洛伦兹变换的详细推导.pdf

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1、第三节 洛伦兹变换式 教学内容：1.洛伦兹变换式的推导；2.狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；重点难点：狭义相对论时空观的主要结论。基本要求：1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。三、洛伦兹坐标变换的推导 22211cvcvxttzzyycvvtxx 或 22211cvcxvttzzyycvt vxx 据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。1.时空坐标间的变换关系 作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是

2、线性的。对于任意事件 P 在 S 系和S系中的时空坐标(x，y，z，t)、(x，y，z，t)，因 S 相对于 S以平行于 x 轴的速度 v 作匀速运动，显然有 y=y,z=z。在 S 系中观察 S 系的原点，x=0；在 S系中观察该点，x=-vt，即 x+vt=0。因此x=x+vt。在任意的一个空间点上，可以设：x=k（x+vt），k 是比例常数。同样地可得到：x=k（x-vt）=k（x+(-v)t）根据相对性原理，惯性系 S 系和 S系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k。2.由光速不变原理可求出常数 k 设光信号在 S 系和 S系的原点重合的瞬时从重合点沿 x 轴前

3、进，那么在任一瞬时 t（或 t），光信号到达点在 S 系和 S系中的坐标分别是：x=ct,x=ct，则：由此得到22211cvvcck。这样，就得到21cvvtxx，21cvt vxx。由上面二式，消去 x得到221cvcvxtt；若消去 x 得到221cvcxvtt，综合以上结果，就得到 洛仑兹变换，或 洛仑兹反变换 可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。3.讨论（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。（2）当|v/c|1 时，洛仑兹变换就成为伽利略变

4、换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形低速极限。四、相对论速度变换公式 洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。设物体在 S、S系中的的速度分别为zyxuuu,，zyxuuu,，根据洛仑兹变换式可得：因此：222111cvcvudtcvdtvut dxdxx，即：21cvuvuuxxx 因y=y,z=z，有dy=dy,d z=dz则2211cvcvudtdyt dydx，即2211cvucvuuxyy。同理：2211cvucvuuxzz 因此得相对论的速度变换公式：21cvuvuuxxx、2211cvu

5、cvuuxyy、2211cvucvuuxzz 其逆变换为：因为 vc，uc，所以 t与 t 同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。（4）上述情况是相对的。同理在 S系中不同地点同时发生的两个事件，在 S系看来同样也是不同时的。（5）当cv时，tt，回到牛顿力学。二、长度收缩（洛伦兹收缩）假设一刚性棒 AB 静止于 S系中12xxl，在 S 系中同时ttt21测量得12xxl。由洛伦兹坐标变换式：得：即 21cvll 1.固有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用 l0表示。即 2.洛伦兹收缩（长度缩短）观 察 者 与 被 测 物 体 有 相

6、对 运 动 时，长 度 的 测 量 值 等 于 其 原 长 的21cv倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。讨论：（1）长度缩短效应具有相对性。若在 S 系中有一静止物体，那么在S系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有 即看人家运动着的尺子变短了。（2）当 vc 时，有ll 三、时间膨胀（时间延缓）由洛伦兹变换得221212121cvcxxvtttt，事件 P1、P2在 S 系中的时间间隔为12ttt，事件 P1、P2在 S系中的时间间隔为12ttt。如果在 S系中两事件同地点发生，即12xx，则有：1.固有时间（原时）的概念 在某一惯性系中同一地点先后发

7、生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。用0表示，且：201cvt。2.时间膨胀 在 S 系看来：0t，称为时间膨胀。3.讨论（1）时间膨胀效应具有相对性。若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为 t（称为原时），则同理有 就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。（2）当vc时，有tt（3）实验已证实 子，介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。例 1:在惯性系 S 中，有两个事件同时发生，在xx 轴上相距m.31001 处，从另一惯性系 S中观察到这两个事件相距m3100.2。问由 S系测得此两事件的时间间隔为多少？解：由 题 意 知，在S系 中

8、，12tt，即012ttt，mxx312100.1。而在 S系看来，时间间隔为12ttt，空间间隔为mxx312100.2。由洛伦兹坐标变换式得：由（1）式得代入（2）式得 sct63331077.510310310223 例 2:半人马星座 星是离太阳系最近的恒星，它距地球为16103.4m。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？解：以地球上的时钟计算：a91087.28（a 为 annual 之首字母）；若以飞船上的时钟计算：（原时），因为所以得282999.011087.21cvtt