|=c,|P

12、H|=3c,3c,P(2c,P(2c,3c),3c),代入代入 APAP 方程得方程得 4c=a4c=a二二、填空题填空题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。1313曲线曲线 y=2ln(x+1)y=2ln(x+1)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为_解析解析：y=2xy=2x x+2y-5x+2y-5 0 01414若若 x,yx,y 满足约束条件满足约束条件 x-2y+3x-2y+3 0 0,则则 z=x+yz=x+y 的最大值为的最大值为_ x-5x-5 0 0解析解析：9 91515已知已知 sinsin+cos+c

13、os=1,cos=1,cos+sin+sin=0=0，则则 sin(sin(+)=_)=_1 1解析解析：-两式平方相加可得两式平方相加可得2 27 71616已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为S S，母线母线SASA，SBSB所成角的余弦值为所成角的余弦值为，SASA与圆锥底面所成角为与圆锥底面所成角为45，45，若若 SABSAB的面积的面积8 8为为 5 51515，则该圆锥的侧面积为则该圆锥的侧面积为_15151 115152 22r,2r,又又 SASA，SBSB 所成角的正弦值为所成角的正弦值为,则则 2r2r =5=58 82 28 81515解析解析：设圆锥底面圆半径为设圆锥底面

14、圆半径为r,r,依题依题 SA=SA=r r2 2=40,=40,S=S=r r 2r=402r=402 2三三、解答题解答题：共共7070分分。解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤。第第17172121题为必考题题为必考题，每个试题考生每个试题考生都必须作答都必须作答。第第 2222、2323 为选考题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答。（一一）必考题必考题：共共 6060 分分。1717（1212 分分）记记 S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前 n n 项和项和，已知已知 a a1 1=-7=-7，S S3 3=-15=-15

15、（1 1）求求aan n 的通项公式的通项公式；（2 2）求求 S Sn n，并求并求 S Sn n的最小值的最小值解解：（：（1 1）设设aan n 的公差为的公差为 d d，由题意得由题意得 3 a3 a1 1+3d=-15,+3d=-15,由由 a a1 1=-7=-7 得得 d=2.d=2.所以所以aan n 的通项公式为的通项公式为 a an n=2n-9.=2n-9.（2 2）由由（1 1）得得 S Sn n=n=n2 2-8n=(n-4)-8n=(n-4)2 2-16.-16.所以当所以当 n=4n=4 时时,S,Sn n取得最小值取得最小值,最小值为最小值为16.16.word

16、 可编辑.专业.专注.1818（1212 分分）下图是某地区下图是某地区 20002000 年至年至 20162016 年环境基础设施投资额年环境基础设施投资额y y（单位单位：亿元亿元）的折线图的折线图为了预测该地区为了预测该地区20182018年的环境基础设施投资额年的环境基础设施投资额，建立了建立了 y y 与时间变量与时间变量t t 的两个线性回归模型的两个线性回归模型根据根据20002000 年年 至至 20162016 年的数据年的数据（时间变量时间变量 t t 的值依次为的值依次为 1,2,1,2,17,17）建立模型建立模型：y y=-30.4+13.5t=-30.4+13.5

17、t；根据根据 20102010 年至年至 20162016 年的数据年的数据（时间变量时间变量 t t 的值依次为的值依次为 1,2,1,2,7,7）建立模型建立模型：y y=99+17.5t=99+17.5t（1 1）分别利用这两个模型分别利用这两个模型，求该地区求该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值年的环境基础设施投资额的预测值；（2 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由并说明理由解解：（：（1 1）利用模型利用模型,该地区该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值为年的环境基础设施投资额的预测值为 y y=

18、-30.4+13.5=-30.4+13.5 19=226.1(19=226.1(亿元亿元).).利用模型利用模型,该地区该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值为年的环境基础设施投资额的预测值为 y y=99+17.5=99+17.5 9=256.5(9=256.5(亿元亿元).).（2 2）利用模型利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠.理由如下理由如下：（）（）从折线图可以看出从折线图可以看出,2000,2000 年至年至 20162016 年的数据对应的点没有随机散布在直线年的数据对应的点没有随机散布在直线y y=-30.4+13.5t=-30.4+13.5t 上下

19、上下.这说明利用这说明利用 20002000 年至年至 20162016 年的数据建立的线性模型年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势势.2010.2010 年相对年相对 20092009 年的环境基础设施投资额有明显增加年的环境基础设施投资额有明显增加，20102010 年至年至 20162016 年的数据对应的点位于一年的数据对应的点位于一条直线的附近条直线的附近，这说明从这说明从 20102010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用利用 20102010

