椭圆离心率的三种求法、中点弦方程三种求法_1.pdf

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1、椭圆离心率得三种求法:(1)若给定椭圆得方程,则根据焦点位置确定 a2,b2,求 a,c 得值,利用公式 eca或利用直接求解、(2)求椭圆得离心率时,若不能直接求得ca得值,通常由已知寻求 a,b,c 得关系式,再与 a2b2c2组成方程组,消去 b 得只含 a,c 得方程,再化成关于 e 得方程求解、(3)求离心率时要充分利用题设条件中得几何特征构建方程求解,从而达到简化运算得目得、涉及椭圆离心率得范围问题要依据题设条件首先构建关于a,b,c得不等式,消去b后,转化为关于 e 得不等式,从而求出 e 得取值范围、1、若椭圆x2a2y2b21(ab0)得左、右焦点分别为 F1,F2,线段 F

2、1F2被点分成 53 得两段,则此椭圆得离心率为()A、1617 B、4 1717 C、45 D、2 55 解析 依题意,得cb2cb253,c2b,ab2c2 5b,e2b5b2 55、答案 D 点评 本题得解法就是直接利用题目中得等量关系,列出条件求离心率、2、设 P 就是椭圆x2a2y2b21(ab0)上得一点,F1,F2就是其左,右焦点、已知F1PF260,求椭圆离心率得取值范围、分析 本题主要考查椭圆离心率取值范围得求法,建立不等关系就是解答此类问题得关键、解 方法一 根据椭圆得定义,有|PF1|PF2|2a、在F1PF2中,由余弦定理,得 cos 60|PF1|2|PF2|2|F1

3、F2|22|PF1|PF2|12,即|PF1|2|PF2|24c2|PF1|PF2|、式平方,得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4a2、由,得|PF1|PF2|4b23、由与运用基本不等式,得|PF1|PF2|,即4b23a2、由 b2a2c2,得43(a2c2)a2,解得 eca12、又 e1,该椭圆得离心率得取值范围就是12,1)、方法二 如图,设椭圆与 y 轴交于 B1,B2两点,则当点 P 位于 B1或 B2处时,点 P 对两焦点得张角最大,故F1B2F2F1PF260,从而OB2F230、在 RtOB2F2中,ecasin OB2F2sin 3012、又 e1,12e1、

4、该椭圆得离心率得取值范围就是12,1)、点评 在求椭圆离心率得取值范围时,常需建立不等关系,通过解不等式来求离心率得取值范围,建立不等关系得途径有:基本不等式,利用椭圆自身存在得不等关系(如基本量之间得大小关系或基本量得范围,点与椭圆得位置关系所对应得不等关系,椭圆上点得横、纵坐标得有界性等),判别式,极端情况等等、如上面方法二就应用了“当点 P 运动到短轴得端点时,点 P 对两焦点得张角最大”这一极端情况、(2016 全国高考)直线经过椭圆得一个顶点与一个焦点,若椭圆得中心到得距离为短轴长得,则该椭圆得离心率为(B)A.B、C、D、解:设椭圆就是焦点在 x 轴上得标准方程,上顶点与右焦点分别

5、为,则直线得方程为。又椭圆短轴长为 2b,椭圆中心到得距离为,所以,即。(2017 济南一中调考)设椭圆得两个焦点分别为,过作椭圆长轴得垂线交椭圆于点 P,若为等腰直角三角形。则椭圆得离心率为(D )A.B、C、D、解:由题意得,解得。椭圆得中点弦方程得求法有三:（1）方程组法:通过解直线于与椭圆方程联立得方程组,利用一元二次方程根与系数得关系及中点坐标公式求解;（2）点差法:设直线与椭圆得交点(弦得端点)坐标为,将这两点得坐标代入椭圆方程并对所得两式作差,得到一个与弦 AB 得中点与斜率有关得式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差得方法为“点差法”。（3）中点转移法:先设出弦得一个端点

6、得坐标,再借助中点得出弦得另一个端点得坐标,分别代入椭圆方程作差可得。1、已知椭圆,过点 P(2,1)作一条弦,使弦在这点被平分,求此弦所在得直线方程、分析 注意根与系数得关系及中点坐标公式得应用、本题也可用两方程直接相减求解、解 方法一 由题意,知所求直线得斜率存在,设此直线得方程为 yk(x2)1、由 ykx21x216y241消去y 并整理,得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160、设直线与椭圆得交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2就是方程得两根,所以 x1x282k2k4k21、因为点 P 为弦 AB 得中点,所以 2x1x2242k2k4k21,解

7、得 k12、故所求直线得方程为 x2y40、方法二(点差法)设所求直线与椭圆得交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)、因为点 P 为弦 AB 得中点,所以 x1x24,y1y22、又因为 A,B 在椭圆上,所以 x214y2116,x224y2216、两式相减,得(x21x22)4(y21y22)0,即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0,所以y1y2x1x2x1x24y1y212,即 kAB12、故所求直线得方程为 y112(x2),即 x2y40、方法三(利用对称性,中点转移法)设所求直线与椭圆得一个交点为 A(x,y)、因为弦中点为P(2,1),所以另一个交点为 B(4x,2y)、因为点 A,B 在椭圆上,所以 x24y216,(4x)24(2y)216,从而 A,B 在方程所形成得图形上,即在直线 x2y40 上、又因为过 A,B 得直线只有 1 条,故所求直线得方程为 x2y40、解后反思 解决中点弦得问题,最常用得方法有两种:一就是把直线方程与曲线方程联立,消元得一元二次方程,利用中点坐标公式与根与系数得关系列关系式,进而求出参数;二就是设出弦得两端点坐标,不具体求出,利用点差法整体表示直线斜率,进而求出参数;三利用对称性,设出弦得一个端点坐标,利用中点转移法求出另一端点得坐标,消去二次项直接求出弦所在得直线方程。