函数单调性奇偶性经典例题.pdf

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1、函数的性质的运用 1若函数yf xxR()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 yf x()图象上的是（）A.()af a，B.()af a，C.()afa，D.()afa，2.已知函数)(1222)(Rxaaxfxx是奇函数，则a的值为（）A1 B2 C1 D2 3已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_ 4已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）0 的所有 实根之和为_ 5.定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23 且对任意x，yR 都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；(

2、2)若f(k3x)+f(3x-9x-2)0 对任意xR恒成立，求实数k的取值范围 6.已知定义在区间（0，+）上的函数 f(x)满足 f()21xx=f(x1)-f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.（1）求 f(1)的值；（2）判断 f(x）的单调性；（3）若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)-2.7.函数 f(x)对任意的 a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x0 时，f(x)1.（1）求证：f(x)是 R 上的增函数；（2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3.8.设 f（x）的定义域为（0，+），且在（0，+）是递增的，)()()(yfx

3、fyxf（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；（2）设 f（2）=1，解不等式2)31()(xfxf。9.设函数()f x对xR都满足(3)(3)fxfx,且方程()0f x 恰有 6 个不同 的实数根，则这 6 个实根的和为（）0 B9 C12 D18 10.关于x的方程 22(28)160 xmxm的两个实根 1x、2x 满足 1232xx，则实数m的取值范围 11.已知函数()()yf xxR满足(3)(1)f xf x，且x1,1 时，()|f xx，则()yf x与5logyx的图象交点的个数是()A3 B4 C5 D6 12.已知函数()f x满足：4x，则()

4、f x1()2x；当4x 时()f x(1)f x，则 2(2log 3)f A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f(21)=1,当且仅当 0 x1 时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减.14.函数f(x)=111122xxxx的图象()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x=1 对称 15.函数f(x)在 R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.16.若函数f(x)=ax3+bx

5、2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 x11).(1)证明：函数f(x)在(1，+)上为增函数.(2)用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根.18.求证函数f(x)=223)1(xx在区间(1，+)上是减函数.19 设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i)f(x1x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数a使f(a)=1.求证：(1)f(x)是奇函数.(2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a.20.已知函数f(x)的定义域为 R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f(21)=0,当x21时，f(x)0.(1

6、)求证：f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.21.已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x5,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.22.设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当 0 x1 时，f(x)=x,则f等于()A.0.5 B.0.5 D.23.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值 范围是()A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(2，3)24.若f(x)为奇函数，且在(0

7、，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)0 的解集为_.25.如果函数f(x)在 R 上为奇函数，在(1，0)上是增函数，且f(x+2)=f(x),试比较f(31),f(32),f(1)的大小关系_.参考答案 6.（1）f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。（2）当 0 x 1，所以 f(y)-f(x)=f(y/x)9 x9 或 x-9 7.（1）设 x1,x2R，且 x1x2,则 x2-x10,f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10.f（x2）f(x1).即 f(x

8、)是 R 上的增函数.（2）f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，f（2）=3，原不等式可化为 f(3m2-m-2)f(2),f(x)是 R 上的增函数，3m2-m-22,解得-1m ,故解集为 .13.证明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0 f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减.令 0 x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f(21121xxxx)3434,10 x1x20,1x1x20，12121xxxx0,又

9、(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0，即f(x2)0.又知 0 x1x,得x1+x20,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）17.证明：(1）设1x1x2+,则x2x10,12xxa1 且1xa0,)1(12112xxxxxaaaa0,又x1+10,x2+10)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是f(x2)f(x1)=12xxaa+12121122xxxx 0 f(x)在(1，+）上为递增函数.(2）证法一：设

10、存在x00(x01)满足f(x0)=0,则12000 xxax且由 00 xa1 得 01200 xx1,即21x02 与x00 矛盾，故f(x)=0 没有负数根.证法二：设存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,则1200 xx2,0 xa1,f(x0)1 与f(x0)=0 矛盾，若x01,则1200 xx0,0 xa0，f(x0)0 与f(x0)=0 矛盾，故方程f(x)=0 没有负数根.18.证明：x0,f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设 1x1x2+,则01111,11121222122xxxx.2211222222112222)11(1)

11、11(1.0)11()11(xxxxxxxx f(x1)f(x2),故函数f(x)在(1，+）上是减函数.19.证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数.(2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=)1)(1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf.).(111)(1)(11)(1)(1)(1)()()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaa

12、xfaxf f(x+4a)=f(x+2a)+2a=)2(1axf=f(x),故f(x)是以 4a为周期的周期函数.20.证明：设x1x2,则x2x12121,由题意f(x2x121)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(21)1=f(x2x1)210,f(x)是单调递增函数.(2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.21.解：由66603333332xxxx得且x0,故 0 x6,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2 或x3,综上得 2x6,即A=x|2x6,B=Ax|1x5=x|1x 321.f(31)f(32)f(1),f(31)f(32)f(1).答案：f(31)f(32)f(1)