20、年至年至 20162016 年的数据建立的线性模型年的数据建立的线性模型y y=99+17.5t=99+17.5t 可以较好地描述可以较好地描述20102010 年以后的环境基础设施投资额的变化年以后的环境基础设施投资额的变化.word 可编辑.专业.专注.趋势趋势,因此利用模型因此利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠.（）（）从计算结果看从计算结果看,相对于相对于20162016年的环境基础设施投资额年的环境基础设施投资额220220亿元亿元,由模型由模型得到的预测值得到的预测值226.1226.1亿元亿元的增幅明显偏低的增幅明显偏低,而利用模型而利用模型得到的预测值的增幅比较合理得

21、到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型说明利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠.以上给出了以上给出了 2 2 种理由种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.1919（1212 分分）设抛物线设抛物线 C:yC:y2 2=4x=4x 的焦点为的焦点为 F F，过过 F F 且斜率为且斜率为 k(k0)k(k0)的直线的直线 l l 与与 C C 交于交于 A A，B B 两点两点，|AB|=8|AB|=8（1 1）求求 l l 的方程的方程；（2 2）求过点求过点 A A，B B 且与且与 C C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的

22、方程解解：（：（1 1）由题意得由题意得 F(1,0)F(1,0)，l l 的方程为的方程为 y=k(x-1)(k0).y=k(x-1)(k0).y=k(x-1)y=k(x-1)设设 A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)，由由 y y2 2=4x=4x 2k2k2 2+4+4=16k=16k2 2+160+160，故故 x x1 1+x+x2 2=2 2.k k得得 k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2=0.=0.2k2k2 2+4+4所以所以|AB|=x|AB|=x1 1+x+x2 2+2=+2=2 2+2=8+2=8

23、，解得解得 k=-1k=-1（舍去舍去），），k=1.k=1.k k因此因此 l l 的方程为的方程为 y=x-1.y=x-1.（2 2）由由（1 1）得得 ABAB 的中点坐标为的中点坐标为(3,2)(3,2)，所以所以 ABAB 的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3)y-2=-(x-3)，即即 y=-x+5.y=-x+5.y y=-x=-x+5+5 设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(x(x,y,y)，则则(y(y-x-x+1)+1)(x(x+1)+1)=+16+16 2 2 0 00 00 00 00 02 20 00 02 2 x x0 0=3=3解得解得 y

24、 y0 0=2=2 x x0 0=11=11或或 y y0 0=-6=-6 因此所求圆的方程为因此所求圆的方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=16=16 或或(x-11)(x-11)2 2+(y+6)+(y+6)2 2=144.=144.2020（1212 分分）如图如图，在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中，AB=BC=2AB=BC=2（1 1）证明证明：POPO平面平面 ABCABC；.word 可编辑.2 2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，O O 为为 ACAC 的中点的中点.专业.专注.（2 2）若点若点 MM 在棱在棱 BC

25、BC 上上，且二面角且二面角 M-PA-CM-PA-C为为 30300 0，求求 PCPC 与平面与平面 PAMPAM所成角的正弦值所成角的正弦值PABOMC3.3.解解：（：（1 1）因为因为 AP=CP=AC=4AP=CP=AC=4，O O 为为 ACAC 的中点的中点，所以所以 OPOPACAC，且且 OP=2OP=22 2连结连结 OB.OB.因为因为 AB=BC=AB=BC=ACAC，所以所以 ABCABC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形，2 21 1且且 OBOBACAC，OB=OB=AC=2.AC=2.2 2由由 OPOP2 2+OB+OB2 2=PB=PB2 2知知 OPOP

26、OB.OB.由由 OPOPOB,OPOB,OPACAC 知知 OPOP平面平面 ABC.ABC.（2 2）如图如图，以以 O O 为坐标原点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系建立如图空间直角坐标系.由已知得由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2=(2,0,0).=(2,0,0).取平面取平面 PACPAC的法向量的法向量OBOB=(a,4-a,0).=(a,4-a,0).设设 M(a,2-a,0)(0aM(a,2-a,0)(0=,n=所以所以

27、cosOBcos|=,n|=.由已知得由已知得|cosOB|cos=,n=3)3)，所以所以 cosPCcosPC3 3.4 4所以所以 n=(-n=(-.word 可编辑.专业.专注.3 3所以所以 PCPC 与平面与平面 PANPAN所成角的正弦值为所成角的正弦值为.4 42121（1212 分分）已知函数已知函数 f(x)=ef(x)=ex x-ax-ax2 2（1 1）若若 a=1a=1，证明证明：当当 x x 0 0 时时，f(x)f(x)1 1；（2 2）若若 f(x)f(x)在在(0,+(0,+)只有一个零点只有一个零点，求求 a a【解析解析】（】（1 1）当当 a=1a=1

28、时时，f(x)f(x)1 1 等价于等价于(x(x2 2+1)e+1)e-x-x-1-1 0 0设函数设函数 g(x)(xg(x)(x2 2+1)e+1)e-x-x-1-1，则则 g g(x)(x)=-(x-1)=-(x-1)2 2e e-x-x当当 x x 1 1 时时，g g(x)(x)00h(x)0，h(x)h(x)没有零点没有零点；（ii ii）当当 a0a0 时时，h h(x)(x)=ax(x-2)e=ax(x-2)e-x-x当当 x x(0,2)(0,2)时时，h h(x)(x)000所以所以 h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)单调递减单调递减，在在(2,+(2,+)单调递增

29、单调递增4a4a故故 h(2)=1-h(2)=1-2 2是是 h(x)h(x)在在0,+0,+)的最小值的最小值e ee e2 2若若 h(2)0h(2)0，即即 aa，h(x)h(x)在在(0,+(0,+)没有零点没有零点；4 4e e2 2若若 h(2)=0h(2)=0，即即 a=a=，h(x)h(x)在在(0,+(0,+)只有一个零点只有一个零点；4 4e e2 2若若 h(2)0h(2)a，由于由于 h(0)=1h(0)=1，所以所以 h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)有一个零点有一个零点，4 4由由（1 1）知知，当当 x0 x0 时时，e ex x=x=x2 2，所以所以1

30、1h(4a)=1-h(4a)=1-2a2a 2 21-1-=1-=1-00(e(e)(2a)(2a)4 4a a16a16a3 316a16a3 3.word 可编辑.专业.专注.故故 h(x)h(x)在在(2,4a)(2,4a)有一个零点有一个零点，因此因此 h(x)h(x)在在(0,+(0,+)有两个零点有两个零点e e2 2综上综上，f(x)f(x)在在(0,+(0,+)只有一个零点时只有一个零点时，a=a=4 4（二二）选考题选考题：共共 1010 分分。请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计

31、分。2222 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程（1010 分分）x=2cosx=2cos 在直角坐标系在直角坐标系xOyxOy中中，曲线曲线C C的参数方程为的参数方程为 y=4siny=4sin（t t 为参数为参数）（1 1）求求 C C 和和 l l 的直角坐标方程的直角坐标方程；x=1+tcosx=1+tcos（为参数为参数），），直线直线l l的参数方程为的参数方程为 y=2+tsiny=2+tsin（2 2）若曲线若曲线 C C 截直线截直线 l l 所得线段的中点坐标为所得线段的中点坐标为(1,2)(1,2)，求求 l l 的斜率的斜率x x2 2y y2

32、 2【解析解析】（】（1 1）曲线曲线 C C 的直角坐标方程为的直角坐标方程为+=1=14 41616当当 coscos0 0 时时，l l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 y=tany=tan x+2-tanx+2-tan，当当 coscos=0=0 时时，l l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x=1x=1（2 2）将将 l l的参数方程代入的参数方程代入C C 的直角坐标方程的直角坐标方程，整理得关于整理得关于t t的方程的方程(1+3cos(1+3cos2 2)t)t2 2+4(2cos+4(2cos+sin+sin)t-8=0)t-8=0因为曲线因为曲线 C C 截直线截直线

33、l l 所得线段的中点所得线段的中点(1,2)(1,2)在在 C C 内内，所以所以有两个解有两个解，设为设为 t t1 1，t t2 2，则则 t t1 1+t+t2 2=0=0又由又由得得 2cos2cos+sin+sin=0=0，于是直线于是直线 l l 的斜率的斜率 k=tank=tan=-2=-22323 选修选修 4 45 5：不等式选讲不等式选讲（1010 分分）设函数设函数 f(x)=5-|x-a|-|x-2|f(x)=5-|x-a|-|x-2|（1 1）当当 a=1a=1 时时，求不等式求不等式 f(x)f(x)0 0 的解集的解集；（2 2）若若 f(x)f(x)1 1，求求 a a 的取值范围的取值范围 2x+4 x2x+4 x-1-1【解析解析】（】（1 1）当当 a=1a=1 时时，2 -1x2 -12-2x+6 x2（2 2）f(x)f(x)1 1 等价于等价于|x+a|+|x-2|x+a|+|x-2|4 4.word 可编辑.专业.专注.而而|x+a|+|x-2|x+a|+|x-2|a+2|a+2|，且当且当 x=2x=2 时等号成立时等号成立故故 f(x)f(x)1 1 等价于等价于|a+2|a+2|4 4得得 a a-6-6 或或 a a 2 2，所以所以 a a 的取值范围是的取值范围是(-(-,-6,-62,+2,+).word 可编辑.